2024年浙江省杭州市富陽區(qū)中考數(shù)學一模試卷

2024年浙江省杭州市富陽區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一.選擇題。

1.（3分）下列各數(shù)中，最小的是（）

A.-IB.0C.1

2.（3分）下列立體圖形的主視圖為三角形的是（）

3.（3分）△A8C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，貝han/CAB的值為（）

：：C

c4

43

4.(3分)下列計算正確的是(

A.V3W7=V10B.V8-V2=2

C.(-2a)3=-8。3D.a6-ra3=a2

5.（3分）如圖，將一塊含有60°的直角三角板放置在兩條平行線上，若Nl=40°（）

Qo

A.60°B.40°C.30°D.20°

6.（3分）如圖，四邊形。48c為菱形.若OA=2,4OC=45°（)

A.(2+V2,V2)B.(2-V2,V2)C.(-2+V2,V2)D.(-2-V2,V2)

7.（3分）在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“※”，其運算規(guī)則為?！?=3（a+b）?5g，方

程（X”）=-1的解是（）

A.x=—B.x=l

5

-'或%=烏或%=-

C.x—4=1D.1

55

8.(3分)如圖，在等腰三角形ABC中,A8=AC=8,以A8為直徑的。0交8C于0,連

)

A.16n-32B.8TT-16C.4n-8D.4n-4

（3,c）都在反比例丫度士L（k為實數(shù)）的圖

9.(3分)若點A(-4,a),B(1,b),C

x

象上，江C大小關(guān)系正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

10.（3分）如圖，有一批直角三角形形狀且大小相同的不銹鋼片，ZC=90°,BC=3米,

用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片（）

60C.竿D

3717-f

二,填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分。

11.（3分）因式分解：x2-4=

12.（3分）在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同.從袋

中隨機取出一個球是黃球的概率為0.4,若袋中有12個白球個.

13.（3分）如圖，A8是半圓。的直徑，弦CO〃AB,弦CD與直徑A8之間的距離為3,

則AB=________

14.（3分）小健原有存款50元，小康原有存款80元：從這個月開始，小健每個月存18元

零花錢，設(shè)經(jīng)過x個月后，小健的存款超過小康.可列不等式為.

15.（3分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,點、D,E分別在邊連接DE,將ABDE

沿DE折疊?.若點Bi剛好落在邊AC上，且NC3iE=30°,CE=m,則BC的長

為.（用含小的代數(shù)式表示）

16.（3分）已知拋物線y=a7-2or+〃（?>0）經(jīng)過A（2"+3,yi）,B（n-I?y2）兩點,

若A,8分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)iVyz,則〃的取值范圍是.

三.解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,

17.（6分）計算:

⑴I—1-2旭

（2）（x+2）2-x（x+4）.

18.（6分）先閱讀下列解題過程，再回答問題.

解：兩邊同乘4得：3-（x+2）=-6（x-2）①

去括號得:3-x-2=-6.V+I2?

移項得：?x+6x=12-3+2③

解得：X=H@

5

（1）以上解答有錯誤，錯誤步驟的序號是.

（2）請給出正確的解答過程.

19.（8分）某學校隨機抽取部分學生，調(diào)查每個月的零花錢消費額，數(shù)據(jù)整理成加下的統(tǒng)

計表和如圖①@所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，E兩組對應的小長方形的高度之比為2：

1.請結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)解答以下問題：月消費額分組統(tǒng)計表

組別月零花錢消費額/

元

A10<x<100

B100^x<200

C2（）0WxV30（）

D3004V400

Ex2400

月零花錢消荽額頻數(shù)分布直方圖月零花錢消斐額扇形統(tǒng)計國

①②

（1）本次調(diào)查樣本的容量是：

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，并標明各組的頻數(shù)；

（3）若該學校有2500名學生，請估計月消費零花錢不少于300元的學生的數(shù)量.

