(25)-專題25 公因數(shù)和公倍數(shù)問題

專題25公因數(shù)和公倍數(shù)問題

考點聚焦

重點速記

1、公倍數(shù)指在兩個或兩個以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，這些倍數(shù)就是它們的

公倍數(shù)．

2、給定若干個正整數(shù)，如果他們有相同的因數(shù)，那么這個（些）因數(shù)就叫做它們的公因數(shù)．

3、求幾個數(shù)的最大公因數(shù)

（1）分別分解各個數(shù)的質因數(shù)，然后比較出公共的質因數(shù)相乘．

（2）用短除法，寫短除算式，道理與第一種方法相似，只是找公共因數(shù)的過程與除法過程

合并了．

4、求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

（1）分解質因數(shù)法：先把這幾個數(shù)分解質因數(shù)，再把它們一切公有的質因數(shù)和其中幾個數(shù)

公有的質因數(shù)以及每個數(shù)的獨有的質因數(shù)全部連乘起來，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)．

（2）公式法．由于兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積．即（a，b）

×[a，b]=a×b．所以，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的最大公約數(shù)，然后用上

述公式求出它們的最小公倍數(shù)．

真題專練

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．（2分）（2023?鐵西區(qū)）已知2路公共汽車10分開出一輛，10路公共汽車15分開出一

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輛，同時開出一輛后，至少再過()分又同時開出。

A．20B．30C．25D．60

2．（2分）（2023?石河子）歡歡家客廳長6米，寬4.2米。計劃在地面上鋪地磚，要求都用

整塊方磚。方磚的邊長可以是()厘米。

A．100B．60C．80D．70

3．（2分）（2023?嵩縣）學校組織畢業(yè)班學生參加社會實踐活動，活動時，除最后一組為2

人外，其余每組都是3人，參加這次活動的學生可能有()人。

A．650B．564C．520D．630

5

4．五（1）班的人數(shù)在40~50之間，男生人數(shù)是女生人數(shù)的，五（1）班有()人。

6

A．42B．44C．45D．48

5．（2分）（2023?鄭州）袋里有一些糖果，平均分給5個同學或者平均分給6個同學，都

正好分完，袋里最少有()個糖果。

A．30B．60C．11D．18

6．（2分）（2023?滁州）一根細木棒長24cm，另一根細木棒長32cm，分別將它們截成同樣

長的小段。如果要求截的小棒盡可能長，且都沒有剩余，最少截成()段。

A．3B．4C．7D．14

7．（2分）（2023?青秀區(qū)）一包糖，可以平均分給2個人，也可以平均分給3個人，都正

好分完，這包糖最少有()顆。

A．4B．6C．15D．16

8．（2分）（2023?鳳城市）學校合唱團為慶?！傲弧闭谶M行彩排，現(xiàn)有48名女生和60

名男生，如果男生和女生要分別排成整行，且每行人數(shù)都相同，那么每行最多能排()人。

A．6B．8C．10D．12

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．小華和小紅都是愛看書的孩子，小華每隔兩天去一次圖書館，小紅每隔三天去一次圖書館，

2022年2月24日這一天她們都去了圖書館，她們下一次同時去圖書館是月日。

10．（2分）（2023?金水區(qū)）一袋糖果，無論平均分給18個小朋友，還是平均分給20個小

朋友，均沒有剩余，這袋糖果至少有顆。

11．（2分）（2023?羅湖區(qū)）有兩根木料，一根長12m，另一根長18m，現(xiàn)在要把它們截成

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長度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最長米，兩根木料一共可以截成

