陜西省2024年中考數(shù)學試卷附真題解析

陜西省2024年中考數(shù)學試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分，每小題只有一個選項是符合題意的）1．的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，故答案為：C

【分析】根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)其中的一個是另一個的倒數(shù)作出判斷即可.2．如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：半圓繞直徑所在虛線旋轉(zhuǎn)一圈為(球).故答案為：C.

【分析】由平面圖旋轉(zhuǎn)進行想象與聯(lián)想，即形成空間幾何體.3．如圖，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

∴∠C=180°-∠B=180°-145°=35°，又∵BC∥DE，

∴∠D=∠C=35°，

故答案為：B.

【分析】由平行線的性質(zhì)從條件角逐一往目標角推導角度即可.4．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：∵，

去括號得：2x-2≥6，

移項并合并同類項得：2x≥8，

系數(shù)化為1得：x≥4.故答案為：D.

【分析】按解一元一次不等式的步驟逐一計算解之即可.5．如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】【解答】解：依題意，∵∠BAC=90°，

∴△ABC是直角三角形，

又∵AD⊥BC，

∴△ADB、△ADE與△ADC均為直角三角形，

∴直角三角形有4個.故答案為：C.

【分析】利用已知直角信息為直角頂點，即以A和D為直角頂點逐一找出符合題意的直角三角形即可.6．一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，若點A與點B關(guān)于原點對稱，則這個正比例函數(shù)的表達式為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：∵和點關(guān)于原點對稱，

∴n=-2，m=6，

設正比例函數(shù)表達式為y=kx，將A(2，6)代入，

∴2k=6，解得k=3.

∴正比例函數(shù)的表達式為y=3x.故答案為：A.

【分析】由原點對稱分析得出m，n值，后利用待定系數(shù)法解出正比例函數(shù)表達式即可.7．如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，

∴AD=CD=AB=6，GF=CG=CE=2，

∠D=∠CGF=90°，

又∵點G在邊CD上，

∴DG=CD-CG=4，∠DGF=180°-∠CGF=90°，

又∵∠AHD=∠FHG，

∴△ADH∽△FGH，

∴，∴DH=3GH，即DG=4GH，

∴GH=，

∴DH=DG-GH=4-1=3.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)正方形讀題標量，為進一步求出目標線段DH，故在與目標線段中，易發(fā)現(xiàn)并證明△ADH∽△FGH，利用相似的性質(zhì)求出目標線段DH即可.8．已知一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向上B．當時，y的值隨x的值增大而增大C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對稱軸是直線【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)中經(jīng)過（0，0），

∴c=0，

又∵二次函數(shù)經(jīng)過（-2，-8）和（3，-3），

∴，解得，

∴二次函數(shù)，

對于A，a<0，此時圖象開口向下，故A錯誤，不符合題意；

對于B，對稱軸所在直線x=1，即當x>1時，y隨x的增大而減小，當x<1時，y隨x增大而增大，故B錯誤，不符合題意；

對于C，頂點（1，1）結(jié)合圖象可知，圖象經(jīng)過一三四象限，故C錯誤，不符合題意；

對于D，對稱軸所在直線x=1，故D正確，符合題意.故答案為：D.

【分析】由待定系數(shù)法利用三點求出二次函數(shù)解析式，逐一根據(jù)圖象性質(zhì)判斷選項即可.二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）9．分解因式：=．【答案】a（a﹣b）【解析】【解答】解：=a（a﹣b）．故答案為a（a﹣b）．【分析】直接提取公因式a即可分解因式.10．小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【答案】0【解析】【解答】解：根據(jù)題意，

①假設中間位置為0，此時橫縱兩組三數(shù)之和為：=0，即平均一組三數(shù)之和為0，

只需將-1和1放一組，-2和2放一組，符合題意；

②假設中間位置為-2，此時橫縱兩組三數(shù)之和為：=-2，即平均一組三數(shù)之和為-1，

只需將0和1放一組，-1和2放一組，符合題意；

③假設中間位置為-1，此時橫縱兩組三數(shù)之和為：=-1，即平均一組三數(shù)之和為-，

由任意三數(shù)之和為整數(shù)，故此時不符合題意；

④假設中間位置為1，此時橫縱兩組三數(shù)之和為：=1，即平均一組三數(shù)之和為，

由任意三數(shù)之和為整數(shù)，故此時不符合題意；

⑤假設中間位置為2，此時橫縱兩組三數(shù)之和為：=2，即平均一組三數(shù)之和為1，

只需將-2和1放一組，0和-1放一組，符合題意；

綜上所述，符合的答案為0，-2或2.故答案為：0(-2或2也可以).

