奧數(shù)精講課件(上)

第1講比例和百分數(shù)

本錢、利澗、價格等根本經(jīng)濟術語，以及它們之間的關系,各種數(shù)據(jù)或所求結果中包含比例與百分

數(shù)的應用題，有時恰中選取較小的量作為一個單位，司以實現(xiàn)整數(shù)化計算.

1.迎春農(nóng)機廠方案生產(chǎn)一批插秧機，現(xiàn)已完成方案的56%,如果再生產(chǎn)5040臺，總產(chǎn)量就超過方案產(chǎn)

量的16%.那么，原方案生產(chǎn)插秧機多少臺？

【分析與解】：5040+(1+16%-56%)=8400(臺).

2.圓珠筆和鉛筆的價格比是4：3,2()支圓珠筆和21支鉛筆共用71.5元.問圓珠筆的單價是每支多

少元？

【分析與解】：設圓珠筆的價格為4,那么鉛筆的價格為3,那么20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為

20X4+21X3=143,那么單位“1”的價格為71.5+143：0.5元.

所以圓珠筆的單價是0.5X4=2(元).

3.李大娘把養(yǎng)的雞分別關在東、西兩個院內(nèi).東院養(yǎng)雞4。只：現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的上賣給商店,

4

,賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其和恰好等于原來東、西兩院養(yǎng)雞總數(shù)的50%.原

3

來東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只？

【分析與解】：方法一：設原來東西兩院一共養(yǎng)雞1只，那么西院養(yǎng)雞(x—40)只.

依題意：.(x—40)x(l—；—；)+40=；x,解出x=280.

即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞280只.

方法二：50%即東、西兩院剩下的雞等于東院的,加上西院的即20+1西院原養(yǎng)雞數(shù).

2222

有東院剩下40只雞，西院剩下原1一'—'=?的雞.

4312

(15A

所以有西院原養(yǎng)雞(40—20)+----------卜240只，即原來東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280只.

(212；

4.用一批紙裝訂一種練習本.如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40%；如果裝訂了185本,

那么還剩下1350張紙.這批紙一共有多少張？

【分析與解】方法一：裝訂120本，剩下40%的紙，即用了60%的紙.

那么裝訂185本，需用185X(60%+120)=92.5%的紙,即剩下1-92?5%=7.5%的紙,為1350

張.

所以這批紙共有1350+7.5%=18000張.

方法二：120本對應(1-40%=)60%的總量，那么總量為120?60%=200本.

當裝訂了185本時,還剩下20()-185：15本未裝訂,對應為1350張,所以每本需紙張:13504-15=90

張，那么200本需200X90=18000張.

即這批紙共有18000張.

5.有男女同學325人，新學年男生增加25人，女生減少5%,總人數(shù)增加16人.那么現(xiàn)有男同學

多少人？

【分析與解】男生增加25人，女生減少5%,而總人數(shù)增加了16人，說明女生減少了25-15=9人，那

么女生原來有9?5%=180人，那么男生有325-180=145人.

增加25人后為145+25=170人,所以現(xiàn)有男同學170人.

6.有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25%那么，這堆糖果中有

奶糖多少塊，

【分析與解】方法一：原來奶糖占45二二9二，后來占25上=_L,因此后來的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也

100201004

9

比原來糖果多16粒，從而原來的糖果是16+(4x—-1)=20塊.

20

9

其中奶糖有20X—=9塊.

20

方法二：原來奶糖與其他糖(包含水果糖)之比是45%：(1-45%)=9：11,

設奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份.

現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是23%：(1-25%)-1；3-9；27,

奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27T1二16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，1份即

1塊.奶糖占9份，就是9塊奶糖.

7.甲乙兩包糖的重量比是4：1,如果從甲包取出10克放入乙包后，甲乙兩包糖的重量比變?yōu)?：5.那

么兩包糖重量的總和是多少克？

【分析與解】兩包糖數(shù)量的總數(shù)是

8.有假設干堆圍棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，且每堆中白子都占28%.小明從某一堆中拿走一半棋

子，而且拿走的都是黑子，現(xiàn)在，在所有的棋子中，白子將占32%.那么，共有棋子多少堆？

【分析與解】方法一：設有X堆棋子，每堆有棋子“1”.根據(jù)拿走黑子白子總數(shù)不變.

