河北衡水中學(xué)2023屆高三下學(xué)期檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023高考高三學(xué)科檢測試題數(shù)學(xué)學(xué)科本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，步生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、專場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題紙上．將條形碼橫貼在答題紙“貼條形碼區(qū)”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題紙各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題紙的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題紙一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用并集和補(bǔ)集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)椋裕?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，，若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式以及復(fù)數(shù)的幾何意義可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則，解得，因此，.故選：B.3.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（）A.66 B.78 C.84 D.96【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，結(jié)合題意可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由可得，整理可得，所以，則，故選：B.4.條件，，則的一個(gè)必要不充分條件是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)于命題，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最大值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用必要不充分條件的定義可得出合適的選項(xiàng).【詳解】若，使得，則，可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故當(dāng)時(shí)，，即，所以，的一個(gè)必要不充分條件是.故選：A.5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，可得，所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，排除AB選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，排除D選項(xiàng)故選：C.6.在中，，，，P，Q是平面上的動(dòng)點(diǎn)，，M是邊BC上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可得，結(jié)合圖形分析的最小值即可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，則，可得，∵，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故，顯然當(dāng)時(shí)，取到最小值，∴，故.故選：B.7.已知拋物線過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M，N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0，直線l的斜率為，且過C的焦點(diǎn)F，l把分成面積相等的兩部分，則直線MN的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意求出拋物線方程為，設(shè)，直線，聯(lián)立直線和拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理由，可求出，再求出直線l的方程，由題意可轉(zhuǎn)化為到直線的距離為到直線距離的，代入求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，解得：，所以，設(shè)，直線，代入中整理得，所以,，所以，即，則，解得：，所以直線，直線l的斜率為，且過C的焦點(diǎn)，所以，則到直線的距離為，所以l把分成面積相等的兩部分，因?yàn)橹本€與直線平行，所以到直線的距離為到直線距離的，，解得：或（舍去）.所以直線MN的方程為.故選：D.8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球與內(nèi)切球的研究．其中的一些研究思想啟發(fā)著后來者的研究方向．已知正四棱錐的外接球半烴為R，內(nèi)切球半徑為r，且兩球球心重合，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】正四棱錐的外接球和內(nèi)接球球心重合，說明其結(jié)構(gòu)特殊，找出結(jié)構(gòu)的特殊性，再計(jì)算.【詳解】如圖：設(shè)底面正方形ABCD的對(duì)角線長為2a，高為h，，正方形的中心為O，外接球的球心為，則有即，在中，①，②，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，則有，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則有，，令，則，設(shè)向量與平面PCD的夾角為，則，球心到平面PCD的距離，，由①得即③，故設(shè)，則③可整理成，兩邊平方得，，由①②得；故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.統(tǒng)計(jì)學(xué)是源自對(duì)國家的資料進(jìn)行分析，也就是“研究國家的科學(xué)”．一般認(rèn)為其學(xué)理研究始于希臘的亞里士多德時(shí)代，迄今已有兩千三百多年的歷史．在兩千多年的發(fā)展過程中，將社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象量化的方法是近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要特征．為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)有了自己研究問題的參數(shù)，比如：均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差．一組數(shù)據(jù)：）記其均值為，中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（）A.B.C.新數(shù)據(jù)：的標(biāo)準(zhǔn)差為D.新數(shù)據(jù)：的標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】AD【解析】【分析】利用中位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；取，可判斷B選項(xiàng)；利用方差公式可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋瑯颖緮?shù)據(jù)最中間的項(xiàng)為，由中位數(shù)的定義可知，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨令，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，數(shù)據(jù)的均值為，方差為，所以，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，數(shù)據(jù)的均值為，其方差為，所以，新數(shù)據(jù)：的標(biāo)準(zhǔn)差為，D對(duì).故選：AD.10.已知，，且滿足，．則的取值可以為（）A.10 B.11 C.12 D.20【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)條件及基本不等式可得，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故，?dāng)，且，而時(shí)，即等號(hào)不能同時(shí)成立，所以，故AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.11.圓與雙曲線交于，，，四點(diǎn)，則（）A.的取值范圍是B.若，矩形的面積為C.若，矩形的對(duì)角線所在直線是的漸近線D.存在，使四邊形為正方形【答案】BD【解析】【分析】首先求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，即可判斷A，對(duì)于B、C，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷B、C，設(shè)，求出、，即可判斷D.【詳解】雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，因?yàn)閳A與雙曲線交于，，，四點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)圓，由，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，則，所以，故不是雙曲線的漸近線，即B正確，C錯(cuò)誤；若四邊形為正方形，不妨設(shè)為第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，設(shè)，，則且，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，使四邊形為正方形，故D正確；故選：BD12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.有最小值 B.有最小值C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，首先對(duì)求導(dǎo)得到，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，得出的單調(diào)性及零點(diǎn)，即可得出，最值及單調(diào)性，即可判斷AB的正誤，由的增減性可知的凹凸性，由此可知的大小，即可判斷C的正誤，再構(gòu)造，同理可判斷D的正誤.【詳解】由于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則，又得其導(dǎo)函數(shù)為，故在定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)，知無最小值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，但是指數(shù)函數(shù)始終增長的最快，故；又因?yàn)楣室欢ù嬖?