段。

12．（2分）（2023?上虞區(qū)）“六一”兒童節(jié)當天，老師買來200顆大白兔糖，160顆巧克

力，平均分給班里的全體同學，剛好全部分完，這個班最多有人。

13．（2分）（2023?高州市）將一根長為410厘米的合金鋁管截成36厘米和24厘米兩種型

號的短管（加工損耗忽略不計），剩余部分的鋁管至少是厘米。

14．（2分）（2023?章丘區(qū)）一箱蘋果有50多個，如果把這箱蘋果每6個裝一盒，還剩余4

個，如果每8個裝一盒，也剩余4個，這箱蘋果共個。

15．六（1）班站隊，每9人一行或每12人一行，結果都多3人。這個班至少有人。

16．（2分）（2023?江門）徐老師買來12枝玫瑰花和30枝百合花，用這些花最多可以扎成

束同樣的花束，每束有枝玫瑰花。

三．應用題（滿分68分）

17．一個大型室內游樂場的地面是一個長為72米、寬為63米的長方形，如果全部用正方形

爬行墊鋪地（爬行墊均為整塊數(shù)）。鋪滿這間屋子的地面至少需要多少塊這樣的爬行墊？

18．（5分）（2023?吉陽區(qū)）1路車每10分鐘發(fā)一班車，2路車每15分鐘發(fā)一班車，這兩

路公交車早上8點10分第一次同時發(fā)車，什么時間這兩路車第二次同時發(fā)車？

19．三個同學商議暑期去圖書館借書。小明說：“我每4天就去一次”，小華說：“我每6

天去一次”，小紅說：“我每8天才能去一次?！叭绻?月5日上午9點同時去圖書館

借書，那么下一次他們三人會在幾月幾日上午9點同時在圖書館相遇？

20．（5分）（2021?莘縣）把30塊糖和24塊巧克力，平均分給一個組的同學，都正好分完，

你知道這個組最多有多少同學嗎？每位同學分得幾塊糖？幾塊巧克力？

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21．（6分）（2019?湖南）上午6時從汽車站同時出發(fā)1路和2路公共汽車，1路車每隔12

分鐘發(fā)一次，2路車每隔18分鐘發(fā)一次，求下次同時發(fā)車時間。

22．（6分）（2023?兗州區(qū)）學校在校園里開辟了一塊長20米，寬8米的長方形土地，準

備把這片土地劃分成大小相等的小正方形做試驗田，且土地不能有剩余，每塊小正方形土地

的面積最大是多少平方米？可以分成多少塊？

23．（6分）（2023?蘿北縣）五（1）班有42人，五（2）班有48人參加植樹活動，要求按

班分組，如果兩個班每組的人數(shù)必須相同，可以怎樣分？每組最多有多少人？

24．秦老師買了作業(yè)本112本，鉛筆130支，橡皮70塊，平均分給四（6）班的同學，結果

作業(yè)本多出13本，鉛筆少了2支，橡皮多出4塊，則四（6）班最多有人．

25．一個房間的長是3.6米，寬是2.4米．現(xiàn)在要在這個房間鋪上相同的方磚．

①每塊方磚的邊長最大是多少分米？

②這間房間一共需要多少塊這樣的方磚？

26．（6分）（2023?大城縣）一箱玩具有40多個，如果把這些玩具每8個裝一盒或每10個

裝一盒，都還剩下6個。這箱玩具有多少個？

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27．（6分）（2022?欒城區(qū)）一個長方形的硬紙板長是48厘米，寬是36厘米。如果將這個

長方形硬紙板分割成最大的正方形而且沒有剩余。能分割多少個相同的正方形？

28．（6分）（2023?建鄴區(qū)）在AB這條新鋪的路上等距離安裝路燈，但要求在C處及AC和

BC的中點處都要安裝一盞，問至少需要安裝多少盞燈？

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專題25公因數(shù)和公倍數(shù)問題

參考答案

一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

1．【分析】由題意可知，2路公共汽車的發(fā)車時間是10的倍數(shù)，10路公共汽車的發(fā)車時間

是15的倍數(shù)，2路和10路汽車同時的發(fā)車時間為10和15的公倍數(shù)，求至少經過多長時間2

路和10路汽車同時發(fā)車，計算10和15的最小公倍數(shù)即可。

【解答】解：10=2′5

15=3′5

10和15的最小公倍數(shù)：2′3′5=30。

答：至少再過30分又同時開出。故選：B。

【點評】根據(jù)求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質因數(shù)與每一個獨有質因數(shù)的連