列方程得xx28/=(x-；X32%,化簡得28x=32(x-l),兩邊同除以4,

2

得7X=8(X-L,解得x=4.

2

即共有棋子4堆.

方法二：注意到所有棋子中的白子個數(shù)前后小變，所以設白子數(shù)為“1”.

那么有：

黑子變化了匕-：=上，對應為乙堆；所以上對應1堆.

7856228

?Q7575?S

而開始共有棋子1+上=三，所以共有三子二=4堆.

77728

9.幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3,中班中男

生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1,那么大班有女生多少名？

【分析與解】設大班女生有x名，那么中班女生有(18-外名.根據(jù)男生數(shù)可列出

52

方程：xX-+(18-x)X-=32,解得x=12.

3I

所以大班有女生12名.

10.某校四年級原有2個班，現(xiàn)在要重新編為3個班，將原一班的號與原二班的丟組成新一班，將原

一班的｛與原二班的吉組成新二班，余下的30人組成新三班.如果新一班的人數(shù)比新二班的人數(shù)多10%,

那么原一班有多少人？

【分析與解】

75

有新三班的為原一、二班總人數(shù)的1-一二一，為30人.

1212

所以原來兩班總人數(shù)是：30:得=72(人).

那么新一班與新二班人數(shù)總和是72-30=42(人).

現(xiàn)在再把新二班人數(shù)算作1份.

新一班人數(shù)=42x1+1°/=22(人)，新二班人數(shù)二42-22:20(人).

1+10/+1

(11、

(原一班人數(shù))-(原二班人數(shù))=(22-20)+——=2X12=24(人).

(34；

原一班人數(shù)=(72+24);2:48(人).

2

11.有兩包糖，每包糖內(nèi)裝有奶糖、水果糖和巧克力糖.：①第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的一；②

3

在第一包糖中，奶糖占25%,在第二包糖中，水果糖占50%：③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比

是在第二包糖中所占的百分比的兩倍.當兩包糖合在一起時，巧克力糖占28%,那么水果糖所占百分比

等于多少？

【分析與解】表述1：設第一包有2。粒糖，那么第二包有3。粒糖，設第二包有3〃粒巧克力糖，

那么第一包有4%粒巧克力糖.

4)+38=28%,所以2=2x28%=20%.

2a+3aa7

4〃

于是第一包中，巧克力糖占——=40%,水果糖占1-40%-25%=35%.

2a

在兩包糖總粒數(shù)中，水果穗占2"X35/+3"X50/=44%.

2a+3a

表述2：設第一包糖總數(shù)為“2”，那么第二包糖總數(shù)為“3”，并設第一包糖含有巧克力糖2c,第二包

糖含有巧克力糖c.

那么有2X2c+3Xc=28%X(2+3),有7c=140%,所以c=20%,那么有如下所示的每種糖所占的百

分數(shù).

所以水果糖占總數(shù)的(35%X2+50%X3)+(2+3)=44%.

12.某次數(shù)學競賽設一、二、三等獎.：①甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等：⑦甲校獲一等獎的人

數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)與乙校相應的百分數(shù)的比為5:6：③甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩

校獲獎人數(shù)總和的20%；④甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的50%：⑤甲校獲二等獎的人數(shù)是乙

校獲二等獎人數(shù)的4.5倍.

那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)等于多少？

【分析與解】表述1：不妨設甲校有60人獲獎，由①、②，乙校有50人獲獎.

由③知兩校獲二等獎的共有(60+50)X20%=22人；

由⑤知甲校獲二等獎的有22+(4.5+1)X4.5=18人：

由④知甲校獲一等獎的有6A6()X50%-18=12人,

從而所求百分數(shù)等于124-59X100%=24%.

表述2：

一等獎二等獎三等獎獲獎總人數(shù)

_____________1

甲6-3-1.8=1.22.24-(1+4.5)X4.5=1.86X5O%=3“6”

相等(6+5)X20%=22

:7、——

乙2.2-1.8=0.4

1.2■■(這有一個“5”)

正比例：如果a+b=k(k為常數(shù)),那么稱a、b成正比:

反比例：如果aXb=k(k為常數(shù))，那么稱a、b成反比.

