四川省自貢市、遂寧市、廣安市等2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

秘密★啟用前遂寧市2024一2025學(xué)年度高中二年級(jí)第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分,考試時(shí)間120分鐘?！?、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分·在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的·C.2D.32.某農(nóng)場(chǎng)共有300頭牛,其中甲品種牛30頭,乙品種牛90頭,丙品種牛180頭,現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取60頭牛進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),則抽取甲、乙、丙三個(gè)品種牛的頭數(shù)分別為A.6,18,36B.6,20,34C.10,18,32D.10,20,303.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與直線2zy=0垂直的直線l的方程為A.2z十y-7=0B.2cy-1=0C.x十2y一8=0D.x+2y+4=04.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲n(n≥8,nEN)次,第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為p,q,則p,q的大小關(guān)系為A.p,q的大小由n確定B.p<qC.p>qD.p=q5.已知圓C:(az+1)2(y十4)2=25,圓C2:x2y2一4y-1=0,則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)含高二數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))高二數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))高二數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))3小題,每小題5分,共15分.,1,0),b=(-1,0,1),若ka+b與b互相垂直則實(shí)數(shù)k的值為·13.已知直線(m-2)x十(m-1)y-4=0與直線3z+4y十m+6=0平行(其中m為實(shí)數(shù)),則它們之間的距離為·14.已知三棱柱ABCABiC,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),D,E,F分別為△AiB,C三邊的一個(gè)三等分點(diǎn),n為面ABC的一個(gè)法向量,且nl=1.若P到面ABC的距離為2,則n·(PD+PE+PF)=四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟·15.(13分)·(1)求橢圓C1的方程;(2)以C的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)短軸為虛軸的雙曲線記為C2,求C的方程及其漸近線方程·16.(15分)已知直線l:y=k(x+1),圓M:2十y2一4.z—4y+4=0(點(diǎn)M為圓心).(1)若直線l與圓M相切,求實(shí)數(shù)k的值;(2)當(dāng)k=1時(shí),判斷直線l與圓M是否相交于不同的兩點(diǎn)?如果相交于不同兩點(diǎn),記這兩點(diǎn)為A,B,并求△MAB的面積,如果不相交,請(qǐng)說(shuō)明理由·17.(15分)2個(gè)紅球1個(gè)白球乙的盒子里面有2個(gè)紅球3個(gè)白球,這些球只有顏色不同·每一輪比賽的地不動(dòng);如果乙摸到白球,乙向前走一步,否則原地不動(dòng)·各自摸球后都放回自己的盒子中·高二數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))18.(17分)如圖,等腰梯形ABED的高為2,ABDE,AB=3DE=6,C是AB上靠近A的三等分點(diǎn),如圖①所示,將△ACD沿DC折起到△ACD的位置,使得ACCB,如圖②所示,點(diǎn)M在棱AB上·(1)求證:直線AC平面BCDE;(2)若M是AB的中點(diǎn),求直線DM與平面A1BE所成角的正弦值;19.(17分)已知拋物線C:y2=2pz(p>0)的焦點(diǎn)為F,第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P(4,y,)在拋物線且IPFI=5·(1)求拋物線C的方程;(2)直線PF與拋物線c的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,求△OPQ的面積(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn));C上,,B,若高二數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)(共7頁(yè))數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.【解析】由題可知故離心率【命題意圖】考查雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。【解析】抽取的甲品種牛的頭數(shù)為乙品種牛的頭數(shù)為丙品種牛的頭【命題意圖】考查分層抽樣方法的應(yīng)用,通過(guò)計(jì)算各層抽樣數(shù)量,考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)?！窘馕觥恐本€2父—y=0的斜率為2,則直線l的斜率為—,其方程為即【命題意圖】本小題主要考查兩直線的位置關(guān)系,直線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力?！窘馕觥康?次和第8次某一面朝下的概率p=q,故D正確.【命題意圖】測(cè)試伯努利試驗(yàn)下概率的均等性,理解頻率與概率的關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。