乘積，就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

2．【分析】先換算單位長6m=600cm，寬4.2m=420cm，再找到600，420的公因數(shù)即可作出

選擇。

【解答】解：6m=600cm，寬4.2m=420cm

600=2′2′2′3′5′5；

420=2′2′3′5′7；

故選項中只有60是600、420的因數(shù)。故選：B。

【點評】考查了圖形的密鋪，同時是對求兩個數(shù)的公因數(shù)的考查。本題要將6m，4.2m進行適

當?shù)膯挝粨Q算。

3．【分析】根據(jù)題意可得：參加活動的學生人數(shù)除以3余數(shù)是2；據(jù)此判斷即可。

【解答】解：A．650?3=216??2，與題意相符；

B．564?3=188，與題意不符；

C．520?3=173??1，與題意不符；

D．630?3=210，與題意不符。故選：A。

【點評】根據(jù)每組人數(shù)情況，確定“總人數(shù)除以3余數(shù)是2”是解答本題的關鍵。

5

4．【分析】男生人數(shù)是女生人數(shù)的，根據(jù)分數(shù)意義，全班有5+6=11（份)，男生人數(shù)占5

6

份，女生人數(shù)占6份，五（1）班的人數(shù)在40~50之間并且是11的倍數(shù)，結合選項得出結論

即可。

【解答】解：根據(jù)題意，五（1）班的人數(shù)在40~50之間并且是11的倍數(shù)，所以是44人。

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故選：B。

【點評】本題考查分數(shù)的意義，關鍵根據(jù)題意得出全班人數(shù)的份數(shù)，再進一步解答。

5．【分析】由題意“平均分給5個同學或者平均分給6個同學，都正好分完”，說明這包糖

至少有的塊數(shù)，是6和5的最小公倍數(shù)，因此求出6和5的最小公倍數(shù)，即可求出這包糖果

至少有多少塊。

【解答】解：因為6和5互質。

所以6和5的最小公倍數(shù)是：6′5=30。

答：這盒糖果至少有30塊。故選：A。

【點評】考查了求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質因數(shù)與每個數(shù)獨有質因數(shù)的

連乘積是最小公倍數(shù)。

6．【分析】根據(jù)題意，求出24和32的最大公約數(shù)，即是每根小段的最長，然后用24除以

最大公約數(shù)加上32除以最大公約數(shù)的商，就是一共截成的段數(shù)，據(jù)此解答。

【解答】解：24=2′2′2′3

32=2′2′2′2′2

因為24和32的最大公約數(shù)是2′2′2=8，所以每段最長8厘米。

24?8+32?8

=3+4

=7（段)

答：最少截成7段。故選：C。

【點評】解答此題的關鍵是利用求最大公約數(shù)的方法求出每段的最長，然后計算出每根細木

棒截成的段數(shù)，再相加即可。

7．【分析】要想糖正好分完，這包糖的數(shù)量必須既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，問題是最少

多少顆，所以找2和3的最小公倍數(shù)。

【解答】解：2和3的最小公倍數(shù)是2′3=6

答：這包糖最少有6顆。故選：B。

【點評】這道題考查的是求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。解題關鍵是對最小公倍數(shù)的充分理解。

8．【分析】男女生分別排隊，要使每行的人數(shù)相同，那么每行的人數(shù)是男生和女生人數(shù)的公

因數(shù)，要求每行最多有多少人，就是求男生人數(shù)和女生人數(shù)的最大公因數(shù)，然后分解質因數(shù)

解答即可。

【解答】解：60=2′2′3′5

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48=2′2′2′2′3

所以60和48的最大公因數(shù)是：2′2′3=12

即每行最多有12人。

答：每行最多能排12人。故選：D。

【點評】解答本題關鍵是理解：每行的人數(shù)是男生和女生人數(shù)的公因數(shù)，要求每行最多有多

少人，就是每行的人數(shù)是男生和女生人數(shù)的最大公因數(shù)。

二．填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）

9．【分析】求出2和3的最小公倍數(shù)，再用2022年2月24日加上2和3的最小公倍數(shù)，再

根據(jù)2022?4=505.5，2022年不是閏年，2月份有28天，即可解答。

【解答】解：2和3的最小公倍數(shù)是2′3=6。

2022年2月24日+6天=2022年3月2日

答：她們下一次同時去圖書館是3月2日。故答案為：3，2。

【點評】本題考查的是求最小公倍數(shù)的應用題，掌握求最小公倍數(shù)的方法是解答關鍵。

10．【分析】求出18和20的最小公倍數(shù)，即可解答。

【解答】解：18=2′3′3

20=2′2′5

18和20的最小公倍數(shù)是2′2′3′3′5=180。

答：這袋糖果至少有180顆。故答案為：180。

【點評】本題考查的是最小公倍數(shù)應用題，掌握求最小公倍數(shù)的方法是解答關鍵。

11．【分析】根據(jù)題意，可計算出18與12的最大公因數(shù)，即是每根小段的最長，然后再用

18除以最大公因數(shù)加上12除以最大公約數(shù)的商，即是一共截成的段數(shù)，列式解答即可得到

答案。

【解答】解：18=2′3′3

12=2′2′3

所以最大公因數(shù)是2′3=6，

所以每段最長6米，

18?6+12?6

=3+2

=5（段)