二、比和比例在行程問題中的表達

時間

當一組物體行走速度相等，那么行走的路程比等于對應時間的反比；

當一組物體行走路程相等，那么行走的速度比等于對應時間的反比；

當一組物體行走時間相等，那么行走的速度比等于對應路程的正比.

1.A和B兩個數(shù)的比是8：5,每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個數(shù).

【分析與解】

方法一：設A為8x,那么B為5x,于是有(8x-34):(5x-34)=2：1,x=17,所以A為136,B為85.

方法二：因為減少的數(shù)相同，所以前后A、B的差不變，開始時差占3份，后來差占1份且與B—

樣多，也就是說減少的34,占開始的3-1=2份，所以開始的1份為34+2=17,所以A為17X8=136,B

為17X5=85.

2.近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛至全程的』再向前56千米處

所用時間比提速前減少了60分鐘，而到達安慶西站比提速前早了2小時.問北京西站、安慶西站

兩地相距多少千米？

【分析與解】設北京西站、安慶西站相距多少千米？

(―x+56)：x=60：120,BP(―x+56)：x=l：2,即x=Wx+112,解得x=1232.

即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，

3.兩座房屋A和B各被分成兩個單元.假設干只貓和狗住在其中.：A房第一單元內(nèi)貓的比率(即住在該

單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比)大于B房第一單元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓

的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率.試問是否整座房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋3內(nèi)貓的比

率？

【分析與解】如下表給出的反例指出：對所提出問題的回容許該是否認的.表中具體寫出r各個單兀

及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率.

4.家禽場里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3,雞、鴨、鵝數(shù)量之比是8：7：5,公

雞、母雞數(shù)量之比是1：3,公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4.試求公鵝、母鵝的數(shù)量比.

【分析與解】公雞占家禽場家禽總數(shù)的

=15:(3x—x5+4x-x4)=45:46:(3x-x5+4x—x4)=46:47.———-——x—!—=—,母雞占

3458+7+51+310

3

總數(shù)的二;

10

公鴨占總數(shù)的T—X—=—,母鴨占總數(shù)的2；

8+7+53+420

公鵝占總數(shù)的‘2--（—1+3—）=—3,母鵝占總數(shù)的‘2--（—3+—4）=—2,公鵝、母鵝數(shù)量之比

3+21020203+2102020

5.在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有I根走子，其影子的前端正好到達階

梯的第3階(箭頭).另外，此時樹立1根長70cm自桿子，其影子的長度為175cm,設階梯各階的高度與

深度都是50cm,求柱子的高度為多少？

【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長度為175cm;

所以影子的長度與桿子的長度比為：175：70=2.5倍.

于是,影子的長度為6+1.5+1.5X2.5=11.25,所以桿子的長度為11.25+2.5=4.5m.

6.三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B,重量比為3：5；第二種只含成分B

和C,重量比為I：2：第三種只含成分A和C,重量之比為2：3.以什么比例取這些混合物，才能使所

得的混合物中A,B和C,這三種成分的重量比為3：5：2?

【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：5.所以，

先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到3：5,再將第二種、第三種混合物中A、B與第一種

混合物中A、B視為單一物質(zhì).

第二種混合物不含A,第三種混合物不含B,所以1.5倍第三種混合物含A為3,5倍第二種混合物

含B為5,即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5.

于是此時含有C為5X2+1.5X3=14.5,在最終混合物中C的含量為3A/5B含量的2倍.有

14.54-2-1=6.25,所以含有第一種混合物6.25.

即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6.

7.現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用司樣天數(shù)完成同樣的工作；假設將男工人

數(shù)和女工人數(shù)對調(diào)一下，那么全體男25天完成的工作，全體女工需36天才能完成，問：男、女工各多

少人？

【分析與解】直接設出男、女工人數(shù)，然后在通過方程求解，過程會比擬繁瑣.

設開始男工為“1”，此時女工為“k”,有1名男工相當k名女工.男工、女工人數(shù)對調(diào)以后，那

么男工為“k”,相當于女工“It?”，女工為T.