【解析】圓C1的圓心C1(—1,—4),半徑r1=5,圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(父—2)2十(y—2)2=9,其圓心C2(2,2),半徑r2=3.圓C1與圓C2的圓心距r1十r2=8,r1—r2=2,可得r1—r2<|C1C2|<r1十r2,所以圓C1與圓C2相交.【命題意圖】本小題主要考查圓的方程、兩圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解等高能力。高二數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)(共7頁(yè))yc=(y,m父,2父),得到解得m=2,故選A.【命題意圖】考查空間向量共面的條件,通過(guò)計(jì)算參數(shù),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)?！窘馕觥科骄鶃?lái)說(shuō),甲隊(duì)失球平均數(shù)少,防守效果較好,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;甲隊(duì)失球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙隊(duì)大,乙隊(duì)的技術(shù)水平更穩(wěn)定,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;甲隊(duì)平均失球少,標(biāo)準(zhǔn)差大,故甲隊(duì)表現(xiàn)好時(shí)失球少,表現(xiàn)差時(shí)失球多,選項(xiàng)C正確;綜合失球平均數(shù)和方差考慮,甲隊(duì)個(gè)別場(chǎng)次可以沒有失球,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)量的意義等基礎(chǔ)知識(shí),考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！窘馕觥繉?duì)于Ω1={(父,y)|父十y十|父—y|=2},當(dāng)父≥y時(shí),父=1;當(dāng)父<y時(shí),y=1.可知曲線Ω1為右圖“7”字曲線.對(duì)于Ω2={(父,y)|(a父十y)2十(a父y)2=4},當(dāng)a=0時(shí),方程(a父十y)2十(a父—y)2=4化簡(jiǎn)為y2=2,即,此時(shí)Γ1,Γ2僅有一個(gè)公共點(diǎn),不合題意,A選項(xiàng)不正確;當(dāng)a≠0時(shí),曲線Ω2的方程為a2父2十y2=2,曲線Ω2為圖中的環(huán)形曲線,要使Γ1,Γ2有四個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合圖形可知【命題意圖】判斷兩曲線(直線與圓,直線與橢圓)交點(diǎn)個(gè)數(shù),通過(guò)方程求解參數(shù)范圍,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共計(jì)18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.【解析】事件D指的是“恰好二次投中”和“恰好三次都投中”,故A,C正確,D正確;而B∩D=⑦,故選ACD.【命題意圖】通過(guò)事件的運(yùn)算和關(guān)系判斷,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)?！窘馕觥恐本€2父十1=0表示一條垂直于父軸的直線,它的一個(gè)方向向量為(0,1),故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)所以KAB=KAC,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于解得所以直線2(m十1)父十(3—m)y—9—5m=0必過(guò)定點(diǎn)(3,1),故高二數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)(共7頁(yè))選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)θ=90。時(shí),直線的斜率不存在,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選ABC.【命題意圖】綜合考查直線方向向量、三點(diǎn)共線、直線過(guò)定點(diǎn)及直線方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。設(shè)點(diǎn)P(父,y),顯然y≠±1,父→當(dāng)m=—1時(shí),得十y2=1且y≠±1,所以C是以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓,且除去(0,—1),(0,1)兩點(diǎn),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)m>0時(shí),由方程≠±1)易知選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),曲線C:y2十2父2=1,過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線父=1與曲線C沒有公共點(diǎn),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)m>0時(shí),由方程y≠±1)知,它表示除去上下頂點(diǎn)的雙曲線,因此直線y=k父十2與C有兩個(gè)公共點(diǎn),必須滿足直線y=k父十2與C的漸近線不能平行,故選項(xiàng)D正確,故選BD.【命題意圖】通過(guò)判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡形狀和直線與雙曲線的關(guān)系,考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)?！窘馕觥坑深}知ka十b=(k—1,k,1),所以1—k十1=0,即k=2.【命題意圖】利用向量垂直的條件求解參數(shù),培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)?！