一元二次方程的解課件北師大版九年級數(shù)學上冊

2.1.2一元二次方程的解第二章一元二次方程北師大版數(shù)學九年級上冊授課教師：********班級：********時間：********教學重難點重點：一元二次方程的解法，實際問題中的方程建模。難點：配方法的步驟，實際問題中復雜等量關系的分析。三、教學過程1.情境導入（8分鐘）問題1：展示生活問題：“一個矩形的面積是15cm2，長比寬多2cm，求長和寬?！币龑W生設未知數(shù)，列出方程

x(x+2)=15，整理為

x2+2x?15=0。問題2：提問：“這個方程與之前學的一元一次方程有何不同？”引出課題：一元二次方程。2.探究新知（30分鐘）活動1：一元二次方程的概念定義：只含一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。一般形式：ax2+bx+c=0（a

=0），強調二次項系數(shù)不為零。練習：判斷下列方程是否為一元二次方程：x2=4，3x+5=0，x3?2x=0，x(x?1)=x2+2。活動2：因式分解法解一元二次方程原理：若

ab=0，則

a=0

或

b=0。步驟：移項使右邊為0。將左邊因式分解。令每個因式為0，解方程。例題演示：解方程

x2?5x+6=0，分解為

(x?2)(x?3)=0，得

x=2

或

x=3?；顒?：配方法解一元二次方程步驟：二次項系數(shù)化為1。移項：常數(shù)項移到右邊。配方：兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方。開平方求解?？谠E：“一化二移三配方，四開五解六檢驗?！崩}演示：解方程

x2+4x?1=0，配方得

(x+2)2=5，解得

?；顒?：公式法解一元二次方程求根公式：由配方法推導得出

x=2a?b±

b2?4ac?

?

。判別式：Δ=b2?4ac，判斷根的情況：Δ>0：兩個不等實根；Δ=0：兩個相等實根；Δ<0：無實根。例題演示：解方程

2x2?5x+1=0，代入公式得

x=45±

17?

?

?；顒?：實際問題中的方程建模步驟：設未知數(shù)

→

找等量關系

→

列方程

→

求解

→

檢驗（舍去不符合實際的根）。例題分析：“某商品原價100元，連續(xù)兩次降價后售價81元，求平均每次降價的百分率。”設降價率為x，列方程

100(1?x)2=81，解得

x=10%。3.例題解析（10分鐘）例題1：解方程

3x2?6x=0。方法選擇：因式分解法，提取公因式3x，得

x=0

或

x=2。例題2：用配方法解方程

2x2?4x?1=0。步驟演示：系數(shù)化為1→

配方

→

開平方。例題3：“一個直角三角形的兩條直角邊相差3cm，面積為9cm2，求較長直角邊的長度。”設較長邊為x，列方程

21?x(x?3)=9，解得

x=6（舍去負根）。4.鞏固練習（15分鐘）基礎題：教材習題（解方程、判別式應用）。拓展題：某工廠今年一月份生產零件50萬件，第一季度共生產182萬件，求二、三月份平均每月的增長率。小組合作：設計一道與生活相關的一元二次方程應用題并互解，重點訓練建模能力。5.課堂小結（7分鐘）學生總結：一元二次方程的定義、解法步驟。實際問題中如何列方程及檢驗根的合理性。教師強調：因式分解法優(yōu)先，配方法是基礎，公式法是通法。注意二次項系數(shù)非零，實際問題中根的意義。四、作業(yè)布置基礎題：教材課后習題（必做）。實踐題：測量家中正方形地磚的邊長，若面積減少20%后變?yōu)?28cm2，求原邊長。思考題：若方程

x2+mx+1=0

有兩個相等實根，求m的值。能否用配方法驗證？五、教學資源多媒體課件（含解方程步驟動畫演示）。配方法教具（如正方形紙片輔助理解配方過程）。實物投影儀展示學生解題過程?；ツ婷}、互逆定理教案一、教學目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和語言表達能力。經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思想。情感態(tài)度與價值觀目標培養(yǎng)學生積極參與數(shù)學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。讓學生感受數(shù)學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數(shù)學的應用價值。二、教學重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導學生分析這些命題的題設和結論。提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學生進一步理解互逆命題的概念。組織學生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結（5分鐘）與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學反思在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1、經歷一元二次方程的解或近似解的探索過程，增進對方程解的

認識.2、會用“夾逼法”估算方程的解，培養(yǎng)學生的估算意識和能力．3、進一步提高學生分析問題的能力，培養(yǎng)學生大膽嘗試的精神，

在嘗試的過程中體驗到學習數(shù)學的樂趣.舊知回顧1.一元二次方程有哪些特點？2.一元二次方程的一般形式是什么？（只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2；整式方程）(ax2+bx+c=0,a≠0)猜數(shù)值游戲,在挑戰(zhàn)者不知道數(shù)值的情況下十秒鐘內猜出數(shù)值.可以以提問的方式獲得一條提示信息.挑戰(zhàn)過程中每說出一個數(shù)可以得到“高了”或“低了”的提示.問題1：幫小明提出一個問題使他能得到一條最有效的信息.問題2：怎樣迅速縮小范圍，確定數(shù)值？

如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m，如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？

在上一課中，我們知道四周未鋪地毯部分的寬度x滿足方程（8-2x）（5-2x）=18，

你能求出這個寬度嗎？（1）x可能小于0嗎？可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？說說你的理由；（2）你能確定x的大致范圍嗎？請同學們閱讀課本33-34頁后思考以下問題：(1)什么叫做一元二次方程的解?(2)怎樣驗證一個未知數(shù)的值是不是一元二次方程的根?(3)在估算一元二次方程的解時，若在x的取值范圍內取整數(shù)值，

沒有一個整數(shù)能夠使方程左邊等于0怎么辦?（能使一元二次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）（將這個未知數(shù)的值分別代入方程兩邊，若所得的結果相等，則這個未知數(shù)的值就是方程的根）（若在x的取值范圍內沒有一個整數(shù)能夠使方程的左邊為0，則找出值最接近0的數(shù)，這個數(shù)就是方程的近似解）(1)思考一元二次方程的近似解滿足什么條件?它與方程的解有什么區(qū)別?

