《高考備考指南 數(shù)學(xué) 》課件-第2講 第1課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章第1課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(本講對應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)P72)課標(biāo)要求考情概覽1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不會超過三次)考向預(yù)測：從近三年高考情況來看，本講是高考中的必考內(nèi)容.預(yù)測本年度會考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，題型有兩種：一是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；二是已知單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.常以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與f'(x)的關(guān)系：(1)如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

(2)如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(3)如果

，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)是常數(shù).

f'(x)＞0f'(x)＜0f'(x)＝0【特別提醒】討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.【常用結(jié)論】1.在某區(qū)間內(nèi)f'(x)＞0(f'(x)＜0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.2.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.1.(2023年寧德模擬)若函數(shù)y＝ekx(k∈R)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(

)A.(0，＋∞) B.［0，＋∞)C.(1，＋∞) D.［1，＋∞)2.(2023年商丘月考)函數(shù)f(x)＝x－2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(－∞，1) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，＋∞)AC3.(多選)如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f'(x)的圖象，則下列判斷正確的有(

)A.在區(qū)間(－2，1)上f(x)單調(diào)遞增B.在區(qū)間(2，3)上f(x)單調(diào)遞減C.在區(qū)間(4，5)上f(x)單調(diào)遞增D.在區(qū)間(3，5)上f(x)單調(diào)遞減BC

－4已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或參數(shù)的范圍：(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0在(a，b)上恒成立，且f'(x)在(a，b)的任意子區(qū)間上不恒為0，也可轉(zhuǎn)化為(a，b)?增區(qū)間；函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化為f'(x)≤0在(a，b)上恒成立，且f'(x)在(a，b)的任意子區(qū)間上不恒為0，也可轉(zhuǎn)化為(a，b)?減區(qū)間.(2)函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間是(a，b)，可轉(zhuǎn)化為(a，b)＝增區(qū)間，也可轉(zhuǎn)化為f'(x)＞0的解集是(a，b)；函數(shù)y＝f(x)的減區(qū)間是(a，b)，可轉(zhuǎn)化為(a，b)＝減區(qū)間，也可轉(zhuǎn)化為f'(x)＜0的解集是(a，b).重難突破能力提升2不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

A

【解題技巧】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的3種方法：(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f'(x)＞0或f'(x)＜0，求出單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)方程f'(x)＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間f'(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間；(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f'(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用其圖象與性質(zhì)確定f'(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.

ABD

含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(2021年甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解題技巧】含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的求法：此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡變形后，通?？梢赞D(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的含參問題.對于二次三項(xiàng)式含參問題，有如下處理思路：(1)首先考慮二次三項(xiàng)式是否存在零點(diǎn)，這里涉及對判別式Δ≤0和Δ＞0分類討論，即“有無實(shí)根判別定，兩種情形需知曉”.(2)如果二次三項(xiàng)式能因式分解，這表明存在零點(diǎn)，邏輯分類有兩種情況，需要考慮首項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù).如果首項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按首項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論；如果首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，只需討論兩個(gè)根x1，x2的大小，即“首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，先論系數(shù)零正負(fù)；首項(xiàng)系數(shù)無參數(shù)，根的大小定勝負(fù)”.(3)注意：討論兩個(gè)根x1，x2的大小時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)定義域進(jìn)行討論，考慮兩根是否在定義域中，即“定義域，緊跟蹤，兩根是否在其中”.

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

考向1比較大小

A

考向2解不等式

B

考向3根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

(2023年乙卷)設(shè)a∈(0，1)，若函數(shù)f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

.

【解題技巧】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件f'(x)≥0(f'(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應(yīng)注意參數(shù)的取值是f'(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍.(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.【變式精練】3.(1)(2023年南平期末)已知函數(shù)f(x)，g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)存在，且f'(x)＜g'(x)，記a＝log52，b＝log83，則(

)A.f(a)＞g(a)B.f(a)＜g(a)C.f(a)＋g(b)＞g(a)＋f(b)D.f(a)＋g(b)＜g(a)＋f(b)C

A［5，＋∞)

素養(yǎng)微專直擊高考3思想方法——分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性典例精析已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸.(1)確定a與b的關(guān)系；(2)若a≥0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.【考查角度】導(dǎo)函數(shù)的幾何性質(zhì)、導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.【思路導(dǎo)引】依據(jù)g(x)的切線條件可得g'(1)＝0，得a，b關(guān)系，在g(x)中利用a，b的關(guān)系消去b，對a進(jìn)行分類討論確定g'(x)的符號.

③若a－1＞1，即a＞2時(shí)，當(dāng)x∈(1，a－1)時(shí)，f'(x)＜0，當(dāng)x∈(0，1)，x∈(a－1，＋∞)時(shí)，f'(x)＞0，所以f(x)在(1，a－1)上單調(diào)遞減，在(0，1)，(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，