離散型隨機(jī)變量的均值課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

什么是離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)？

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，則X的概率分布列為：Xx1x2???xnPp1p2???pn離散變量的分布列可以用表格表示，如下表所示.(1)離散型隨機(jī)變量的分布列根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì):(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)復(fù)習(xí)回顧思考：你還記得什么是一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的均值及其意義嗎？

離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫(huà)了這個(gè)隨機(jī)變量的取值規(guī)律；但在解決有些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，直接使用分布列并不方便。例如，要比較不同班級(jí)某次考試成績(jī)，通常會(huì)比較平均成績(jī)；要比較兩名射箭運(yùn)動(dòng)員的射擊水平，一般會(huì)比較他們射箭的成績(jī)(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.

因此，類(lèi)似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機(jī)變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱(chēng)為隨機(jī)變量的數(shù)字特征.

平均分用于體現(xiàn)數(shù)據(jù)的總體水平新知探究思考：算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)

某人射擊10次，射中的環(huán)數(shù)分別是：7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.

則他射中的平均環(huán)數(shù)是多少？算術(shù)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)權(quán)數(shù)加權(quán)平均是指在計(jì)算若干個(gè)數(shù)值的平均數(shù)時(shí)，考慮到每個(gè)數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù).新知探究

某商場(chǎng)如果把這三種糖果按3∶2∶1的比例混合銷(xiāo)售，那么如何對(duì)糖果定價(jià)才比較合理呢？18元/千克24元/千克36元/千克方案1：按照糖果的最高價(jià)格定價(jià)，所以定價(jià)為36元/千克.

方案3：按照這三種糖果的加權(quán)平均價(jià)格定價(jià)，所以定價(jià)為

思考：哪種方案更合理？新知探究問(wèn)題1

甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示.環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢?

分析：類(lèi)似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.新知探究環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2解：

=9假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9，這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.新知探究隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望.

均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.概念生成1、

已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的均值E(X)等于（

）故選A.A新知應(yīng)用例1

在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？罰球1次的得分為X的均值為：E(X)＝0×0.2＋1×(0.8)＝0.8.010.20.8解：由題意：可知X的取值為0，1.

新知應(yīng)用兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望：01一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么概念生成例2

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值.由題意得，X的所有取值為：1，2，3，4，5，6則：解：

即點(diǎn)數(shù)X的均值是3.5.所以X的分布列為：X123456P新知應(yīng)用解：2.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的

均值.課本練習(xí)P66新知應(yīng)用探究2

已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，求Y=3X+2的分布列及數(shù)學(xué)期望？X12345P0.10.30.40.10.1解：因?yàn)閅=3X+2，所以Y的取值為：5，8，11，14，17，分布列如下：Y58111417P0.10.30.40.10.1

E(X)=2.8思考：Y=3X+2，那E(X)與E(3X＋2)有何關(guān)系呢？E(3X＋2)=3E(X)+2新知探究

Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn新知探究

(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b.(2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b(3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X)離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)：概念生成1、

設(shè)X的分布列如下表所示，又設(shè)Y＝2X＋5，則E(Y)等于()D新知應(yīng)用2、(多選)已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則()

A.a＝7 B.b＝0.4C.E(aX)＝44.1D.E(bX＋a)＝2.62X4a9P0.50.1b解：由題意得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，

解得b＝0.4，a＝7.∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，

故ABC正確.ABC新知應(yīng)用1．已知隨機(jī)變量X的分布列為：X12345P0.10.30.40.10.1課本練習(xí)P66例3

猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如表7.3-3所示.規(guī)則如下:按照A，B，C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首.求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.分析：公益基金總額X的可能取值有幾種情況？歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000X的可能取值為0，1000，3000，6000.新知應(yīng)用歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000例3解：分別用A,B,C表示猜對(duì)歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互獨(dú)立X的分布列為X的均值為

由題意可得，X的可能取值為0，1000，3000，6000，則X的分布列為新知應(yīng)用歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000例3變式：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同?若不同，那個(gè)大?同理

當(dāng)按A,C,B的順序時(shí)

當(dāng)按B,A,C的順序時(shí)當(dāng)按B,C,A的順序時(shí)當(dāng)按C,B,A的順序時(shí)當(dāng)按C,A,B的順序時(shí)E(X)=2144,E(X)=2256，E(X)=2112E(X)=1872，E(X)=1904.當(dāng)按A,B,C的順序時(shí)E(X)=2336可以發(fā)現(xiàn),按由易到難的順序猜歌,得到公益金的期望值最大.新知應(yīng)用例4.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元。為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元。方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?新知應(yīng)用分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：天氣狀況大洪水小洪水沒(méi)有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量,可以采用期望總損失最小的方案。新知應(yīng)用解：設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,

無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3800元.因此采用方案2,遇到大洪水時(shí)，總損失為2000+60000=62000元；沒(méi)有大洪水時(shí)，總損失為2000元.因此采用方案3，有∴因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.新知應(yīng)用解：