內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2024年中考數(shù)學(xué)試卷含真題解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．某地區(qū)某日最高氣溫是零上，記作，最低氣溫是零下，應(yīng)該記作（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵零上，記作，

∴最低氣溫是零下，應(yīng)該記作，故答案為：A【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量結(jié)合題意即可求解。2．如圖，這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】D3．在學(xué)校文藝匯演中，7名參加舞蹈表演的女生身高（單位：）如下：170175169171172170173，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．175 B．172 C．171 D．170【答案】C【解析】【解答】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為169、170、170、171、172、173、175，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為171．故答案為：C【分析】先根據(jù)題意將數(shù)據(jù)從小到大排列，進(jìn)而根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解。4．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：A.，A不符合題意；B.，B符合題意；C.，C不符合題意；D.，D不符合題意；故答案為：B【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、積的乘方、算術(shù)平方根、二次根式的加法結(jié)合題意對選項(xiàng)逐一進(jìn)行計(jì)算即可求解。5．剪紙是我國民間藝術(shù)之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合.則點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得該圖形的對稱軸為y軸，

∴點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：C【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)一致）結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求解。6．如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與（其中，，，，為常數(shù)）的圖象分別為直線，.下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，

∴，，，，

∴只有A選項(xiàng)符合題意，故答案為：A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象得到，進(jìn)而對選項(xiàng)逐一判斷即可求解。7．不透明的袋子中裝有1個紅球，2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個球，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個球，那么兩次都摸出白球的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得一次摸出白球的概率為，

∴兩次都摸出白球的概率是，故答案為：C【分析】根據(jù)簡單事件的概率結(jié)合題意進(jìn)行計(jì)算即可求解（注意本題為放回的情況）。8．將三角尺按如圖位置擺放，頂點(diǎn)A落在直線上，頂點(diǎn)B落在直線上，若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：∵∴，∴．故答案為：B【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合題意即可求解。9．如圖，的對角線，交于點(diǎn)O，以下條件不能證明是菱形的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴是菱形，A不符合題意；B、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴∴，∴是菱形，B不符合題意；C、∵，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴是菱形，C不符合題意；D、∵，∴，無法得到是菱形，D符合題意；故答案為：D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定即可判斷A；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而等量代換根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)菱形的判定即可判斷B；根據(jù)勾股定理的逆定理得到，即，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定即可判斷C；根據(jù)勾股定理的逆定理得到，進(jìn)而根據(jù)菱形的判定即可判斷D.10．如圖，小程的爸爸用一段長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個寬的門（由其它材料制成），則長為（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)矩形場地垂直于墻一邊長為，則平行于墻的一邊的長為，由題意得，解得，，當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為；當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為，不符合題意；∴該矩形場地長為米，故答案為：C【分析】設(shè)矩形場地垂直于墻一邊長為，則平行于墻的一邊的長為，進(jìn)而結(jié)合圖片根據(jù)矩形的面積即可列出一元二次方程，從而即可求出x的值，再分類討論其合理性即可求解。11．如圖，圓形拱門最下端在地面上，D為的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若，，則拱門所在圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：連接，如圖所示：∵線段經(jīng)過拱門所在圓的圓心，，為的中點(diǎn)，為拱門最高點(diǎn)，∴，，設(shè)拱門所在圓的半徑為，則，∴，解得，∴拱門所在圓的半徑為；故答案為：B【分析】連接，先根據(jù)垂徑定理得到，，設(shè)拱門所在圓的半徑為，則，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求出r.12．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O為正六邊形的中心，軸，點(diǎn)E在雙曲線（k為常數(shù)，）上，將正六邊形向上平移個單位長度，點(diǎn)D恰好落在雙曲線上，則k的值為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】【解答】解：過點(diǎn)E作軸于H，連接，如圖所示：∵原點(diǎn)為正六邊形的中心，∴∴是等邊三角形，∴，∵，∴，由勾股定理得，設(shè)，則，∴，，∵將正六邊形向上平移個單位長度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，∴點(diǎn)在雙曲線上，又∵點(diǎn)E也在雙曲線上，∴，解得或（舍去），∴，故答案為：A【分析】過點(diǎn)E作軸于H，連接，先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得到進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，從而結(jié)合題意運(yùn)用勾股定理表示出EH，設(shè)，則，從而得到，，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點(diǎn)在雙曲線上，從而根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)即可得到，解出m即可求解。二、填空題13．因式分解．【答案】【解析】【解答】解：由題意得，故答案為：.【分析】先根據(jù)題意提取公因式3a，進(jìn)而運(yùn)用完全平方公式結(jié)合題意因式分解即可求解。14．如圖，根據(jù)機(jī)器零件的設(shè)計(jì)圖紙，用不等式表示零件長度L的合格尺寸（L的取值范圍).【答案】【解析】【解答】解：由題意得40-0.01≤L≤40+0.01，