答：每小段最長6米，兩根木料一共可以截成5段。故答案為：6，5。

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【點評】解答此題的關鍵是利用求最大公因數(shù)的方法計算出每小段的最長，然后再計算每根

木條可以截成的段數(shù)，再相加即可。

12．【分析】根據(jù)題意，也就是求200與160的最大公因數(shù)，即是這個班小朋友的最多人數(shù)；

先把200和160分別分解質因數(shù)，進而找出它們公有的質因數(shù)，再把公有的質因數(shù)相乘即可。

【解答】解：200=2′2′2′5′5

160=2′2′2′2′2′5

200和160的最大公因數(shù)是：2′2′2′5=40

答：這個班最多有40人。故答案為：40。

【點評】解答此題關鍵是利用求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法，并用它解決生活中的實際問題。

13．【分析】首先求出兩種規(guī)格短管的長度和，再根據(jù)“包含”除法的意義，用除法解答。

【解答】解：410?(36+24)

=410?60

=6（根)......50（厘米）

50?24=2（根)......2（厘米）

答：剩余部分的鋁管至少是2厘米。故答案為：2。

【點評】此題考查的目的是理解掌握“包含”除法的意義及應用，有余數(shù)除法的計算法則及

應用。

14．【分析】根據(jù)題意，蘋果數(shù)大于50，減去4個后既是8的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)，所以只

要求出8和6的最小公倍數(shù)，然后乘一個整數(shù)，加上4，剛大于50，即可得解。

【解答】解：8=2′2′2

6=2′3

所以8和6的最小公倍數(shù)是2′2′2′3=24

24′2+4=52（個)

答：這箱蘋果共有52個。故答案為：52。

【點評】本題考查了靈活應用最小公倍數(shù)的求解方法來解決實際問題。

15．【分析】根據(jù)題意可知，找出9和12的最小公倍數(shù)，再加3即可求出這個班的人數(shù)。

【解答】解：9的倍數(shù)有9，18，27，36等，

12的倍數(shù)有12，24，36等，

9和12的最小公倍數(shù)是36，

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36+3=39（人)

所以這個班至少有39人。故答案為：39。

【點評】掌握公倍數(shù)的意義是解題關鍵。

16．【分析】此題屬于最大公因數(shù)的應用類題目，所用知識點是求幾個數(shù)最大公因數(shù)的方法；

用這些花可以扎成多少束同樣的花束，即求12和30的最大公因數(shù)；然后用玫瑰花的總枝數(shù)

除以花束的數(shù)量，即可得出每束有多少枝玫瑰花。

【解答】解：12=2′2′3

30=2′3′5

因此最大公因數(shù)是：2′3=6

12?6=2（枝)

答：用這些花最多可以扎成6束同樣的花束，每束有2枝玫瑰花。故答案為：6，2。

【點評】本題考查公因數(shù)的計算及應用。理解題意，找出最大公因數(shù)是解決本題的關鍵。

三．應用題（滿分68分）

17．【分析】求出72和63的最大公因數(shù)，用長和寬分別除以最大公因數(shù)，再將商相乘，即

可解答。

【解答】解：72=2′2′2′3′3

63=3′3′7

72和63的最大公因數(shù)是3′3=9。

(72?9)′(63?9)

=8′7

=56（塊)

答：鋪滿這間屋子的地面至少需要56塊這樣的爬行墊。

【點評】本題考查公因數(shù)的計算及應用。理解題意，找出最大公因數(shù)是解決本題的關鍵。

18．【分析】這兩路車第二次同時發(fā)車的時間=8時（10分）+10和15的最小公倍數(shù)，用短

除法求出。

【解答】解：

10和15的最小公倍數(shù)是：

5′2′3

=10′3

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=30

8時10分+30分=8時40分

答：8時40分這兩路車第二次同時發(fā)車。

【點評】本題考查的是最小公倍數(shù)問題，掌握求最小公倍數(shù)方法是解答關鍵。

19．【分析】求出4、6、8的最小公倍數(shù)，用7月5日加上最小公倍數(shù)即可。

【解答】解：4=2′2

6=2′3

8=2′2′2

4、6、8的最小公倍數(shù)是2′2′2′3=24。5日+24天=29日

答：他們三人會在7月29日上午9點同時在圖書館相遇。

【點評】此題主要考查求兩個數(shù)最小公倍數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質因數(shù)與每個數(shù)獨有質因