有已1=36：25,所以k=、.

于是，開始有男工數(shù)為一!一義1100=500人，女工600人.

1+&

8.有甲乙兩個鐘，甲每天比標準時間慢5分鐘，而乙每天比標準時間快5分鐘，在3月15日的零點零

分的時候兩鐘正好對準.假設在某一時刻，乙鐘和甲鐘時針與分針都分別重合，且在從3月15日開始

到這個時候，乙鐘時針與分針重合的次數(shù)比甲鐘多10次，那么這個時候的標準時間是多少？

【分析與解】標準的時鐘每隔65得分鐘重合一次.

假設經(jīng)歷了x分鐘.

74x60-5

于是，甲鐘每隔65ax24x6。分鐘重合一次，甲鐘重合了：Xx次;

1124x60-524x60

同理，乙鐘重合了」Xx次;于是，需要乙鐘比甲鐘多重合

24x60

24x60+524x60-510

__________Xx-__________xx=Xx=10;

24x6024x6024x60

所以，x=24X60；

24x60x65—弓

所以要經(jīng)歷24X60X65上分鐘,那么為-----------LL=652天.

1124x6011

于是為65天（'x24=）10（#）小時（9x60二）54R分鐘.

9.一隊和二隊兩個施工隊的人數(shù)之比為3：4,每人工作效率之比為5：4,兩隊同時分別接受兩項工作

2I

量與條件完全相同的工程，結果二隊比一隊早完工9天.后來，由一隊工人一與二隊工人-組成新一隊,

33

其余的工人組成新二隊.兩支新隊又同時分別接受兩項工作量與條件完全相同的工程，結果新二隊比新

一隊早完工6天.試求前后兩次工程的工作量之比？

【分析與解】一隊與一隊的工作效率之比為：(3X5)：(4X4)=15：16.

一隊干前一個工程需9^--=144天.

16

新一隊與新二隊的工作效率之比為：

新一隊干后一個工程需6+—=282天.

47

一隊與新一隊的工作效率之比為

46

所以一隊干后一個工程需282X—天.

45

46

前后兩次工程的工作量之比是144：(282X一)=(144X45)：(282X46)=540：1081.

45

第3講計算綜合(一)

繁分數(shù)的運算，涉及分數(shù)與小數(shù)的定義新運算問題，綜合性較強的計算問題.

1.繁分數(shù)的運算必須注意多級分數(shù)的處理，如下所示：

甚至可以簡單地說：“先算短分數(shù)線的，后算長分數(shù)線的’.找到最長的分數(shù)線，將其上視為分子,

其下視為分母.

2.一般情況下進行分數(shù)的乘、除運算使用真分數(shù)或假分數(shù)，而不使用帶分數(shù).所以需將帶分數(shù)化

為假分數(shù).

3.某些時候將分數(shù)線視為除號，可使繁分數(shù)的運算更加直觀.

4.對于定義新運算，我們只需按題中的定義進行運算即可.

5.本講要求大家對分數(shù)運算有很好的掌握，可參閱《思維導引詳解》五年級

［第1講循環(huán)小數(shù)與分數(shù)］.

7J1

—x4—十一

1.計算：T~

13--3---

3416

71

2一3

一十一

X234

【分析與解】原式二)6xoZ-142T-

13--1283一

3

2.計算:

【分析與解】注意，作為被除數(shù)的這個繁分數(shù)的分子、分母均含有19焉.于是，我們想到改變運算順

序，如果分子與分母在19*后的兩個數(shù)字的運算結果一致，那么作為被除數(shù)的這個繁分數(shù)的值為1；如

9

果不一致，也不會增加我們的計算量.所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分數(shù)的運算順序.

而作為除數(shù)的繁分數(shù)，我們注意兩個加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為1995X().5.

具體過程如下：

59

19-(+3—-5.22)

1993x0.41.6

原式二TH?一*)

19-(-6—+5.22)1995x0.51995

950

19__132

%J993x0.44x0.4x0.5

—?-------+(-------------+---------------)x

IQ51a。1995x0.41995x0.5

1V1.3乙

9

=1199312^04

19950.50.5

3.計算：1-------1—

■l

1-----r---

1987

1,19861987

【分析與解】原式二1__-I_____—____

]?1987—3973~3973

1986

4.計算：二——1—Q

—，那么X等于多少？

11

X+-

4

1_8x+68

【分析與解】方法一:

t14x+l-12x+7~ri

8x+6

交又相乘有88x+66=96x+56,x=l.25.