即，故答案為：【分析】根據(jù)題意解一元一次不等式組，進(jìn)而即可求解。15．分式方程的解為．【答案】【解析】【解答】解：解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故答案為：．【分析】根據(jù)題意方程兩邊同時乘x(x-2)，進(jìn)而去括號，從而即可解方程，再檢驗(yàn)即可求解。16．如圖，為便于研究圓錐與扇形的關(guān)系，小方同學(xué)利用扇形紙片恰好圍成一個底面半徑為，母線長為的圓錐的側(cè)面，那么這個扇形紙片的面積是（結(jié)果用含π的式子表示）.【答案】【解析】【解答】解：由題意得底面圓的周長為，即扇形紙片的弧長為，∵母線長為，∴圓錐的側(cè)面積．故答案為：【分析】先根據(jù)題意求出圓錐底面圓的周長，進(jìn)而即可得到扇形的弧長，再根據(jù)母線長結(jié)合圓錐側(cè)面積公式即可求解。17．關(guān)于拋物線（m是常數(shù)），下列結(jié)論正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）.①當(dāng)時，拋物線的對稱軸是y軸；②若此拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn)，則；③若點(diǎn)，在拋物線上，則；④無論m為何值，拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都等于.【答案】①④【解析】【解答】解：當(dāng)時，，

∴拋物線的對稱軸是軸，

①正確；∵此拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)，∴，解得，

②錯誤；∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵，∴離對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，∵，∴，

③錯誤；∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，過點(diǎn)A作直線于點(diǎn)B，則點(diǎn)，，，如圖所示：∴是等腰直角三角形，∴，即拋物線的頂點(diǎn)到直線的距離都等于，

④正確．故答案為：①④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合題意即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)結(jié)合一元二次方程根的判別式即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到離對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，從而比較即可判斷③；先根據(jù)題意得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線上，過點(diǎn)A作直線于點(diǎn)B，則點(diǎn)，，，從而解直角三角形即可判定④.三、解答題18．計(jì)算：.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求解。19．先化簡，再求值：，其中，.【答案】，當(dāng)，時，原式.【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡，進(jìn)而代入數(shù)值即可求解。20．在“綜合與實(shí)踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C點(diǎn)測得楊樹底端B點(diǎn)的仰角是，長6米，在距離C點(diǎn)4米處的D點(diǎn)測得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為，求楊樹的高度（精確到米，，，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D在同一水平線上.參考數(shù)據(jù)：）.【答案】過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，，在中，，米，米，米，米，米在中，，米，米，，米.答：楊樹的高度約6.2米.【解析】【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，進(jìn)而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得到BE和CE，從而得到DE，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到AB。21．為迎接2024年5月26日的科爾沁馬拉松賽，某中學(xué)七年級提前開展了一次“馬拉松”歷史知識測試.七年級600名學(xué)生全部參加本次測試，調(diào)查研究小組隨機(jī)抽取50名學(xué)生的測試成績（百分制）作為一個樣本.【收集數(shù)據(jù)】調(diào)查研究小組收集到50名學(xué)生的測試成績：6061629473738585877263647066746567757671949384917682838392848080829291867786887270719390819074788175【整理描述數(shù)據(jù)】通過整理數(shù)據(jù)，得到以下尚不完整的頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：組別成績分組頻數(shù)AaB16C16Db（1）頻數(shù)分布表中▲，▲，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是.（3）【應(yīng)用數(shù)據(jù)】若成績不低于90分為優(yōu)秀，請你估計(jì)參加這次知識測試的七年級學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù).【答案】（1）整理數(shù)據(jù)可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67；；的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、；補(bǔ)全圖形如下：；（2）20；72°（3）若成績不低于90分為優(yōu)秀，估計(jì)參加這次知識測試的七年級學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀的有（人）.【解析】【解答】解：（2）∵，∴；所對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；故答案為：20；72°【分析】（1）根據(jù)題意整理數(shù)據(jù)，進(jìn)而即可得到a和b，進(jìn)而補(bǔ)全直方圖即可求解；

