導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟。2.過程與方法目標(biāo)通過探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和概括的能力，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的過程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具解決函數(shù)單調(diào)性問題，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的重要作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。能正確求導(dǎo)，并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.教學(xué)難點(diǎn)對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的理解，特別是導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的內(nèi)在聯(lián)系。含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的討論。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本概念、原理和方法，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.探究法：通過引導(dǎo)學(xué)生探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新思維。3.練習(xí)法：讓學(xué)生通過適量的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解題能力。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.復(fù)習(xí)回顧提問：什么是函數(shù)的單調(diào)性？如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？學(xué)生回答：函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減?。┑男再|(zhì)。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、圖象法等。2.情境引入展示一個(gè)實(shí)際問題：已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為\(s(t)=t^36t^2+9t\)，其中\(zhòng)(s\)的單位是米，\(t\)的單位是秒。求物體在\([0,3]\)上的運(yùn)動(dòng)速度變化情況以及物體運(yùn)動(dòng)的單調(diào)性。引導(dǎo)學(xué)生思考：如何通過數(shù)學(xué)方法來研究物體運(yùn)動(dòng)的單調(diào)性呢？這就需要引入一種新的工具導(dǎo)數(shù)。板書課題：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

（二）講授新課（25分鐘）1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以函數(shù)\(y=x^2\)為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象的變化情況。提問：當(dāng)\(x\)在\((\infty,0)\)上變化時(shí)，函數(shù)圖象的切線斜率有什么特點(diǎn)？函數(shù)值是如何變化的？當(dāng)\(x\)在\((0,+\infty)\)上變化時(shí)呢？學(xué)生觀察并回答：當(dāng)\(x\)在\((\infty,0)\)上時(shí)，函數(shù)圖象的切線斜率小于\(0\)，函數(shù)值隨\(x\)的增大而減??；當(dāng)\(x\)在\((0,+\infty)\)上時(shí)，函數(shù)圖象的切線斜率大于\(0\)，函數(shù)值隨\(x\)的增大而增大。教師總結(jié)：一般地，設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果\(f^\prime(x)>0\)，那么函數(shù)\(y=f(x)\)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果\(f^\prime(x)<0\)，那么函數(shù)\(y=f(x)\)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。強(qiáng)調(diào)：導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定了函數(shù)的單調(diào)性，\(f^\prime(x)>0\)是函數(shù)單調(diào)遞增的充分不必要條件，\(f^\prime(x)<0\)是函數(shù)單調(diào)遞減的充分不必要條件。2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟給出例題：求函數(shù)\(f(x)=x^33x^29x+5\)的單調(diào)區(qū)間。引導(dǎo)學(xué)生分析解題步驟：第一步：求函數(shù)\(f(x)\)的定義域，函數(shù)\(f(x)=x^33x^29x+5\)的定義域?yàn)閈(R\)。第二步：求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)，對(duì)\(f(x)=x^33x^29x+5\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^26x9\)。第三步：令\(f^\prime(x)=0\)，解方程\(3x^26x9=0\)，即\(x^22x3=0\)，因式分解得\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)。第四步：根據(jù)\(f^\prime(x)\)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。當(dāng)\(x<1\)或\(x>3\)時(shí)，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。當(dāng)\(1<x<3\)時(shí)，\(f^\prime(x)<0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減?？偨Y(jié)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：確定函數(shù)\(f(x)\)的定義域。求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，求出方程的根。用方程的根將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表判斷\(f^\prime(x)\)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而確定函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。

（三）例題講解（20分鐘）1.例1：已知函數(shù)\(f(x)=x^33x\)，求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。分析：按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟進(jìn)行求解。解：函數(shù)\(f(x)=x^33x\)的定義域?yàn)閈(R\)。求導(dǎo)數(shù)：\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3(x+1)(x1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=1\)。列表：|\(x\)|\((\infty,1)\)|\(1\)|\((1,1)\)|\(1\)|\((1,+\infty)\)|||||||||\(f^\prime(x)\)|\(+\)|\(0\)|\(\)|\(0\)|\(+\)||\(f(x)\)|單調(diào)遞增|極大值|單調(diào)遞減|極小值|單調(diào)遞增|所以，函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((1,1)\)。2.例2：已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^2+ax5\)在\((\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍。分析：函數(shù)在\((\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，轉(zhuǎn)化為求\(f^\prime(x)\)的最小值大于等于\(0\)。解：對(duì)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^2+ax5\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=x^22x+a\)。因?yàn)楹瘮?shù)\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增，所以\(f^\prime(x)=x^22x+a\geq0\)恒成立。對(duì)于二次函數(shù)\(y=x^22x+a\)，其圖象開口向上，要使其在\(R\)上恒大于等于\(0\)，則其判別式\(\Delta=(2)^24a\leq0\)。解不等式\(44a\leq0\)，得\(a\geq1\)。所以，\(a\)的取值范圍是\([1,+\infty)\)。3.例3：已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，當(dāng)\(a^23b<0\)時(shí)，討論函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)性。分析：先求導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)，再根據(jù)判別式判斷\(f^\prime(x)=0\)的根的情況，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：對(duì)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)。方程\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b=0\)的判別式\(\Delta=(2a)^24\times3b=4(a^23b)\)。因?yàn)閈(a^23b<0\)，所以\(\Delta<0\)，則\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b>0\)恒成立。所以，函數(shù)\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增。

（四）課堂練習(xí)（15分鐘）1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：\(f(x)=x^42x^2+5\)\(f(x)=e^xx1\)2.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+mx^2+(m+6)x+1\)既存在極大值又存在極小值，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.學(xué)生總結(jié)：請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟等。2.教師補(bǔ)充：教師對(duì)學(xué)生的總結(jié)進(jìn)行補(bǔ)充和完善，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)知識(shí)和易錯(cuò)點(diǎn)。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.必做題：教材P89練習(xí)第1、2、3題。2.選做題：已知函數(shù)\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間，并證明當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)\leq\frac{1}{e}\)。

五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系有了較深刻的理解，掌握了利用導(dǎo)數(shù)求函