20.（8分）如圖，已知4E=CRAE//CF

（1）求證：△AEQ空

（2）連結(jié)48,CD,那么A8

21.（10分）食堂午餐高夠期間，同學們往往需要排隊等候購餐.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天開餐時，

接下來，不斷有新的同學進入食堂排隊（規(guī)定每人購餐1份），每分鐘每個窗口能出售午

餐15份，前。分鐘每分鐘有40人進入食堂排隊購餐.每一天食堂排隊等候購餐的人數(shù)），

（人）（分鐘）的關(guān)系如圖所示，

(1)求。的值.

(2)求開餐到第7分鐘時食堂排隊購餐等候的人數(shù).

(3)若要在開始售餐7分鐘內(nèi)讓所有的排隊的學生都能買到，以便后來到同學隨到隨購,

22.(10分)已知二次函數(shù)y=a(x-1)(x-3)圖象過點(4,〃力，(/?,/?).

⑴若m=I,求a的值.

(2)若求p的取值范圍.

(3)求證：“〃?+〃〃>0.

23.(12分)綜合與實踐

【問題情境】如圖，在四邊形48CO中，點P是線段8C上一點，AP=PD.

【性質(zhì)初探】如圖1,當.ZB=ZC=90°時，猜想43,8c三條線段存在的數(shù)量關(guān)系

并證明.

【類比再探】如圖2,延長射，C。交于點EZB=30°時，求空@的值.

BC

【問題解決】如圖2,延長84,CD交于點、E,N3=a時，用含a的代數(shù)式表示迪里

24.(12分)如圖，44是。。的直徑，點C是直線48上方的。。上一點.點M是AABC

的內(nèi)心.連結(jié)人M,CM,延長CM交OO于點力.

(1)若AB=10,4c=6,求BC的長.

(2)求NAMB的度數(shù).

(3)當點C在直線AB上方的。0上運動時，求證：DH=^~AB.

2

2024年浙江省杭州市富陽區(qū)中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題。

1.（3分）下列各數(shù)中，最小的是（）

A.-1B.0C.1D.3

【解答】解：???-1V0V7V3,

???最小的數(shù)是-1,

故選：A.

2.（3分）下列立體圖形的主視圖為三角形的是（）

【解答】解：A.球的主視圖是圓；

B.圓錐的主視圖是等腰三角形；

C.圓柱的主視圖的矩形：

D.三棱柱的主視圖的矩形（矩形內(nèi)部有?條縱向的虛線）.

故選：B.

3.（3分）△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則［anNCAB的值為（）

5543

【解答】解：由題圖知，△A8C為直角三角形，

8c=3,AC=4.

???tan/C/W=V2=$

AC4

故選：C.

4.（3分）下列計算正確的是（）

A.V3W7=V10B.V8-V2=2

C.（-2a）3=-8〃3D.a6-ra3=a2

【解答】解：A、F與小不是同類項，故此選項不狩合題意;

B.V3-V2=273-V2=72,故此選項不符合題意；

C、（-4a）3=.8浸，故此選項符合題意；

。、/+/=/,故此選項不符合題意；

故選：C.

5.（3分）如圖，將一塊含有60°的直角三角板放置在兩條平行線上,若N1=40°)

A.60°B.40°C.30°D.20°

【解答】解：如圖：延長廠G交C。于點E,

*/ZFGH是△EG”的一個外角,

???"GH=N2+N3=60°,

???N6=N3,

???/2+N8=60°,

VZ1=4O°,

???N2=60°-40°=20°,

故選：D.

6.（3分）如圖，四邊形OABC為菱形.若。4=2,ZAOC=45°（）

A.（2+V2,V2）B.（2-V2,V2）C.（-2+V2,V2）D.（-2-V2,V2）

【解答】解：作軸于點E,則NBEC=90°,

丁四邊形OA3C為菱形，

：.CB=OC=OA=2,CB//OA,

：.Z.BCE=ZAOC=45Q,

：.ZCBE=ZBCE=45°,

：?BE=CE,

??。=位2位6=7^=?32,

:.BE=CE=近,

：?OE=OC+CE=4+E，

：-B（-2-V6，&），

7.（3分）在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“※）其運算規(guī)則為〃※匕=3（"力）-5而，方

程球（x+l）=-I的解是（）

A.x=-B.x=1

5

C.x=--x=ID.x=9或x=-I

55

【解答】解：:a※匕=3（〃+力）-5ab,

???方程彳※（x+2）=-1變形為3口+（A+5）]-5x（x+1）=-3,

定義新運算

???5/-x-2=0,

:.（5x+8）（x-1）=0,

.*.6x+4=0,x-8=0,

x=-—（舍去）或工=1.