【分析】根據(jù)題意將所有可能一一嘗試列出等量關(guān)系檢驗組合情況即可.11．如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數(shù)是．【答案】【解析】【解答】解：設∠A=x，

∵，∴∠O=2∠A=2x，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=，

∴∠A+∠OBC=x+(90°-x)=90°.

故答案為：90°.

【分析】根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)等腰角度推理得出兩角和，不熟練可設元表示目標角更為直觀.12．已知點和點均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則0．【答案】【解析】【解答】解：∵點在反比例函數(shù)，

∴，

又∵點在反比例函數(shù)上，結(jié)合反比例圖象可知，

當時，，

此時，即<0，故答案為：<.

【分析】根據(jù)已知的反比例函數(shù)解析式可求出，利用反比例函數(shù)大致圖象可分析或解分式方程可得出的取值范圍，從而計算目標值的正負.13．如圖，在中，，E是邊上一點，連接，在右側(cè)作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．【答案】60【解析】【解答】解：如圖，過點C作CG⊥AB，CH⊥BF，垂足分別為點G和點H，過點A作AO⊥BC，垂足為點O，

∵AB=AC，BF∥AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠CBF，

∴BC平分∠ABF，

∴CG=CH，

又∵BF=AE，

∴，

在等腰△ABC中，AB=AC=13，

∴BO=CO=，

在Rt△AOB中，

AO=，

∴，

∴.

故答案為：60.

【分析】利用平行和等腰推出角平分線，進而利用角平分線性質(zhì)將目標四邊形的一部分面積進行轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則四邊形的面積轉(zhuǎn)化為定△ABC的面積，最后利用三線合一構(gòu)造直角結(jié)合勾股定理求其面積即求得目標四邊形面積即可.三、解答題（共13小題，計81分。解答題應寫出過程）14．計算：．【答案】解：.【解析】【分析】由算術(shù)平方根、零指數(shù)冪及負數(shù)乘方運算法則逐步計算得出結(jié)果.15．先化簡，再求值：，其中，．【答案】解：

將，代入原式得.【解析】【分析】由多項式乘法運算法則或結(jié)合完全平方公式進行化簡合并同類項，后代入求值即可.16．解方程：．【答案】解：，

方程兩邊同乘以得，

2+x(x+1)=

解得x=-3，

檢驗，當x=-3時，，

∴原方程的解為x=-3.【解析】【分析】按照解分式方程的一般步驟解之即可.17．如圖，已知直線l和l外一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角，使得頂點B和頂點C都在直線l上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】解：如圖所示，△ABC為所求.

【解析】【分析】依據(jù)中垂線的作法過點A作直線l的垂線，后畫弧作等線段即可.18．如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠B=∠C=90°，

又∵BE=CF，BF=BC-CF，CE=BC-BE，

∴CE=BF，

∴△ABF≌△DCE(SAS)

∴AF=DF.【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明與目標線段相關(guān)的兩組三角形全等即可得出對應邊相等.19．一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中3個紅球，1個白球，1個黃球，這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球記下顏色后放回，記作隨機摸球一次．（1）隨機摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是．（2）隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．【答案】（1）0.3（2）解：依題意，樹狀圖如圖所示，

其中，事件包含的可能結(jié)果為25個，符合題意的事件有9個，

∴.【解析】【解答】解：（1）.

【分析】（1）根據(jù)隨機事件的頻率計算即可；

（2）將事件的所有可能一一列舉，找出符合題意的事件即得出其概率.20．星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據(jù)這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．【答案】解：設小峰打掃了xh，則爸爸打掃了(3-x)h，

依題意，，

解得x=2，

答：小峰打掃了．【解析】【分析】由工程問題根據(jù)題意分析小峰和爸爸的工作效率，利用單位“1”建立等量關(guān)系解之即可.21．如圖所示，一座小山頂?shù)乃接^景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂C點處的海拔高度，他在該觀景臺上選定了一點A，在點A處測得C點的仰角，再在上選一點B，在點B處測得C點的仰角，．求山頂C點處的海拔高度．（小明身高忽略不計，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】解：如圖所示，過點C作CD⊥AB交AB延長線于點D，

依題意得，∠CAE=42°，∠CBD=45°，AB=10，

∴∠BCD=180°-∠D-∠CBD=45°，

∴CD=BD，

設BD=CD=x，則AD=AB+BD=x+10

有，即，

解得x≈90.

∴山頂C處的海拔高度=90+1600=1690.

答：山頂C點處的海拔高度為．【解析】【分析】根據(jù)題意為求目標C點處海拔且結(jié)合解三角形的已知條件，需進一步構(gòu)造直角利用三角函數(shù)建立等量關(guān)系解之即可.22．我國新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車從A市前往B市，他駕車從A市一高速公路入口駛?cè)霑r，該車的剩余電量是，行駛了后，從B市一高速公路出口駛出，已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量與行駛路程之間的關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從B市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．【答案】（1）解：設直線關(guān)系式為y=kx+b，

依題意得，函數(shù)經(jīng)過(150，50)和(0，80)

∴，解得.