II|Q1Q213

方法二：有1+--------=—=1+-,所以2+—-=-=2+-；所以x+—二一，那么x=1.25.

2+工88X+13342

5.求4,43,443,...,44...43這10個數(shù)的和.

、Y?

9個4

【分析與解】方法一：

=4+(44-1)+(444-1)+…+(44...4-1)

10個4

4

=4+44+444+…+44…4-9=-x(9+99+999+…+999…9)-9

。個7

I49-10*9

4

=-x[(10-l)+(100-1)+(1000-1)+...+(1000...0-1)]-9

10個0

4

=-xlH.100-9=4938271591.

9~91^

方法二：先計算這10個數(shù)的個位數(shù)字和為3X9+4=3|U；

再計算這10個數(shù)的十位數(shù)字和為4X9=36,加上個位的進位的3,為36+3=3叵］；

再計算這10個數(shù)的百位數(shù)字和為4X8=32,加上十位的進位的3,為32+3=3囪;

再計算這10個數(shù)的千位數(shù)字和為4X7=28,加上百位的進位的3,為28+3=3川；

再計算這10個數(shù)的萬位數(shù)字和為4X6=24,加上千位的進位的3,為24+3=2團;

再計算這10個數(shù)的十萬位數(shù)字和為4X5=20,加上萬位的進位的2,為20+2=2回;

再計算這10個數(shù)的百萬位數(shù)字和為4X4=16,加上十萬位的進位的2,為16+2=1同；

再計算這10個數(shù)的千萬位數(shù)字和為4X3=12,加上百萬位的進位的1,為12+1=1囪；

再計算這10個數(shù)的億位數(shù)字和為4X2=8,加上千萬位的進位的1,為8+1=回;

最后計算這10個數(shù)的十億位數(shù)字和為4X1=4,加上億位上沒有進位，即為國.

所以，這10個數(shù)的和為4938271591.

6.如圖1T,每一線段的端點上兩數(shù)之和算作線段的長度，那么圖中6條線段的長度之和是多少？

【分析與解】因為每個端點均有三條線段通過，所以這6條線段的長度之和為：

7.我們規(guī)定，符號“O"表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：3.502.9=2.903.5=3.5.符號“△

(0.625A—)x(—00.4)

表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：3.542.9=2.943.5=2.9.請計算：—■——33個4-------

(-C0.3)+(—42.25)

3104

【分析與解】原式

8.規(guī)定(3)=2X3X4J4)=3X4X5,(5)=4X5X6,(10)=9X10X11,….如果-------=——'口，

(16)(17)(17)

那么方框內(nèi)應填的數(shù)是多少？

【分析與解】□=(」------)--=—16x17x18

(16)(17)(17)(16)15x16x175

9.從和式L+,+,+L+L+_L中必須去掉哪兩個分數(shù)，才能使得余下的分數(shù)之和等于1?

24681()12

【分析與解】因為_!_+'=4，所以的和為1,因此應去掉J.與」

612424612810

10.如圖1-2排列在一個圓圈上10個數(shù)按順時針次序可以組成許多個整數(shù)局部是一位的循環(huán)小數(shù),

例如1.892915929.那么在所有這種數(shù)中。最大的一個是多少。

【分析與解】有整數(shù)局部盡可能大，十分位盡可能大，那么有92918……較大，于是最大的為

9.291892915.

11.請你舉一個例子，說明“兩個真分數(shù)的和可以是一個真分數(shù)，而且這三個

分數(shù)的分母誰也不是誰的約數(shù)".

【分析與解】有一十—=一,一十一=一，一+—=一

6101510156351410

評注：此題實質(zhì)可以說是尋找攣生質(zhì)數(shù)，為什么這么說呢？

、.一，11c+a、”,,-11c+a1

汪意到----+-----=--------，當a+c=b時，有-----+-----=--------=-----.

axbcxbaxbxcaxbcxbaxbxcaxe

當a、b、c兩兩互質(zhì)時，顯然滿足題意.