，使得，所以在時(shí)為單調(diào)遞減，在時(shí)為單調(diào)遞增，故在處取得最小值，故A正確；又在定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)，可知在為凹函數(shù)，可得，即，故C正確；令，易知故，得其導(dǎo)函數(shù)故在定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)；故則，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知角終邊上有一點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切的定義，運(yùn)用誘導(dǎo)公式以及同角關(guān)系求解.【詳解】，根據(jù)同角關(guān)系有，；故答案為：.14.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲、乙各勝一局的概率為________．【答案】【解析】【分析】分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：（2）第一局乙勝，第二局甲勝.分析出每局輸贏的情況，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】分兩種情況討論：（1）第一局甲勝，第二局乙勝：若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，所以，第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；（2）第一局乙勝，第二局甲勝：若第一局甲執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，若第一局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝第一局概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，所以，第一局乙勝，第二局甲勝的概率為.綜上所述，甲、乙各勝一局的概率為.故答案為：.15.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出的值，再根據(jù)的范圍求出的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與周期性求出的大致范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】由圖可知函數(shù)過點(diǎn)，所以，即，所以或，，因?yàn)?，所以或，又函?shù)在原點(diǎn)右側(cè)最近的零點(diǎn)的右側(cè)的極值點(diǎn)函數(shù)取得最小值，所以，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，所以，所以，所以，則或，解得或，所以的最大值為.故答案為：16.如圖，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD為菱形，，，，且平面ABCD，四邊形BEFG是正方形，則______；異面直線AG與DE所成角的余弦值為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解距離及異面直線所成角的余弦值.【詳解】由四邊形為菱形，，可得為正三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，所以．又，因此．又平面，故以為原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)，，則，，，，由題意，則平面，平面，設(shè)，，從而，因?yàn)樗倪呅蜝EFG是正方形，所以，所以，即，解得，所以，，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以；設(shè)異面直線AG與DE所成角為，又，所以，所以異面直線AG與DE所成角的余弦值為.故答案：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足，且，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和為，求使不等式成立的n的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式即可證明是等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件即可求解；（2）結(jié)合（1）的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為，然后討論即可求解.【小問1詳解】由，可得，所以，則，又因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)椋允共坏仁匠闪⒌膎的最小值為.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求的最小值；（2）若M為的重心，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；（2）利用重心性質(zhì)及勾股定理求出邊長關(guān)系，利用余弦定理求出兩個(gè)角的余弦值，然后通過同角關(guān)系求出正弦值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.【小問2詳解】記邊的中點(diǎn)為，邊的中點(diǎn)為，邊的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，在中，，為邊的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，在中，，即，在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，從而解得，即，在中，，所以，在中，，所以，所以.19.第屆亞運(yùn)會(huì)將于年月日至月日在我國杭州舉行，這是我國繼北京后第二次舉辦亞運(yùn)會(huì)．為迎接這場體育盛會(huì)，浙江某市決定舉辦一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽，該市社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表社區(qū)參加市亞運(yùn)知識(shí)競賽．已知社區(qū)甲、乙、丙位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為、、，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．（1）求這人中至多有人通過初賽的概率；（2）求這人中至少有人參加市知識(shí)競賽的概率；（3）某品牌商贊助了社區(qū)的這次知識(shí)競賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次獎(jiǎng)勵(lì)元；方案二：只參加了初賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)元，參加了決賽的選手獎(jiǎng)勵(lì)元．若品牌商希望給予選手更多的獎(jiǎng)勵(lì)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）（3）方案二更好，理由見解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出人全通過初賽的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）計(jì)算出人各自參加市知識(shí)競賽的概率，再利用獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）利用二項(xiàng)分布及期望的性質(zhì)求出方案一獎(jiǎng)金總額的期望，對(duì)方案二，列出獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量的所有可能取值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，求出其期望，比較大小作答.【小問1詳解】解：人全通過初賽的概率為，所以，這人中至多有人通過初賽的概率為.【小問2詳解】解：甲參加市知識(shí)競賽的概率為，乙參加市知識(shí)競賽的概率為，丙參加市知識(shí)競賽的概率為，所以，這人中至少有人參加市知識(shí)競賽的概率為.【小問3詳解】解：方案一：設(shè)三人中獎(jiǎng)人數(shù)為，所獲獎(jiǎng)金總額為元，則，且，所以元，方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和為元，則的所有可能取值為、、、，則，，，，所以，.所以，，所以從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好．20.如圖，在直四棱柱中，四邊形ABCD是平行四邊形，，，AD與平面所成的角為．（1）求；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，利用余弦定理可得，結(jié)合已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量和的方向向量，線面角即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，在中，由余弦定理可得，則，所以，則，由因?yàn)闉橹彼睦庵?，所以平面，所以兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，由題意可知：AD與平面所成的角為，所以，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知：平面的法向量，，,設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值.21.如圖，已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，且直線AB的斜率為，的面積為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l與C交于，兩點(diǎn)，且，N與B不重合，M與C的上頂點(diǎn)不重合，點(diǎn)Q在線段MB上，且軸，AB平分線段QN，點(diǎn)到l的距離為d，求當(dāng)d取最大值時(shí)直線MN的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組求解即可；(2)設(shè)l的方程為，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，AB與QN的交點(diǎn)為T，其橫坐標(biāo)為，由已知可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得出，從而可求點(diǎn)到l的距離d，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求出d取最大值時(shí)的條件，從而可求直線MN的方程．【小問1詳解】由已知得，，，即①又因?yàn)榈拿娣e為1，所以，即②