（人教A版）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型講練 專題08正態(tài)分布（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2個(gè)拓展1個(gè)突破3種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（原卷版）

專題08正態(tài)分布（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)2個(gè)拓展1個(gè)突破3種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正態(tài)曲線與正態(tài)分布知識(shí)點(diǎn)2.正態(tài)曲線的性質(zhì)拓展1.正態(tài)分布概率的求法拓展2.正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用突破：正態(tài)分布的綜合應(yīng)用【方法二】實(shí)例探索法題型1.正態(tài)曲線題型2.利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率題型3.正態(tài)分布的應(yīng)用【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)用正態(tài)曲線的對(duì)稱性【方法四】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.正態(tài)曲線與正態(tài)分布正態(tài)曲線與正態(tài)分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱其圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．2．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．例1.單選題（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）某班有45名學(xué)生，最近一次的市聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，若的學(xué)生人為18，則（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35知識(shí)點(diǎn)2.正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的特點(diǎn)1．對(duì)?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．4．曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．6．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.知識(shí)點(diǎn)三正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則．例2．多選題（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．C． D．拓展1.正態(tài)分布概率的求法1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．拓展2.正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市有20000名學(xué)生參加了一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)（知識(shí)競(jìng)賽分為初賽和復(fù)賽），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績(jī)作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和分位數(shù)．(2)若所有學(xué)生的初賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，初賽成績(jī)不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)．(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對(duì)得30分，第三題答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分．已知某學(xué)生已通過初賽，他在復(fù)賽中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復(fù)賽成績(jī)?yōu)?，求的分布列及?shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【方法二】實(shí)例探索法題型1.正態(tài)曲線1．單選題（2021·高二單元測(cè)試）設(shè)X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，這兩個(gè)正態(tài)曲線如圖所示，下列說法正確的是（）A．P(Y≤μ1)≥P(Y≤μ2)B．P(X≥σ1)≥P(X≥σ2)C．若t<0，則P(X≤t)≤P(Y≤t)D．若t<0，則P(X≥t)≤P(Y≥t)題型2.利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率2．多選題（2021·高二課時(shí)練習(xí)）醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率，則下列說法正確的是（）（附：若，則，，）A．B．C．D．假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只醫(yī)用口罩中過濾率大于的數(shù)量，則題型3.正態(tài)分布的應(yīng)用3．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若某種零件的尺寸（單位：）服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.試估計(jì)尺寸在72~88的零件占總數(shù)的百分之幾.【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)用正態(tài)曲線的對(duì)稱性1．某中學(xué)高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，求此校數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的考生占總?cè)藬?shù)的百分比．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某班有60名學(xué)生，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)，若，則估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為A．9 B．8 C．7 D．62．（2021上·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期中）已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.3%，95.4%和99.7%.某校為高一年級(jí)1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布，則適合身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制（

）A．683套 B．954套 C．972套 D．997套3．已知隨機(jī)變量，且，則A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.74．（2021下·江蘇連云港·高二?？计谥校┮阎龖B(tài)密度曲線的函數(shù)關(guān)系式是f（x），設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖象，且，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與方差分別是（

）A．10與4 B．10與2 C．10與8 D．2與105．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，，則為（

）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.27186．某班有60名學(xué)生，一次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，若，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分以上的人數(shù)為（

）A．12 B．20 C．30 D．407．（2021下·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．8．隨機(jī)變量，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6B．若隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上10．（2021上·福建福州·高三?？奸_學(xué)考試）已知某批零件的長(zhǎng)度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）.（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．從中隨機(jī)取一件，．A．B．C．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長(zhǎng)度誤差落在內(nèi)的概率為0.159911．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）關(guān)于下列命題中，說法正確的是（

）A．已知，若，，則B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為C．已知，若，則D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有人，高二有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應(yīng)從高三抽取人.12．（2022下·福建泉州·高二福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的有（

）A．若隨機(jī)變量，，則B．若隨機(jī)變量，則方差C．從10名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為D．已如隨機(jī)變量的分布列為，則三、填空題13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）研究人員在調(diào)查某園區(qū)內(nèi)種植的某種植物的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若，則在該園區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取一株這種植物，株高超過的概率約為．14．（2022·高二單元測(cè)試）上次月考剛好有900名學(xué)生參加考試，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，且，則上次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?15分以上的人數(shù)大約為．15．（2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某校高中三年級(jí)600名學(xué)生參加了區(qū)模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分）.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.16．（2021上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某校一次高三年級(jí)數(shù)學(xué)檢測(cè)，經(jīng)抽樣分析，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，且，若該校1800學(xué)生參加此次檢測(cè)，估計(jì)該校此次檢測(cè)成績(jī)不低于99分的學(xué)生人數(shù)為.四、解答題17．設(shè)X～N(10,1)，若P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．18．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠為檢驗(yàn)車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取一批零件樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：mm）并繪成頻率分布直方圖，如圖所示．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為零件樣本平均數(shù)，近似為零件樣本方差．(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，求；(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件，測(cè)量其尺寸為30mm，根據(jù)原則判斷該生產(chǎn)線工作是否正常．附：；若，則，，．19．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司為了解市場(chǎng)對(duì)其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若，則，）20．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中.①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．21．（2023下·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)?？计谀吨袊?guó)制造2025》是經(jīng)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國(guó)務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)的戰(zhàn)略文件，是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng)．制造業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)；(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）[參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.(3)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品和4件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值.22．（2023下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）貴州榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽，簡(jiǎn)稱“村超”，該活動(dòng)在榕