顯然當a、b、c為質(zhì)數(shù)時一定滿足，那么兩個質(zhì)數(shù)的和等于另一個質(zhì)數(shù)，必定有一個質(zhì)數(shù)為2,不

妨設a為2,那么有2+c=b,顯然b、c為一對季生質(zhì)數(shù).

即可得出一般公式：----!----+——!——=」一，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可.

2x(c+2)cx(c+2)2xc

—)x(i--!.

12.計算：(1)x...x(l--------)

2x23x310x10

【分析與解】

IS^_(2-I)X(2+1)(3-l)x(3+l)(10-1)x(104-1)

工xx?..x

2x23x310x10

1x3x2x4x3x5x4x6x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11

2x2x3x3x4x4x...xl0xl0

1x2x3x3x4x4x5x5x...x9x9x10x11

2x2x3x3x4x4x...x9x9x10x10

1x2x10x1111

2x2x10x1020

c11x66+12x67+13x68+14x69+15x70"出"口”曰七一

13.a=-----------------------------------------xl()0.Ha的整數(shù)局部是多少？

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

【分析與解】

11x(65+1)+12x(66+1)+13x(67+1)+14x(68+1)+15x(69+1)…

=----------------------------------------------------------------x1()0

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+15

=(14-)x100

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+15

=10()4xl(X).

11x65+12x664-13x67+14x68+15x69

11+12+13+14+15sc11+12+13+14+15“、八100

因為x100<-------------------------x100=一

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(11+12+134-14+15)x6565

1nnas

所以aV100+3=1013.

6565

11+12+13+14+15、1。。>"+12+13+14+15X].吧

同時0G

11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(11+12+13+14+15)x6969

1nn3i

所以a>100+——=101—.

6969

綜上有101二31VaVlOl二35.所以a的整數(shù)局部為101.

6965

1357991

14.問一x-x-x-x...x——與一相比，哪個更大，為什么?

246810010

【分析與解】方法一：令,級黑…X圖

=A,=B,

24681003579101

有Axf統(tǒng)―.x992468100_1

---x—x-X—X...X

24681003579To?-ioT,

而B中分數(shù)對應的都比A中的分數(shù)大，那么它們的乘積也是B>A,

有AXAV4XB(=---)V----=—x—,所以有AXAV—x—，那么AV—.

10110()1010101010

??135799-1…,更大.

即一X—X—X—X...X---與相比,

24681001()1()

13579799

方法二：設4=-x—x—x—X...X——X

246898100

“，21133559999

那么A--x-x-x-x-x-x...x——x——

224466100100

Ix3x3x5x5x7x7x...x97x97x99x99xl

2x2x4x4x6x6x8x...x96x98x98x100x100

口小1x33x55x797x999011

顯然----、-----、-----二^、工都是小于1的，所以有人2<」一,于是AV

2x24x46x698x98100100To

15.下面是兩個1989位整數(shù)相乘：111...11x111.」1.問：乘積的各位數(shù)字之和是多少?

1989個11989個I

【分析與解】在算式中乘以9,再除以9,那么結果不變.因為111.二11能被9整除，所以將一個111.二11

1989個11989個1

乘以9,另一個除以9,使原算式變成：

=(1000.^.00-1)x123456790......012345679

1989個0―1988位效

=123456790......012345679(XXI._00-123456790......012345679

共1988位數(shù)1989個0共1988位數(shù)

=12345679()……()123456791234567898765432()9……98765432()987654321

共1988位數(shù)共1980位數(shù)

得到的結果中有19804-9=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和一個

“987654321”,所以各位數(shù)之和為:

+(1+2+3+4+5+6+7+8)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901

評注:1111111114-9=12345679；

MX999.二9的數(shù)字和為9Xk.(其中MW999.二9).可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結果.

k個9k個9

第4講計算綜合(二)

本講主要是補充[計算綜合(I)]未涉及和涉及不深的問題，但不包括多位數(shù)的運算.