數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)；數(shù)字大的可以用短除解答。

20．【分析】根據(jù)題意，也就是求30與24的最大公因數(shù)，即是這個組的最多人數(shù)；先把30

和24分別分解質因數(shù)，進而找出它們公有的質因數(shù)，再把公有的質因數(shù)相乘即可。分別用糖

和巧克力的塊數(shù)除以最大公因數(shù)，即可求出每位同學分得幾塊糖，幾塊巧克力。

【解答】解：30=2′3′5

24=2′2′2′3

所以30和24的最大公因數(shù)是：2′3=6。

30?6=5（塊)

24?6=4（塊)

答：這個組最多有6名同學，每位同學分得5塊糖，4塊巧克力。

【點評】本題考查公因數(shù)的計算及應用。理解題意，找出最大公因數(shù)是解決本題的關鍵。

21．【分析】1路和2路下次同時發(fā)車時，所經過的時間必須既是12分鐘的倍數(shù)，又是18

分鐘的倍數(shù)，也就是求它們的最小公倍數(shù)。

【解答】解：12=2′2′3

18=2′3′3

12和18的最小公倍數(shù)是：2′2′3′3=36

6時+36分鐘=6時36分

答：下次同時發(fā)車時間是上午6時36分。

【點評】本題關鍵是理解：兩輛車同時發(fā)車的兩次之間間隔時間就是12和18的最小公倍數(shù)。

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22．【分析】根據(jù)題意可知，每塊小正方形土地邊長等于長和寬的最大公因數(shù)，求出20和8

的最大公因數(shù)，根據(jù)長方形的面積=長′寬，正方形的面積=邊長′邊長，分別求出長方形的

面積，每塊正方形地的面積，然后根據(jù)“包含”除法的意義，用除法解答。

【解答】解：20=2′2′5

8=2′2′2

20和8的最大公因數(shù)是2′2=4

4′4=16（平方米）

(20′8)?16

=160?16

=10（塊)

答：每塊小正方形土地的面積最大是16平方米，可以分成10塊。

【點評】本題主要考查的是最大公因數(shù)的求法在實際問題中的應用，以及長方形、正方形面

積公式的靈活運用。

23．【分析】要求兩個班每組的人數(shù)必須相同，就是每組的人數(shù)是42和48的公因數(shù)，要求

每組最多有多少人，就是每組的人數(shù)是42和48的最大公因數(shù)，據(jù)此解答．

【解答】解：42=2′3′7，

48=2′2′2′2′3，

所以42和48的公因數(shù)有：2，3，6，

最大公因數(shù)是：2′3=6；

答：如果兩個班每組的人數(shù)必須相同，可以每組分2人、3人或6人，每組最多有6人．

【點評】解答本題關鍵是理解：要求兩個班每組的人數(shù)必須相同，就是每組的人數(shù)是42和

48的公因數(shù)．

24．【分析】作業(yè)本112本減去13本是99本，余下的99是這個班的同學人數(shù)的整數(shù)倍，鉛

筆130支加上2支一共是132支，132是這個班的同學人數(shù)的整數(shù)倍，橡皮70塊減去4塊可

得66塊，66是這個班的同學人數(shù)的整數(shù)倍，所以這個班最多人數(shù)就是99、132和66的最大

公因數(shù)．用短除法求出最大公因數(shù)即可解答．

【解答】解：112-13=99（本)

130+2=132（支)

70-4=66（塊)

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所以99、132和66的最大公因數(shù)是11′3=33（人)，

答：四（6）班最多有33人．故答案為：33．

【點評】本題考查了應用最大公因數(shù)的求解方法來解決實際問題．

25．【分析】（1）3.6米=36分米，2.4米=24分米，要求每塊方磚的邊長最大是多少分米，

就是求36和24的最大公約數(shù)；

（2）要求這間房間一共需要多少塊這樣的方磚，用房間的面積除以每塊方磚的面積即可．

【解答】解：（1）3.6米=36分米，2.4米=24分米，

36=2′2′3′3，

24=2′2′2′3，

36和24的最大公約數(shù)是2′2′3=12，

答：每塊方磚的邊長最大是12