3

故選:B.

8.（3分）如圖，在等腰三角形ABC中,AB=AC=S,以AB為直徑的。。交8c于Z）,連

接0Q,則圖中陰影部分面積為（)

A.16n-32B.8n-16C.4TT-8D.4n-4

【解答】解：???在等腰三角形A4C中，A8=AC=8,

42

.,.^C=^8+8=NA8C=45°,

?「AB為（DO的直徑,

C.ADA.BC,

???△A3。是等腰直角三角形，入。=_1BC=4加，

2

:°A==4，

：.OD.LAI3,即NAOO=90°，

???圖中陰影部分面積為:

9QH21

X6-yOA*OD

360

=4n-AX4x4

=6n-8.

故選：C.

9.（3分）若點A（-4,a）,B（1,b）,C（3,c）都在反比例y￡±L@為實數(shù)）的圖

X

象上，6C?大小關(guān)系正確的是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

【解答】解：???9+1>7,

???反比例yjd±L（k為實數(shù)）的圖象在一、三，

x

???點4（-8,a）,b）,c）都在反比例y=k+1（k，

工點4（-4,〃）在第三象限，b）,c）在第一象限,

V-4<0<4<3,

?"VO,b>c>5,

>\a<c<b.

故選:B.

10.（3分）如圖，有一批直角三角形形狀且大小相同的不銹鋼片，ZC=90°,BC=3米,

用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片（）

D-f

.cc=AC-bC二12

'AB=5

???四邊形是正方形,

J.FG//DE,FD//EG,

設(shè)尸G=GE=x,CG=y,

???西―

AB43

":GE〃CH,

.GEBG3-y

??百武二5，

?x/-y

~5~

聯(lián)立①②可得，”=皿,

37

如圖，設(shè)QE=QC=x,

C

D

AEB

?：DE//BC,

:.△AED-AABC,

.DEAD

??而記

???x―4-x1y

32

解得x=衛(wèi)，

7

..12、60

737

即面積最大的正方形不銹鋼片的邊長為」2.

5

故選：C.

二.填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分。

11.(3分)因式分解：/-4=(x+2)(x-2).

【解答】解：?-4=(A+3)(x-2).

故答案為：(x+2)(x-7).

12.(3分)在一個不透明的布袋中裝有黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同.從袋

中隨機取出一個球是黃球的概率為0.4,若袋中有12個白球8個.

【解答】解：布袋中黃球可能有x個，根據(jù)題意得：

---=0.4,

12+x

解得：x=8,

經(jīng)檢驗x=8是原方程f勺解，

答：布袋中黃球可能有8個.

故答案為：3.

13.(3分)如圖，A8是半圓。的直徑，弦弦CO與直徑48之間的距離為3,

貝lj"=10.

【解答】解：過0作?！癑LCD于"

??.c”=kz)=工，

22

■:AB"3,

???0H1AB,

：.OH=3,

???CC=[OH7yH2=5,

：,AB=6OC=\0.

故答案為：10.

14.（3分）小健原有存款50元，小康原有存款80元：從這個月開始，小健每個月存18元

零花錢，設(shè)經(jīng)過x個月后，小健的存款超過小康.可列不等式為5OH8x>80+12t.

【解答】解：由題意可得：50+18.r>80+12x.

故答案為：50+18A>80+12X.

