3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)（教案）-高二數(shù)學（高教版2023修訂版拓展模塊一上冊）

教學目標3.1.2橢圓的幾何性質(zhì)教學目標1.掌握橢圓的性質(zhì)，會求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、頂點坐標；2.能根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，對橢圓方程進行討論，會畫橢圓的圖形過程與方法.教學重難點教學重點：根據(jù)條件求橢圓的標準方程教學重難點教材分析教學難點：圓的離心率對圖像的影響．教材分析教學工具本節(jié)課是通過研究橢圓的標準方程來探究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是本單元的重點內(nèi)容之一，利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務目的，通過本節(jié)課的學習，既讓學生了解了橢圓的幾何性質(zhì)，又讓學生初步體會了利用曲線方程來研究其性質(zhì)的過程，同進也為下一步學習雙曲線和拋物線的性質(zhì)做好了鋪墊.教學工具教學課件教學過程（一）教學過程(x-a)2+(y-b)2=r2.方程稱為以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程.在基礎模塊，我們利用圓的標準方程得到了圓的性質(zhì)，是否可以利用橢圓的標準方程來研究橢圓的性質(zhì)呢？【設計意圖】復習知識并為今天的學習內(nèi)容做鋪墊.（二）探索新知下面以x2a2+y2b21.范圍從橢圓的標準方程可知，1-x2a2=y2b-a≤x≤a．同理可得，y2b2≤1，于是有-b≤y這說明，橢圓位于四條直線x=-a，x=a，y=-b，y=b所圍成的矩形框內(nèi)，如圖所示．2.對稱性在橢圓的標準方程中，將y換成-y，方程不變．這說明，當點P(x,y)在橢圓上時，其關于x軸的對稱點

P1(x,-y)也在橢圓上．因此,橢圓關于x軸對稱．同理，將x換成-x，方程不變.這說明，當點P(x,y)在橢圓上時，其關于y軸的對稱點P2(-x,y)也在橢圓上．因此，橢圓關于y軸對稱．

進一步，將x換成-x，同時y換成-y，方程不變．這說明，當點P(x,y)在橢圓上時，其關于原點的對稱點P3(-x,-y)也在橢圓上．因此，橢圓關于原點對稱．綜上所述，橢圓既關于x軸對稱，又關于y軸對稱，也關于坐標原點對稱．x軸與y軸都稱為橢圓的對稱軸，坐標原點稱為橢圓的對稱中心(簡稱中心)．3.頂點在橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1中，令y=0，得x=±a，這說明橢圓與x軸有兩個交點A1(-a,0)和A2(a,0)．同理，令x=0，得y=±b.這說明橢圓與y軸有兩個交點B1(0,-b)和橢圓與它的對稱軸的四個交點A1、A2、B1、B2，稱為橢圓的頂點．線段A1A2和B1B2分別稱為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b．a(chǎn)和b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長．顯然，橢圓的焦點在它的長軸上．值得注意的是，由于a、b、c滿足關系式b2+c2=a2，故長度分別為a、b、c的三條線段構(gòu)成一個直角三角形．觀察上圖，可知|OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a，故有|OB2|2+|OF2|2=|B2F2|2．因此，Rt△F2OB2(或Rt△F1OB1)直觀地反映了橢圓的標準方程中a、b、c三者之間的關系．4.離心率把橢圓的焦距與長軸長之比c

a稱為橢圓的離心率，記作e=c

a因為a>c>0，所以0<e<1．容易看出，e越接近于1，c越接近于a，從而b=a2-c2越小，橢圓就越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，從而b越接近于同樣，可以得到橢圓的范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸及離心率等基本性質(zhì)．同樣，可以得到橢圓y2a2為什么油罐車的儲油罐、灑水車的儲水箱一般設計為橢圓的形狀？可以降低分散液體對罐壁的壓力，在裝載相同體積下，同強度，橢圓型設計上可以縮小壁厚，減少材料。同時，也提高行車平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就沒辦法把低下的油放干凈，而且行車時油對壁的沖擊很大.【設計意圖】借助信息技術手段突破難點，也更加直觀..（三）典例剖析例1.求橢圓16x2+25y2=400的長軸長、短軸長、離心率，焦點和頂點的坐標．解：將原方程化為標準方程，得x225+y容易看出，橢圓的焦點在x軸，并且a=5，b=4，所以c=a2-b2=從而，橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8，離心率e=c

a=3

焦點坐標分別為(-3,0)、(3,0)，頂點坐標分別為(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)．例2.分別求滿足下列條件的橢圓的標準方程．（1）經(jīng)過點M(4,0)、N(0,-3)；（2）短軸長為6，離心率為4

5解：（1）因為橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，所以，點M、N就是橢圓的頂點,并且長半軸長a=4,短半軸長b=3．由于橢圓的長軸在x軸上，故其焦點在x軸上．于是，所求橢圓的標準方程為x225+y（2）因為2b=6，所以b=3．由e=c

a=a2-b2a若橢圓的焦點在x軸上，則所求橢圓的標準方程為x225+y若橢圓的焦點在x軸上，則所求橢圓的標準方程為x29+y求橢圓的標準方程時,如果橢圓的交點位置不明確,應分別就焦點在x軸和y軸上兩種情形進行討論．例3.用“描點法”畫出橢圓x225+y分析由于橢圓具有對稱性，一般只需先畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,然后利用對稱性，畫出全部圖形．解當y≥0時,橢圓的方程可以變形為y=3

在[0,5]內(nèi)，選取幾個整數(shù)作為x的值，計算出對應的y值，列表．以表中的x值為橫坐標，對應的y值為縱坐標，在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y)，用光滑的曲線順次鏈接各點，得到橢圓在第一象限內(nèi)的圖形．然后利用橢圓的對稱性，畫出全部圖形．我們可以利用橢圓的頂點和對稱性畫出大致圖像．具體步驟如下：（1）由a2=25，得a=5，則得到橢圓的兩個頂點A1(-5,0)、A2(5,0)；（2）由b2=9，得b=3，則得到橢圓的另外兩個頂點B1(0,-3)、B2(0,3)；

（3）依據(jù)橢圓的圖形特征，用光滑的曲線連接四個點，則橢圓的大致圖像就畫好了．【設計意圖】例1讓學生掌握橢圓的性質(zhì)，例2是求橢圓的標準方程，例3掌握描點法畫圖.（四）鞏固練習1.求橢圓9x2＋16y2＝144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標．解：把已知方程化成標準方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，于是a＝4，b＝3，c＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，∴橢圓的長軸長和短軸長分別是2a＝8和2b＝6，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(7),4)，兩個焦點坐標分別是(－eq\r(7)，0)、(eq\r(7)，0)，四個頂點坐標分別是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)．2．求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在x軸上，長軸長為4，焦距為2；(2)一個焦點坐標為，短軸長為2；(3)離心率為，短軸長為4．解：（1）∵橢圓的焦點在軸上，∴設橢圓的方程為，長軸長為4，焦距為2，，∴a＝2，c＝1，，橢圓的方程為；解：（2）焦點坐標為，短軸長為2，∴設橢圓的方程為，，，橢圓的方程為；解：（3）由題意有：，解得，橢圓的方程為或.3．如圖，求直線與橢圓的公共點坐標．解：聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，得到，即，解得，當時，，當時，，所以直線l與橢圓C的公共點的坐標為．4.飛船的軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，選取坐標系如圖所示，橢圓中心在坐標原點，近地點A距地面2