1.nX(n+l)=[nX(n+1)X(n+2)-(n-l)XnX(n+l)]4-3；

2.從1開始連續(xù)n個自然數(shù)的平方和的計算公a式：

3,平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

1.a=-------------,b=------------------------------，試比擬&、b的大小.

【分析與解】

其中A=99,B=99+」一.因為A〈B,所以98+工>98+—,

1004B

1

2-F>2+，所以有a<b.

1

98+-98+-

AB

1

2.試求的和？

2005+------

2005

【分析與解】記工=-----------：-------，那么題目所要求的等式可寫為:

------

2005

-----+------L，而------+------7—=------+-------=1.

2+x]?12+x[?12+x2+x

1+X1+X

所以原式的和為1.

評注：上面補充的兩例中表達了遞推和整體思想.

2.試求1+2+3+4+-4+100的值？

【分析與解】方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項+末項)X項數(shù)+2=(1+100)X100+2=5050.

方法二：倒序柞加，1+2+3+4+5+…97+98+99+100

100+99+98+97+96+…4+3+2+1,

上下兩個數(shù)相加都是101,并且有100組，所以兩倍原式的和為101X100,那么原式的和為

101X1004-2=5050.

方法三：整數(shù)裂項(重點)，

原式=(1X2+2X2+3X2+4X2+???+100X2)4-2

=[lx2+2x(3—l)+3x(4-2)+4x(5—3)+7100x(101—99)卜2

=(4*2+2*3-4*2+3*4-2*3+4*4■-+T1()0x101-99夬4附+2

=100x101+2

=5050.

3.試求1X2+2X3+3X4+4X5+5X6+…+99X100.

【分析與解】方法一：整數(shù)裂項

原式=(1X2X3+2X3X3+3X4X3+4X5X3+5X6X3+…+99X100X3)+3

二[1X2X3+2X3X(4-1)+3X4X(5-2)+4X5X(6-3)+5X6X(7-4)+-+99X100X(101-98)]4-3

(1x2x4+2x3x4----1x2x3+4x4x5-2x3x4+4x5x6-3x4x5+5x6x7—4x5x6+一+99x100x101—

-9g*W*+OO-)4-3

=99x100x101-5-3

=33x101x100

=3333x100

=333300.

方程二：利用平方差公式,22+32+42+…+r?=〃2二〃X。"1)x(2〃卜1)

6

原式：12+1+22+2+32+34-42+4+52+5+-+992+99

-l?+22+32+42+52+---+992+l+2+3+4+5+—+99

99x100x19999x100

=-------------+--------

62

=328350+4950

=333300.

5.計算以下式子的值：

0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8x10.0

【分析與解]這個題看上去是一個關于小數(shù)的問題，實際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進行計

算.即先計算IX3+2x4+3X5+4x6+…+97x99+98X100。再除以100.

方法一：再看每一個乘法算式中的兩個數(shù)，都是差2,于是我甘容易想到裂項的方法.

0.1X0.3+0.2x0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+-+9.7X9.9+9.8x10.0

=(1X3+2X4+3X5+4X6+-+97X99+98X100)4-100

=1(1X2+1)+(2X3+2)+(3X4+3)+(4X5+4)+-+(97X98+97)+(98X99+98)]4-100

二:(1X2+2X3+3X4+4X5+…+97X98+98X99)+(1+2+3+4+…+97+98)]+100

J1

=(-X98X99X100+-X98X99)-M00

32

=3234+48.51

=3282.51

方法二：可以使用平方差公式進行計算.

0.1X0.3+0.2X0.4+0.3X0.5+0.4X0.6+…+9.7X9.9+9.8X10.0

=(1X3+2X4+3X5+4X6+…+97X99+98X100)4-100

=(12-1+22-1+3-1+42-1+52-1+-+992-1)4-100

=(1'+22+32+42+52+-+99-99)4-100

/1、

=(-X99X100X199-99)4-100

6

=16.5X199-0.99

=16.5X200-16.5-0.99

=3282.51

評注：首先，我們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計算與整數(shù)的計算是有聯(lián)系的.下面簡單介紹

一下整數(shù)裂項.

1X2+2X3+3X4+―+(n-l)Xn

=-X[lX2X3+2X3X3+3X4X3+-+(n-l)XnX3]

3

=-X{1X2