《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第7講　立體幾何中的向量方法(二)-求角與距離

立體幾何與空間向量第七章

第7講立體幾何中的向量方法(二)——求角與距離課標(biāo)要求考情概覽1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題.2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講為高考必考內(nèi)容.預(yù)測本年度高考將會以空間向量為工具計算空間異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角.試題以解答題的形式呈現(xiàn)，要求有較強(qiáng)的運算能力.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11.兩條異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

＝

.

2.直線和平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝

__________＝

.

3.平面與平面的夾角(1)如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.(2)若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

＝

.

(a·u)u

【特別提醒】1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sin

θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos

θ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩個半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ).【常用結(jié)論】最小角定理cos

θ＝cos

θ1cos

θ2.如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cos

θ＝cos

θ1cos

θ2.

A

CD

ABD5.(易錯題)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1B1的中點，F(xiàn)為AB的中點，則CF到平面AEC1的距離為

.

重難突破能力提升2利用空間向量求異面直線所成的角

【解題技巧】用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)分別確定異面直線上兩個點的坐標(biāo)，從而確定兩條異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.

A

D

利用空間向量求直線與平面所成的角

【解題技巧】利用空間向量求線面角的解題模型：

利用空間向量求二面角

(1)證明：連接AE，DE，因為E為BC中點，DB＝DC，所以DE⊥BC.①因為DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD與△ABD均為等邊三角形.所以AC＝AB，從而AE⊥BC.②由①②得，AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE.而AD?平面ADE，所以BC⊥DA.

【解題技巧】利用空間向量計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

空間距離

例4

如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.(1)求點N到直線AB的距離；(2)求點C1到平面ABN的距離.

素養(yǎng)微專直擊高考3思想方法——用幾何法求解空間角高考中立體幾何解答題的第二問考查空間角，其中線面角和二面角是考查的重點，求解方法有幾何法和向量法，本文重點介紹幾何法.

解：(1)在梯形ABCD中，AB與CD不平行，延長AB，DC，相交于點M(M∈平面PAB)，M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四邊形BCDE是平行四邊形，從而CM∥EB.又因為EB?平面PBE，CM?平面PBE，所以CM∥平面PBE.(說明：延長AP至點N，使得AP＝PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點).(2)由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P－CD－A的平面角，則∠PDA＝45°，設(shè)BC＝1，則在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.如圖，過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH，易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE，

【點評】(1)用幾何法求線面角時，先尋找過斜線上一點與平面垂直的直線，連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角，再把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形求出該角.(2)找二面角有三種方法，一是定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線；二是三垂線定理法：過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角；三是垂面法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角.

(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC為正三角形.因為E為BC的中點，所以AE⊥