山東省泰安市2024年中考數(shù)學(xué)試卷含真題解析

山東省泰安市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是正確的,請(qǐng)把正確選出來，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)，均記零分)1．的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：的相反數(shù)是故答案為：C.【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可求解.2．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、，不能合并，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

B、，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

C、，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

D、，原選項(xiàng)正確，符合題意.故答案為：D.【分析】本題考查整式運(yùn)算，熟練掌握整式加減，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，冪的乘方，積的乘方等知識(shí)，是解題關(guān)鍵，根據(jù)法則對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，可得答案.3．下面圖形中，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【解答】解：第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)是中心對(duì)稱圖形，共3個(gè).故答案為：C.【分析】本題考查中心對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)概念及特點(diǎn)可得答案.4．據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計(jì)接待進(jìn)山游客超860萬人次，同比增長(zhǎng)，劇新了歷年游客是最高紀(jì)是.數(shù)據(jù)860萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．8.【答案】D【解析】【解答】解：860萬=8600000=8.60×106故答案為：D.【分析】把一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式時(shí)，a和n的確定方法如下：將原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移到從左到右第1個(gè)不是0的數(shù)字的后邊即可得到a的值n的確定方法有兩種：①n為比原數(shù)整數(shù)位數(shù)少1的正整數(shù)；②小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了幾位，n就等于幾.5．如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵等邊三角形ABC

∴∠ABC=∠ACB=60°∵直線l∥m

∴∠EBC+∠DCB=180°

∴∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°

即21°+60°+60°+∠ACD=180°

∴∠ACD=39°

故答案為：B.【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵；由等邊三角形ABC得∠ABC=∠ACB=60°；根據(jù)直線l∥m得∠EBC+∠DCB=180°，可得∠ACD=39°.6．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，則∠A的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB是的直徑

∴∠C=90°

∵

∴∠ABD=∠AOD=25°

∵BA平分

∴∠ABC=∠ABD=25°

∴∠A=90°-∠ABC=65°故答案為：A.【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角得∠C=90°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得∠ABD=∠AOD=25°，由角平分線的定義得∠ABC=∠ABD=25°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A=65°.7．關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根

∴=(-3)2-4×2k≥0

解得k≤故答案為：B.【分析】本題考查一元二次方程的根的情況，由根的判別式與0的關(guān)系決定；當(dāng)＞0，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)＜0，一元二次方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)≥0，一元二次方程有實(shí)數(shù)根，據(jù)此可得答案.8．我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價(jià)”問題，其內(nèi)容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個(gè)，若，試向買甜果苦果各幾個(gè)?若設(shè)買甜果個(gè)，買苦果個(gè)，可列出符合題意的二元一次方程組：根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應(yīng)為（）A．甜果七個(gè)用四文錢，苦果九個(gè)用十一文錢B．甜果十一個(gè)用九文錢，苦果四個(gè)用七文錢C．甜果四個(gè)用七文錢，苦果十一個(gè)用九文錢D．甜果九個(gè)用十一文錢，苦果七個(gè)用四文錢【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)買甜果個(gè)，買苦果個(gè)，由知，x+y=1000是購買總數(shù)的數(shù)量關(guān)系，則另一方程為購買總價(jià)的數(shù)量關(guān)系，可知為甜果的單價(jià)，為苦果的單價(jià)，故答案為：D.【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，理清題目的數(shù)量關(guān)系，購買總數(shù)，購買總價(jià)，可得答案.9．如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線MN分別與BC，AC交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧、兩弧交于點(diǎn)，作射線AP.若射線AP恰好經(jīng)過點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】【解答】解：由題意知：MN為線段AC的垂直平分線，AP為∠BAC的角平分線，

∴EA=EC，F(xiàn)A=FC=AC，∠EAC=∠EAB=∠BAC，

∴∠EAC=∠C=∠EAB

∵∠ABC=90°

∴∠BAC+∠C=90°

∴∠C=30°，故①正確；

∴AB=AC=AF，

∴AP垂直平分BF，故②正確；

∴BE=FE

∴CE=2BE，故③正確；

過F作FH⊥BC于H，如圖

則FH為的中位線

∴FH=AB

∴.

即，故④正確，

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有4個(gè).

故答案為：D.