怎樣求一元二次方程的近似解?【互動總結】(學生總結，老師點評)(求一元二次方程的近似解首先應確定解的大致范圍，再令

x的取值逐漸使ax2+bx+c的值接近0，從而可求其解或近似解)(2)求一元二次方程近似解的方法及步驟是什么?(第一步：化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);第二步：根據實際情況確定x的大致取值范圍；第三步：在x的范圍內取整數(shù)值，若能夠使方程左邊等于0，則這個數(shù)就是方程的一個解；第四步：若在

x的范圍內取整數(shù)值時，沒有一個整數(shù)能夠使方程的左邊為0，則找出值最接近于0的兩個數(shù)(一正一負)對應的兩個x值，以這兩個

x值為一個范圍，再以0.1為一個單位估算，依次類推，直到估計到方程左邊的值等于0或接近于0，這時對應的

x值為一元二次方程的解或近似解)

已知一元二次方程x2-2x-4=0,求它的近似解.(精確到個位)小組展示我提問我回答我補充我質疑提疑惑：你有什么疑惑？越展越優(yōu)秀教師講評知識點1：一元二次方程的解能使一元二次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.例如：下面哪些數(shù)是方程x2-x-6=0的解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解:通過驗證3和-2是x2-x-6=0的解，由此可知，一元二次方程可能不止一個解.重點教師講評知識點2：一元二次方程解的估算求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)近似解的方法及步驟：(1)方法：根據實際情況確定一元二次方程的解的大致取值范圍，再通過具體的求值計算從兩邊接近方程的解，逐步求得符合精確度要求的方程的解的近似值，一般簡稱為“夾逼法”.難點教師講評(2)步驟:第一步：化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);第二步：根據實際情況確定x的大致取值范圍；第三步：在x的范圍內取整數(shù)值，若能夠使方程左邊等于0，則這個數(shù)就是方程的一個解；第四步：若在x的范圍內取整數(shù)值時，沒有一個整數(shù)能夠使方程的左邊為0，則找出值最接近于0的兩個數(shù)(一正一負)對應的兩個x值，以這兩個x值為一個范圍，再以0.1為一個單位估算.重復以上步驟列表、計算、估計范圍，直到找出符合要求的范圍為止.典例精講例1：若x=-2是關于x的一元二次方程x2+3x+t=0的一個根，則t的值為(

)A.8B.4C.2D.1【題型一】根據一元二次方程的解求參數(shù)的值

典例精講例2：在估算一元二次方程x2+2x-4=0的根時，小晗列表如下：由此可估算方程x2+2x-4=0的一個根x的范圍是()A.1<x<1.1B.1.1<x<1.2

C.1.2<x<1.3

D.1.3<x<1.4【題型二】求一元二次方程的近似解C典例精講變式：

根據下面表格中的對應值，可以判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的一個解x的范圍是()A.1.1<x<1.2B.1.2<x<1.3C.1.3<x<1.4D.1.2<x<1.4A典例精講例3：已知t為一元二次方程x2-1

012x+3=0的一個解，則2t2-2

024t的值為(

)A.-3B.-2C.-6D.-4【題型三】根據一元二次方程的解求代數(shù)式的值

2019C典例精講

【題型四】一元二次方程解的應用——求方程的根

B返回1．[2023達州期末]關于x的一元二次方程x2＋3x＋a－1＝0有一個根為0，則a的值是(

)A．±1B．1C．－1D．0返回B2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1，則下列等式成立的是(

)A．a＋b＋c＝1B．a－b＋c＝0C．a＋b＋c＝0D．a－b＋c＝1C返回3．觀察下表，一元二次方程x2－x－1.1＝0的解的范圍是(

)A．1.4＜x＜1.5B．1.5＜x＜1.6C．1.6＜x＜1.7D．1.7＜x＜1.8x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2－x－1.1－0.99－0.86－0.71－0.54－0.35－0.140.090.340.614．返回若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2023－a－b的值為(

)A．－2022B．2022C．2023D．2024D5．返回完成下列表格，并回答問題：(1)由表可知方程2x2－1＝0的解在_______與_____之間．0x0122x2－1－1171(2)

由表可知方程2x2－1＝0的解在______與______之間．…以此類推，求出方程2x2－1＝0的近似解．(精確到0.01)0.7x0.50.60.70.80.92x2－1－0.5－0.28－0.020.280.620.8解：當x＝0.7時，2x2－1＝－0.02，當x＝0.71時，2x2－1＝0.0082，所以方程2x2－1＝0的近似解為0.71.6．已知m為方程x2＋3x－2022＝0的根，那么m3＋2m2－2025m＋2022的值為(

)A．－2022B．0C．2022D．4044【點撥】【答案】B∵m為方程x2＋3x－2