15.（3分）如圖，在中，ZC=90°,點。，E分別在邊A6,連接。E,將

沿DE折疊1.若點81剛好落在邊4c上，且/C8]E=30°,CE=〃z,則BC的長為加.

（用含"，的代數(shù)式表示）

【解答】解：???在Ri/kCE物中，ZC=90°1￡=30°,

：.B3E=2CE=2m,

又???將ABOE沿。E折疊，點B的對應點為點米,點Bi剛好落在邊AC上,

BE=B\E=3m,

貝ijBC=CE+BE=m+2/n=3m.

故答案為:2m.

16.(3分)已知拋物線-2or+/?(〃>0)經(jīng)過4(2〃+3,yi),B(〃-I,*)兩點,

若A,B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)］<心，則〃的取值范圍是-1VZ2.

【解答】解：拋物線的對稱軸為：4=-上=1，

2a

丁〃>2,

???拋物線開口向上,

Vyi<y2,

???若點A在對稱軸x=2的左側(cè)，點B在對稱軸x=\的右側(cè),

'2n+7<1

由題意可得：<rrl>4,

1~(2n+5)<n-l-1

不等式組無解；

若點B在對稱軸x=8的左側(cè)，點4在對稱軸x=\的右側(cè)，

'2n+8>1

由題意可得：<n-l<5,

1-(n-1)>5n+3-l

解得：-2<n<2,

???〃的取值范圍為：-1</?<2.

故答案為：-1V〃V2.

三.解答題：本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟,

17.(6分)計算:

⑴|=|一2-2：

(2)(x+2)7-x(x+4).

【解答】解：(1)原式=工?2=0；

44

(2)原式=—+4]+4-x2-4x=4.

18.(6分)先閱讀下列解題過程，再回答問題.

解方程:316

2

X-42~XX+2

解：兩邊同乘x2-4得：3-(x+2)=-6(4-2)①

去括號得：3-x-2=-6x+12②

移項得：-x+6x=12-3+2③

解得：X』?

x5

(1)以上解答有錯誤，錯誤步驟的序號是①.

(2)請給出正確的解答過程.

【解答】解：(1)以」.解答有錯誤，錯誤步驟的序號是①，

故答案為：①：

(2)二一一二;上，

X2-22-xx+2

兩邊同乘2得：3+(x+2)=-7(x-2),

去括號得：3+x+2=-6x+l2,

移項得：x+6x=12-2-2③

合并同類項得：7x=6,

解得：x=l，

檢驗：當x=l時，J-4#0,

所以分式方程的解是x=5.

19.(8分)某學校隨機抽取部分學生，調(diào)查每個月的零花錢消費額，數(shù)據(jù)整理成如下的統(tǒng)

計表和如圖①②所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，E兩組對應的小長方形的高度之比為2：

1.請結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)解答以下問題：月消費額分組統(tǒng)計表

組別月零花錢消費額/

元

A10<x<100

B100?200

C200^x000

D300?400

EQ400

月零花錢消斐額頻數(shù)分布直方圖月零花錢消斐額扇形統(tǒng)計圖

（I）本次調(diào)查樣本的容量是」Q；

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，并標明各組的頻數(shù);

（3）若該學校有2500名學生，請估計月消費零花錢不少于300元的學生的數(shù)量.

【解答】解：（1）本次調(diào)查樣本的容量是40?40%=100,

故答案為：100；

（3）估計月消費零花錢不少于300元的學生數(shù)為250OX型@=750（人）.

100

20.（8分）如圖，AE=CF,AE//CF

（1）求證：△AED9XCFB、

(2)連結(jié)A&CD,那么AB

【解答】（1）證明：???8E=OF,

:,DE=BF,,:AEHCF,

J/AEF=/CFE,

/.NAED=/CFB,

在△AEO和△CF8中，

(AE=CF

NAED=NCFB，

IDE=BF

/./^AED^ACFB(SAS)i

(2)解：結(jié)論：AB=CD.

理由：連接4B,CD.

*/△AEOg△CF8,

:?AD=CB,/ADB=/CBF,

：.AD//CIL

???四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB=CD.