∴y與x之間的關(guān)系式為；（2）解：當x=240km時，y=-0.2×240+80=32（），

∴.

答：該車的剩余電量占“滿電量”的．【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線解析式/關(guān)系式；

（2）在（1）的基礎上計算出行駛后剩余電量，即計算其占總電量的百分比.23．水資源問題是全球關(guān)注的熱點，節(jié)約用水已成為全民共識．某校課外興趣小組想了解居民家庭用水情況，他們從一小區(qū)隨機抽取了30戶家庭，收集了這30戶家庭去年7月份的用水量，并對這30個數(shù)據(jù)進行整理，繪制了如下統(tǒng)計圖表：組別用水量組內(nèi)平均數(shù)ABCD根據(jù)以上信息，解答下列問：（1）這30個數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組（填組別）；（2）求這30戶家庭去年7月份的總用水量；（3）該小區(qū)有1000戶家庭，若每戶家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量節(jié)約，請估計這1000戶家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約多少?【答案】（1）B（2）解：總用水量=5.3×10+8.0×12+12.5×6+15.5×2=53+96+75+31=255（m3）.

答：這30戶家庭去年7月份的總用水量.（3）解：（m3）；

答：這1000戶家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約.【解析】【解答】解：（1）在30個數(shù)據(jù)中，其中位數(shù)為第15和第16位的平均數(shù)，

用水量從小到大排列，的家庭數(shù)為10戶，為12戶，

故中位數(shù)第15位和第16位落在范圍，即B組內(nèi).

【分析】（1）結(jié)合條形統(tǒng)計圖和表格及中位數(shù)的定義按數(shù)據(jù)從小到大排列找出即可；

（2）結(jié)合表格組內(nèi)平均數(shù)和條形統(tǒng)計圖家庭數(shù)計算總用水量即可；

（3）以頻率估計概率，按當前30個數(shù)據(jù)的用水量估計1000戶用水量節(jié)約水量.24．如圖，直線l與相切于點A，是的直徑，點C，D在l上，且位于點A兩側(cè)，連接，分別與交于點E，F(xiàn)，連接．（1）求證：；（2）若的半徑，，，求的長．【答案】（1）證明：∵AB是的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF+∠ABF=180°-∠AFB=90°，

又∵直線l與相切于點A，

∴∠BAD=90°，

同理，∠ABF+∠ADB=180°-∠BAD=90°，

∴∠BAF=∠CDB.（2）解：由（1）得，

在Rt△BAD和Rt△BAC中，

∵AB=2r=12，AC=12，AD=9，

∴CD=AC+AD=12+9=21，

，

.

又∵AE⊥BC，

∴BE=CE=，

又∵

∴∠BEF=∠BAF，

由（1）得∠BAF=∠CDB.

∴∠BEF=∠BDC，

又∵∠CBD=∠FBE，

∴△BEF∽△BDC，

∴，即

解得：.【解析】【分析】（1）利用直徑所對圓周角及相切得出同角余角相等即得證目標角；

（2）在已知線段和直角三角形中，由勾股定理解出斜邊，進一步為解目標線段EF，即找出與目標相關(guān)△BEF，利用（1）中角度轉(zhuǎn)換易得等角由相似直接求得目標EF長.25．一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細忽略不計）（1）求纜索所在拋物線的函數(shù)表達式；（2）點E在纜索上，，且，，求的長．【答案】（1）解：∵OC=100，

由對稱可知，OD=CD=50，

又∵PD=2，

設纜索所在拋物線的函數(shù)表達為，經(jīng)過點A(0，17)，

∴，解得：.

∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達為；（2）解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，

∴L2為，

當EF=2.6時，即y=2.6時，，解得x=-40或x=-60，

此時E未達到最低點，故x=-40，

∴的長為．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件設拋物線解析式為頂點式，代入點A解出拋物線表達式；

（2）利用函數(shù)關(guān)于y軸對稱得出所在拋物線解析式，代入EF=2.6解出OF長即可.26．（1）問題提出如圖1，在中，，，作的外接圓．則的長為；（結(jié)果保留π）（2）問題解決如圖2所示，道路的一側(cè)是濕地．某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D，E，C，線段和為觀測步道，其中點A和點B為觀測步道出入口，已知點E在上，且，，，，，現(xiàn)要在濕地上修建一個新觀測點P，使．再在線段上選一個新的步道出入口點F，并修通三條新步道，使新步道經(jīng)過觀測點E，并將五邊形的面積平分．請問：是否存在滿足要求的點P和點F?若存在，求