【分析】本題考查尺規(guī)作圖—線段垂直平分線，角平分線，30°直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵；由題知：MN為線段AC的垂直平分線，AP為∠BAC的角平分線，證∠C=30°，AP垂直平分BF，CE=2BE，可知①②③正確，過F作FH⊥BC于H，可得FH=AB，，④正確，可得答案。10．兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合.若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，由題知：OA=OO'=AO'=2∴是等邊三角形

∴，

∴

故答案為：A.【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)及面積，熟練掌握扇形面積公式（，n為圓心角度數(shù)，r為半徑）及等邊三角形面積公式（，a為等邊三角形邊長(zhǎng)）是解題關(guān)鍵；由題知是等邊三角形，OA=OO'=AO'=2，得，，得.11．如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2.則下列結(jié)論：①2a+b=0；②方程一定有一個(gè)根在-2和-1之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【解答】解：如圖可知：c=2，對(duì)稱軸為直線x=1，∴，則2a+b=0，故①正確；

由圖象知：二次函數(shù)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)方程有2個(gè)根，一個(gè)根在2和3之間，由對(duì)稱性知另一根在-1和0之間，故②錯(cuò)誤；

二次函數(shù)與直線y=有2個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；

∵二次函數(shù)與x軸的另一交點(diǎn)在-1和0之間

∴x=-1，y=a-b+2＜0

∴b-a＞2，故④錯(cuò)誤；

綜上，正確的有2個(gè).

故答案為：B.【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，與x軸，y軸的交點(diǎn)，與一元二次方程關(guān)系等知識(shí)是解題關(guān)鍵；根據(jù)圖象得c=2，對(duì)稱軸為直線x=，與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)方程有2個(gè)根，一個(gè)根在2和3之間，由對(duì)稱性知另一根在-1和0之間，可知②④錯(cuò)誤，①正確；方程的根可理解為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，可知③正確，可得答案.12．如圖，菱形ABCD中，，點(diǎn)是AB邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)是BC上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AG的最小值是（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，過點(diǎn)P作PK⊥AB于K，連接PG并延長(zhǎng)，過點(diǎn)A作AH⊥GP于H∴∠EPF=90°

∴∠EPF+∠EGF=180°

∴點(diǎn)E、G、F、P四點(diǎn)共圓

∴∠EPG=∠EFG=30°

∵∠B=60°，BE=8

∴∠BEP=30°，BP=4，EP=

∴∠BEP=∠EPG，PK=

∴AB∥PH

∴AH=PK=

∴AG≥AH

∴線段AG的最小值是

故答案為：C.【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)，添加正確的輔助線是解題關(guān)鍵。過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，過點(diǎn)P作PK⊥AB于K，連接PG并延長(zhǎng)，過點(diǎn)A作AH⊥GP于H，證點(diǎn)E、G、F、P四點(diǎn)共圓

∴∠EPG=∠EFG=30°，證AB∥PH，得AH=PK=，由AG≥AH，線段AG的最小值是.二、填空題(本大題共6小題、滿分24分.只要求填寫最后結(jié)果,每小題填對(duì)得4分)13．單項(xiàng)式的次數(shù)是.【答案】3【解析】【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的次數(shù)是1+2=3故答案為：3.【分析】本題考查單項(xiàng)式的次數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和是單項(xiàng)式的次數(shù)，據(jù)此可得答案.14．某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動(dòng).小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小穎準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是.【答案】【解析】【解答】解：小明和小穎隨機(jī)選擇一本書籍的所有情況共有9種，其中，小明和小穎恰好選中書名相同的書的情況有2種，則小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是.故答案為：.【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，掌握列表法或樹狀圖法求概率的方法是關(guān)鍵.15．在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度.他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無人機(jī).如圖，無人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米(圖中點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)).那么大汶河此河段的寬AB為米.(參考數(shù)據(jù)：)【答案】74【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過點(diǎn)C作CK⊥PH于K

∴∠PHB=∠B=∠CKH-90°

∴四邊形CBHK為矩形

∴BC=KH，CK=BH

由題知：∠A=50°，∠PCK=63.6°，PH=60米，BC=12米

∴PK=PH-KH=48米，KH=12米

在中，tan∠A=tan50°=

∴AH=

在中，tan∠PCK=tan63.6°=

∴CK=

∴BH=

∴AB=AH+BH=+50+24=74米

則大汶河此河段的寬AB為74米.

故答案為：74.

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角，明確已知條件，添加正確的輔助線，找出線段之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確應(yīng)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵；過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，過點(diǎn)C作CK⊥PH于K得PH=60米，BC=KH=12米，CK=BH，PK=48米，解直角三角形tan∠A=得AH=；由tan∠PCK=得CK=，則可得AB.16．如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的菜園.已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的菜園的最大面積是平方米.【答案】450【解析】【解答】解：設(shè)圍成菜園的寬為x米，則長(zhǎng)為（60-2x）米，根據(jù)題意得：

，

解得10≤x＜30

則菜園面積S=x（60-2x）=-2x2+60x=-2(x-15)2+450∴x=15時(shí)，菜園的最大面積是450平方米.