21.（10分）食堂午餐高雄期間，同學們往往需要排隊等候購餐.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天開餐時，

接下來，不斷有新的同學進入食堂排隊（規(guī)定每人購餐1份），每分鐘每個窗口能出售午

餐15份，前。分鐘每分鐘有40人進入食堂排隊購餐.每一天食堂排隊等候購餐的人數(shù)），

（人）（分鐘）的關(guān)系如圖所示，

（1）求。的值.

（2）求開餐到第7分仲時食堂排隊購餐等候的人數(shù).

（3）若要在開始售餐7分鐘內(nèi)讓所有的排隊的學生都能買到，以便后來到同學隨到隨購，

至少需要同時開放幾個窗口？

【解答】解：(I)根據(jù)“等候購餐的人數(shù)=開餐時排隊人數(shù)+前。分鐘新增排隊人數(shù)-購

餐后離開的人數(shù)”，得400+40〃-15X4a=320,

解得。=4,

???〃的值是8.

(2)當44W10時，設(shè)排隊等候購餐的人數(shù))，與開餐時間x的關(guān)系為尸爪+〃(億且％

W0).

將坐標3(8,320)和C(10,

得［4k+b=320,

110k+b=0

?.160^1600

36

當x=l時，y=-1601600=160,

35

，開餐到第7分鐘時食堂排隊購餐等候160人:

(3)設(shè)同時開放x個窗口，則7X15x2400+5X40也,

21

所以至少需同時開放7個售票窗口.

22.(10分)已知二次函數(shù)y=a(x-1)(x-3)圖象過點(4,，〃)，(〃，ri').

⑴若m=I,求。的值.

(2)若"？求p的取值范圍.

(3)求證：〃〃?+“〃>0.

【解答】(1)解：當〃!=1時，點(4,8),

將(4,1)代入拋物線表達式得：4=4(4-1)(8-3),

解得：。=工；

6

(2)解：由題意得：加=。(4-1)(3-3)=3”，

同理可得：〃=a(p4-4〃+3),

若即3a>a(p2-4/?+3)>0,

當a>7時，

即3>(p2-8p+3)>0,

解得：6<p<i或3Vp<5；

當aVO時，

則3V(/「-4p+3)<5,

不等式無解；

故OVpVl或6V〃V4；

(3)證明：由(2)得：am+an=a(3a+ap7-4ap+3a)=as(p-2)2+6a2>0.

23.(12分)綜合與實踐

【問題情境】如圖，在四邊形ABCZ)中，點P是線段BC上一點，AP=PD.

【性質(zhì)初探】如圖1，當.N8=NC=90°時，猜想A8,8c三條線段存在的數(shù)量關(guān)系

并證明.

【類比再探】如圖2,延長84,CD交于點E,ZB=3O°時，求”@的值.

BC

【問題解決】如圖2,延長BA,CD交于點E,/8=a時，用含a的代數(shù)式表示堂型

圖1圖2

【解答】【性質(zhì)初探】AB,CD.

證明：VZAPD=90°,

AZAPB+ZDPC^O0,

VZB=ZC=90°,

???NBAP+NAPB=90°,

:?/BAP=/DPC.

在AAB?和△?(?￡>中，

'NB=NC=90°

<ZBAP=ZDPC，

AP=PD

:.△ABPW4PCD(AAS),

：,AB=PC,BP=CD.

?:BC=BP+PC,

：.BC=AB+CD.

【類比再探】解：過點A作4/_LBC于點F,過點。作。G_L8C于點G,

yABICD,

，NE=90°,

???NB=30°,

/.ZC=60°,

AZGDC=30°.

*：AFA.BC,DG上BC,AP=PD,

，由【性質(zhì)初探】可知：/\AFPmXPGO、

：.AF=PG,PF=DG.

在中，

VZ5=30°,

???人尸=工於應48.

22

在RtZ\OGC中，

*/ZGDC=30°,

：.CG=^CD^-CD.

22

/.PF=DG