（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖即可得到m，進(jìn)而根據(jù)圓心角的計(jì)算公式即可求解；

（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體的知識結(jié)合題意進(jìn)行計(jì)算即可求解。22．如圖，中，∠ACB=90°，點(diǎn)O為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓與相切于點(diǎn)D，連接CD.（1）求證：；（2）若，BC=6，求的半徑.【答案】（1）證明：連接，如圖所示：為切線，，，，，，，.（2）在中，，，在和中，，，，，，設(shè)的半徑為r，則，，在中，，解得，半徑的長為3.【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，進(jìn)而結(jié)合題意即可得到，再根據(jù)等量代換即可求解；

（2）根據(jù)勾股定理求出AB，進(jìn)而根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明得到，從而得到AD，設(shè)的半徑為r，則，，根據(jù)勾股定理求出r即可求解。23．某中學(xué)為加強(qiáng)新時代中學(xué)生勞動教育，開辟了勞動教育實(shí)踐基地.在基地建設(shè)過程中，需要采購煎蛋器和三明治機(jī).經(jīng)過調(diào)查，購買2臺煎蛋器和1臺三明治機(jī)需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機(jī)需395元.（1）求煎蛋器和三明治機(jī)每臺價(jià)格各是多少元；（2）學(xué)校準(zhǔn)備采購這兩種機(jī)器共50臺，其中要求三明治機(jī)的臺數(shù)不少于煎蛋器臺數(shù)的一半，請你給出最節(jié)省費(fèi)用的購買方案.【答案】（1）設(shè)煎蛋器每臺x元，三明治機(jī)每臺y元.由題意得：，解得：，答：煎蛋器單價(jià)為65元/臺，三明治機(jī)單價(jià)為110元/臺；（2）設(shè)煎蛋器采購a臺，則三明治機(jī)采購臺，由題意得：，解得：，a只能取正整數(shù)，∴a的最大值為33，設(shè)總的購買費(fèi)用為w元，，，當(dāng)時，費(fèi)用最低，此時的購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機(jī)17臺；答：購買方案為：購買煎蛋器33臺，三明治機(jī)17臺.【解析】【分析】（1）設(shè)煎蛋器每臺x元，三明治機(jī)每臺y元，根據(jù)“購買2臺煎蛋器和1臺三明治機(jī)需240元，購買1臺煎蛋器和3臺三明治機(jī)需395元”即可列出二元一次方程組，從而解方程組即可求解；

（2）設(shè)煎蛋器采購a臺，則三明治機(jī)采購臺，根據(jù)題意求出a的取值范圍，從而即可得到a的最大值，再根據(jù)題意表示出w與a的一次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合a的取值即可求解。24．【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具.同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘.（1）【模型建立】如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”.，.求證：.（2）【模型應(yīng)用】如圖2，中，的平分線交于點(diǎn)D.請你從以下兩個條件：①；②中選擇一個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程.（注：只需選擇一種情況作答）（3）【拓展提升】如圖3，為的直徑，，的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，連接.求證：.【答案】（1）在和中，，，，，；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論如圖，在取點(diǎn)N，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，，，，；選擇①為條件，②為結(jié)論如圖，在取點(diǎn)N，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，，，，，；（3）如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，的平分線，，，，為的直徑，，，，，，，，，，.25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D，拋物線為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)D且交x軸于A，B兩點(diǎn).（1）求拋物線表示的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接，，.求四邊形的面積.【答案】（1）把代入函數(shù)中，得，解得，，把代入函數(shù)中，得，，拋物線為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)D，，解得，拋物線表示的函數(shù)解析式為；（2）拋物線的函數(shù)解析式為，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，軸，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則，；把代入函數(shù)中，得，解得，，，，，，，，.【解析】【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題得到點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)題意將點(diǎn)D代入即可求出k，從而即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）先根據(jù)題意得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到PC，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則，求出，根據(jù)二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題即可得到，，進(jìn)而得到AC和DO，從而根據(jù)三角形的面積得到，最后根據(jù)即可求解。26．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含45°的三角尺AEF和一個正方形紙板ABCD如圖1擺放，若AE=1，AB=2．將三角尺AEF繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）角，觀察圖形的變化，完成探究活動．

（1）【初步探究】

如圖2，連接BE，DF并延長，延長線相交于點(diǎn)G