故答案為：450.【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用—面積問題，根據(jù)題意，設(shè)圍成菜園的寬為x米，則長(zhǎng)為（60-2x）米，結(jié)合所給范圍及實(shí)際情況，可得10≤x＜30，由S=-2(x-15)2+450，可得x=15時(shí)，菜園的最大面積是450平方米.17．如圖，AB是的直徑，AH是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)，延長(zhǎng)BD與AH相交于點(diǎn).若，則AE的長(zhǎng)為.【答案】【解析】【解答】解：∵AH為的切線

∴∠FAB=90°

即∠FAD+∠DAB=90°

∵AB為的直徑

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠B=90°

∴∠FAD=∠B

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)

∴=

∴∠DAC=∠B

∴∠FAD=∠B=∠DAC

∵DF=1，

∴，，

∴AD=2，DE=1

∴AE=故答案為：.【分析】本題考查圓的直徑，切線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵。由AH為的切線得∠FAD+∠DAB=90°；由AB為的直徑得∠DAB+∠B=90°，由點(diǎn)D為的中點(diǎn)得∠DAC=∠B，得∠FAD=∠B=∠DAC，根據(jù)，得AD=2，DE=1，得AE=.18．如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍.【答案】12【解析】【解答】解：第（1）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是1個(gè)；“●”的個(gè)數(shù)是4個(gè)，4=2×1+2；

第（2）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是3個(gè)，1+2=3；“●”的個(gè)數(shù)是6個(gè)，6=2×2+2；

第（3）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是6個(gè)，1+2+3=6；“●”的個(gè)數(shù)是8個(gè)，8=2×3+2；

第（4）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是10個(gè)，1+2+3+4=10；“●”的個(gè)數(shù)是10個(gè)，10=2×4+2；

第（5）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是15個(gè)，1+2+3+4+5=15；“●”的個(gè)數(shù)是12個(gè)，12=2×5+2；

以此類推，第（n）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=個(gè)，；“●”的個(gè)數(shù)是2n+2；

當(dāng)小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍時(shí)，則=3（2n+2）；

解得n=12故答案為：12.【分析】本題考查圖形規(guī)律及一元一次方程，找出圖形規(guī)律是解題關(guān)鍵；由每個(gè)圖形的“○”個(gè)數(shù)的變化得和“●”的個(gè)數(shù)的變化，則規(guī)律是第（n）個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是1+2+3+4+5+6+···（n-1）+n=個(gè)，“●”的個(gè)數(shù)是2n+2，根據(jù)題意，列出方程即可得n值.三、解答題(本大題共7小題,滿分78分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟)19．（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：.【答案】（1）解：

=7（2）解：

【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及分式的化簡(jiǎn)，掌握特殊三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，二次根式的性質(zhì)，因式分解的方法，完全平方公式，平方差等知識(shí)是解題關(guān)鍵。

（1）計(jì)算tan60°，=4，，，按實(shí)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可；

（2）先通分，除法變乘法，因式分解，約分化簡(jiǎn)。20．某超市打算購進(jìn)一批蘋果.現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑(單位：)，并制作統(tǒng)計(jì)圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)量供應(yīng)商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080b乙ma76則，，b=.（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據(jù)此判斷，供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果大小更為整齊。(填“甲”或“乙”)（3）超市規(guī)定直徑(含)以上的蘋果為大果.超市打算購進(jìn)甲供應(yīng)商的蘋果2000個(gè)，其中，大果約有多少個(gè)?【答案】（1）80；79.5；83（2）甲（3）解：2000×=600（個(gè)）

答：大約有600個(gè).【解析】【解答】解：（1）平均數(shù)m==80；

把乙組的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處于中間位置的兩個(gè)數(shù)是79和80，=79.5，則中位數(shù)a=79.5；

甲組數(shù)據(jù)中，83出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，則眾數(shù)b=83；

故答案為：80；79.5；83；

（2）解：甲的方差==5.8；

乙的方差==18.4

∵5.8＜18.4

∴甲供應(yīng)商的蘋果大小更為整齊.

故答案為：甲；

【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，方差及意義，用樣本估計(jì)整體等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵.

（1）從乙圖，把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，可得a；根據(jù)求平均數(shù)公式可得m；從甲圖可得眾數(shù)b；（2）計(jì)算方差，越小越整齊，可得答案；

（3）計(jì)算出樣本的大果百分?jǐn)?shù)，可知總體的大果數(shù)量.21．直線與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).（1）求直線的表達(dá)式；（2）若，請(qǐng)直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）解：∵點(diǎn)A（-2，m），點(diǎn)B（n，-1）在反比例函數(shù)的圖象上

∴-2m=-8，-n=-8

∴m=4，n=8

∴點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（8，-1）

∵點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（8，-1）在直線上

∴

解得：k=，b=3

∴直線（2）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（8，-1）

∴x＜-2，；

0＜x＜8，

∴，滿足條件的的取值范圍是x＜-2或0＜x＜8（3）解：∵直線

∴x=0，y=3

∴點(diǎn)C（0，3）

∵過點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)