窘馕觥恳?yàn)橹本€(m—2)父十(m—1)y—4=0與直線3父十4y十m十6=0平行,所以4(m—2)—3(m—1)=0,解得m=5.此時(shí)兩直線可化為3父十4y—4=0和3父十4y十11=0,其距離為d=【命題意圖】考查直線的平行關(guān)系和平行線間的距離公式,通過(guò)計(jì)算提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。又因?yàn)閨PD||cOS〈n,PD又因?yàn)閨PD||cOS〈n,PD〉|表示PD在n上投影向量的長(zhǎng)度,故n.PD=±2,同理可求得n.=±2,n.=±2,據(jù)圖可知這三個(gè)數(shù)量積的符號(hào)同為正或同為負(fù),故答案為±6.【命題意圖】利用空間向量求解幾何量,考查學(xué)生對(duì)投影向量的理解,培養(yǎng)學(xué)生空間想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.【解析】(1)依題意,可知2a=8,得a=4,……………………2分高二數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)(共7頁(yè))由,解得c=2,……………………4分所以……………………6分故橢圓C1的方程為十……………7分(2)橢圓C1的焦點(diǎn)為F1(—2,0),F2(2,0),且短軸長(zhǎng)為.……………8分以F1(—2,0),F2(2,0)為左、右頂點(diǎn)的雙曲線C2的方程設(shè)為……………9分依題意,得,…………………10分所以,雙曲線C2的方程為……………………11分其漸近線方程為父.………………13分【命題意圖】通過(guò)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及它們的性質(zhì),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、幾何直觀素養(yǎng)?！窘馕觥?1)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(父—2)2十(y—2)2=4,圓M的圓心為(2,2),半徑為2.…直線l:k父y十k=0,圓心M到l的距離分因?yàn)橹本€l與圓M相切,所以解得或k=0.…………7分(2)直線l與圓M相交于不同的兩點(diǎn).………8分理由如下:當(dāng)k=1時(shí),直線l:父—y十1=0,由(1)可知,圓心M到直線l的距離……………9分所以直線l與圓M相交于不同的兩點(diǎn).……………………10分【注:也可以根據(jù)(1)中直線l與圓M相切時(shí)的斜率進(jìn)一步得到,直線l與圓M相交時(shí),其斜率滿足,故當(dāng)k=1時(shí),直線l與圓M相交于不同的兩點(diǎn)】所以分高二數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)(共7頁(yè))所以△MAB的面積S△分【命題意圖】通過(guò)判斷直線與圓的位置關(guān)系和求解弦長(zhǎng)等問(wèn)題,考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)?！窘馕觥?1)經(jīng)過(guò)多輪比賽后,估計(jì)甲走的步數(shù)比乙多.……2分原因是每輪比賽中甲向前走一步的可能性更大,具體如下:………………4分一輪比賽中,記“甲向前走一步”為事件A,“乙向前走一步”為事件B,根據(jù)古典概型概率的計(jì)算可得分則P(A)>P(B),即每輪比賽中甲向前走一步的可能性更大.……………6分所以多輪比賽后,估計(jì)甲走的步數(shù)比乙多.…………………7分(2)在2輪比賽后,事件“乙走的步數(shù)比甲多”包含“乙恰好向前走一步,甲沒有前進(jìn)”和“乙恰好向前走兩步,甲最多向前走一步”兩個(gè)事件,分別記為C,D,且事件C,D為互斥事件.則分……………13分所以2輪比賽后,乙走的步數(shù)比甲多概率為十分【命題意圖】通過(guò)概率計(jì)算考查學(xué)生對(duì)古典概型、相互獨(dú)立事件和互斥事件等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和相關(guān)數(shù)據(jù)分析能力,通過(guò)分類討論培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。【解析】(1)證明:在圖①中,作AB的靠近B的三等分點(diǎn)H,連接DH,所以AB=3HB,結(jié)合AB=3DE和DEⅡHB.所以四邊形EDHB為平行四邊形,所以DH=EB.所以△ADH為等腰三角形,因?yàn)镃是AB上靠近A的三等分點(diǎn),所以C為等腰三角形ADH底邊上的中點(diǎn),所以DC丄AC.所以在圖②中,A1C丄CD.又因?yàn)锳1C丄CB,且CD∩CB=C,所以直線A1C丄平面BCDE.………5分(2)由(1)知CD,CB,CA1兩兩垂直,分別以CD,CB,CA1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.高二數(shù)學(xué)答案第6頁(yè)(共7頁(yè))所以…………………7分設(shè)平面A1BE的法向量為n=(x,y,z),則令y=1,得n=(1,1,2).………9分設(shè)直線DM與平面A1BE所成角的大小為θ,所以直線DM與平面A1BE所成角的正弦值為.……11分—→—→—→—→—→—→—→設(shè)A1M=λA1B,0≤λ≤1,則CM=CA1十A1M=CA1十λA1B=(0,4λ,2(1—λ)).……12分設(shè)平面DCM的法向量為m=(a,b,—→—→—→—→—→—→—→則解得a=0.……………13分令c=2λ,得b=λ—1,可得平面DCM的一個(gè)法向量為m=(0,λ—1,2λ),……………14分由題知分解得且點(diǎn)M在棱A1B上,所以的值為.……………………17分【命題意圖】通過(guò)空間幾何的證明和直線與平面所成角以及二面角的求解,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。【解析】(1)由拋物線定義可知|PF|=4十分解得p=2.……………………4分所以拋物線C的方程為y2=4x.……………5分(2)由P(4,y0)在拋物線上且在第一象限,得y0=4,即P(4