（人教A版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型講練 專題03二項(xiàng)式定理 （1個(gè)知識(shí)點(diǎn)3個(gè)拓展2個(gè)突破7種題型4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（原卷版）

專題03二項(xiàng)式定理（1個(gè)知識(shí)點(diǎn)3個(gè)拓展2個(gè)突破7種題型4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.二項(xiàng)式定理拓展1.求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)拓展2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與賦值問題拓展3.多項(xiàng)式的展開式問題突破1.展開式系數(shù)最大項(xiàng)問題突破2.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題【方法二】實(shí)例探索法題型1.二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)題型2.多個(gè)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)題型3.二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性與增減性題型4二項(xiàng)式系數(shù)和題型5.展開式系數(shù)的和題型6.與楊輝三角有關(guān)的問題題型7.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用（整除問題）【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1.未能正確理解二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)2.未能正確轉(zhuǎn)化三項(xiàng)式問題而致誤易錯(cuò)點(diǎn)3.混淆展開式中的奇偶次項(xiàng)與奇偶數(shù)項(xiàng)致誤易錯(cuò)點(diǎn)4.混淆二項(xiàng)式系數(shù)與展開式系數(shù)致誤【方法四】成果評定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.二項(xiàng)式定理一、二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有n＋1項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(a＋b)n展開式的第k＋1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.三、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性與最大值增減性：當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且同時(shí)取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1例1．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的乘積為64.(1)求的值；(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).拓展1.求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是．拓展2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與賦值問題2．單選題（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）在的二項(xiàng)展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)系數(shù)之和為，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6拓展3.多項(xiàng)式的展開式問題3．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中?？计谀┰诘恼归_式中，的系數(shù)是.突破1.展開式系數(shù)最大項(xiàng)問題1．多選題（2024上·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知二項(xiàng)式的展開式中，則（

）A．含項(xiàng)的系數(shù)為6 B．第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)C．各項(xiàng)系數(shù)和為64 D．第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大突破2.與二項(xiàng)式定理有關(guān)的問題2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀?）求證：；（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.（3）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，求證：對于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).【方法二】實(shí)例探索法題型1.二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)1．（2024上·上海·高二?？计谀┌逊Q為的二項(xiàng)展開式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，其中是正整數(shù)．(1)若的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，求展開式的常數(shù)項(xiàng)；(2)若展開式中第項(xiàng)系數(shù)為，求的展開式中的系數(shù)．題型2.多個(gè)二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)2．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）若多項(xiàng)式，則．題型3.二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性與增減性3．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ袕?fù)旦中學(xué)?？计谀┮阎诘恼归_式中，前三項(xiàng)的系數(shù)分別為，，，且滿足．(1)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中所有有理項(xiàng)．題型4二項(xiàng)式系數(shù)和4．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為．題型5.展開式系數(shù)的和5．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學(xué)?？计谀┮阎?，若.(1)求的值；(2)求的值.（結(jié)果可以用冪指數(shù)表示）題型6.與楊輝三角有關(guān)的問題6．（2024上·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．題型7.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用（整除問題）7．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)設(shè)，求被6除的余數(shù).【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1.未能正確理解二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)1．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）在二項(xiàng)式的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)恰是所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和的5倍，則實(shí)數(shù)a的值為．（用數(shù)字作答）易錯(cuò)點(diǎn)2.未能正確轉(zhuǎn)化三項(xiàng)式問題而致誤2．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則的展開式中的系數(shù)為.易錯(cuò)點(diǎn)3.混淆展開式中的奇偶次項(xiàng)與奇偶數(shù)項(xiàng)致誤3．多選題（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．易錯(cuò)點(diǎn)4.混淆二項(xiàng)式系數(shù)與展開式系數(shù)致誤4．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）設(shè)的小數(shù)部分為，則.【方法五】成果評定法一、單選題1．（2021下·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2021下·北京·高二北京八十中?？计谥校┤舳?xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．1 D．3．（2023·陜西西安·西安市長安區(qū)第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2021上·北京·高三北京市八一中學(xué)?？计谀┑恼归_式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．5．在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是A．36 B．24 C．－36 D．－246．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）在的展開式中，所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為（

）A．84 B．85 C．127 D．1287．（2022上·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．80 B． C．160 D．8．（2020上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在（x-2y）（x＋y）4的展開式中，x2y3的系數(shù)是（

）A．8 B．10 C．-8 D．-10二、多選題9．（2022下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法正確的是(

)A．的展開式中，的系數(shù)為30B．將標(biāo)號(hào)為，，，，，的張卡片放入個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放張，其中標(biāo)號(hào)為，的卡片放入同一信封，則不同的方法共有種C．已知，則D．記，則10．（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）若的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則的可能值為（

）A．6 B．7 C．8 D．911．（2022上·重慶·高三重慶市長壽中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為,則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為128C．展開式中項(xiàng)的系數(shù)為21D．展開式中有3項(xiàng)有理項(xiàng)12．（2023·高二單元測試）在二項(xiàng)式展開式中，下列說法正確的是（）A．第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為20 B．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64C．有理項(xiàng)共有4項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為第五項(xiàng)三、填空題13．（2023下·四川綿陽·高二綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┰诘恼归_式中，含項(xiàng)的系數(shù)為14．（2021下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則含項(xiàng)的系數(shù)為．15．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）設(shè)的小數(shù)部分為，則.16．（2022·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為．四、解答題17．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.18．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知.（1）當(dāng)n＝6時(shí)，求的值；（2）化簡：.19．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知．(1)寫出的展開式；(2)化簡．20．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù).（1）求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若，（為虛數(shù)單位），求值：①；②.21．（2022上·高二單元測試）我們曾用組合模型發(fā)現(xiàn)了組合恒等式，這里所使用的方法，實(shí)際上是將一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同來得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次