∴D的縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為

∴CD=

∴S△ACD=

∴的面積是.【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，函數(shù)與不等式的關(guān)系，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求三角形面積等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵；

（1）由反比例函數(shù)可得A（-2，4），點(diǎn)B（8，-1），代入直線，得k=，b=3；可得直線；

（2）由函數(shù)圖象可得x＜-2，；0＜x＜8，；則滿足條件的的取值范圍是x＜-2或0＜x＜8；

（3）由直線得點(diǎn)C（0，3），得CD=，得S△ACD=.22．隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間.某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共35名工人.甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品.已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍.求甲、乙兩組各有多少名工人?【答案】解：設(shè)甲組有x名工人，乙組有（35-x）名工人.根據(jù)題意得：

解得：x=20

經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是分式方程的解.

則35-x=15

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.【解析】【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，由題意，理清數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵；設(shè)甲組有x名工人，乙組有（35-x）名工人，根據(jù)“乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍”列出方程，可得答案，注意檢驗(yàn).23．綜合與實(shí)踐為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng).（1）【探索發(fā)現(xiàn)】同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結(jié)BG.EF與BG相交于點(diǎn)H.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.（2）【拓展延伸】同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線BD上，折痕分別是BE和DF.將紙片展平，連結(jié)EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G.同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線BD的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，即.請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.【答案】（1）解：同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)正確.

如圖，過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，則∠EPF=90°，∠PEF+∠EFP=90°

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ABC=∠C=90°，四邊形ABPE為矩形

∴∠EPF=∠C，∠CBG+∠BGC=90°，AB=EP

∵把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，

∴EF垂直平分BG

∴∠BHF=90°

∴∠CBG+∠EFP=90°

∴∠EFP=∠BGC

∴

∴

∴???????（2）解：正確

由折疊知：AB=BG，∠1=∠2

∵平行四邊形ABCD

∴CD=AB=BG

∵FG∥CD

∴，∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴GF=GD

∴

∴.

則點(diǎn)恰好是對(duì)角線BD的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，【解析】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是關(guān)鍵；

（1）過點(diǎn)E作EP⊥BC于P，∠EPF=90°，得∠EPF=∠C，AB=EP，證∠EFP=∠BGC，證，得，則；

（2）由折疊知AB=BG，∠1=∠2，由平行四邊形得CD=AB=BG；由FG∥CD得，證GF=GD；可得.24．如圖1，在等腰Rt中，，點(diǎn)D，E分別在AB，CB上，、連結(jié)AE，CD，取AE中點(diǎn)，連結(jié)BF.（1）求證：CD=2BF，CD⊥BF；（2）將△DBE繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.①請(qǐng)直接寫出BF與CD的位置關(guān)系；②求證：.【答案】（1）證明：∵AB=CB，∠ABE=∠CBD=90°，EB=DB

∴，∠ABF+∠FBE=90°

∴AE=CD，∠BAE=∠BCD

∵F為AE的中點(diǎn)

∴AE=2BF，AF=BF

∴CD=2BF，

∠BAE=∠ABF

∴∠BCD+∠FBE=90°

∴CD⊥BF（2）解：①BF⊥CD

②如圖，延長(zhǎng)BF到M，使BF=FM，連接AM，則BM=2BF

∵F為AE中點(diǎn)

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴

∴BM=CD

∴CD=2BF【解析】【解答】解：（2）①如圖，延長(zhǎng)BF到M，使BF=FM，連接AM，則BM=2BF，過A作AP⊥CD于P，

∴∠APC=∠ABC=90°

∴∠BCD=∠BAP

∵F為AE中點(diǎn)

∴EF=AF

∵∠EFB=∠AFM

∴

∴EB=AM，∠MAF=∠BEF

∴AM∥BE

∴∠MAB+∠ABE=180°

∵∠ABE+∠DBC=180°

∴∠MAB=∠DBC

∵BE=BD

∴AM=BD

∵AB=BC

∴

∴∠ABM=∠BCD

∴∠ABM=∠BAP

∴BF∥AP

∴BF⊥CD；

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵；

（1）用SAS證△ABE≌△CBD，得AE=CD，∠BAE=∠BCD；根據(jù)直角三角形斜邊中線得AE=2BF，AF=BF，得CD=2BF，∠BAE=∠ABF，∠BCD+∠FBE=90°，可證CD⊥BF；

（2）①延長(zhǎng)BF到M，使BF=FM，連接AM，則BM=2BF，過A作AP⊥CD于P，證∠BCD=∠BAP，用SAS證△MAB≌△DBC，得∠ABM=∠BAP，得BF∥AP則BF⊥CD；

②延長(zhǎng)BF到M，使BF=FM，連接AM，則