2025屆浙江省新課改協(xié)作校高三下學(xué)期第五次月考（期末）數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆浙江省新課改協(xié)作校高三下學(xué)期第五次月考（期末）數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如：)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A． B． C． D．2．已知，是兩條不重合的直線，是一個平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)滿足，則的圖像可能是A． B．C． D．7．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，（為實數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．8．設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．10．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)11．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．12．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，，則______.14．已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線與雙曲線左支交于兩點，，的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為________.15．若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式各項系數(shù)和為__________．16．已知集合，則____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內(nèi)，求的面積.18．（12分）在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為且，求的值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，為等腰直角三角形，，平面底面，為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面與平面的交線為，求二面角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．21．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當(dāng)二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

基本事件總數(shù)，能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有，，，共有個，根據(jù)古典概型求出概率．【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有，，，共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項：本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題．2．D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進行判斷.【詳解】解：選項A中直線，還可能相交或異面，選項B中，還可能異面，選項C，由條件可得或．故選：D.本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.4．C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號.5．B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題6．B【解析】根據(jù)題意，確定函數(shù)的性質(zhì)，再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì)．由得是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可知B，D符合；由得是周期為2的周期函數(shù)，選項D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B．7．A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當(dāng)時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).8．C【解析】

設(shè)過點作圓的切線的切點為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，，，.故選:C.本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.9．B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.10．C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.11．B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B本題考查平面向量的數(shù)量積及其運算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把當(dāng)成進行運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得，的值，由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】，，，，，，，，.故答案為：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.14．2【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，可得四邊形為正方形,再由圓的切線的性質(zhì)結(jié)臺雙曲線的定義，求得的內(nèi)切圓的圓心的縱坐標(biāo),結(jié)合已知列式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，圓分別切于，連接，則，故四邊形為正方形，邊長為圓的半徑，由，，得，與重合，，，即——①，——②聯(lián)立①②解得：，又因圓心的縱坐標(biāo)為，.故答案為：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力,屬于中檔題.15．1【解析】

由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項式系數(shù)之和為，即，故，令，則展開式各項系數(shù)的和為.故答案為：本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結(jié)果，需要掌握解題方法.16．【解析】

根據(jù)并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：本題考查集合的并集運算，屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設(shè)、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到關(guān)于一元二次方程，根據(jù)，求得，，進而求得切點，坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式求得，根據(jù)點到直線距離公式求得點到切線的距離，進而求得的面積.【詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設(shè)為和，切點，，過點的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切線的方程為，點到切線的距離為，，即的面積為.本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式18．（1）（2）【解析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可求，即可求的值．（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，可得，根據(jù)題意，得到，解得，得到函數(shù)的解析式，進而求得的值，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值．【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得，又由，所以，可得，即，又因為，則，可得，∵，∴．（2）由（1）可得，所以函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為，∴，得，即，∴，又，∴，∴．本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連接，易得，進而可證明四邊形為平行四邊形，即，從而可證明平面；（2）取中點，中點，連接，易證平面，平面，從而可知兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，進而求出平面的法向量，及平面的法向量為，由，可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖1，取的中點，連接.，，，，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）如圖2，取中點，中點，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直.以點為坐標(biāo)原點，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.因為，，，所以，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決本題的較好方法，屬于中檔題.20．（1）；（2）當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關(guān)系進而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.（2）的定義域是..①當(dāng)時,,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時,,所以當(dāng)和時,；當(dāng)時,,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時,,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時,,所以和時,；時,.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點,再根據(jù)極值點的大小關(guān)系分類討論即可.屬于?？碱}.21．（1）（2）【解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【詳解】(1)因為角為鈍角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因為，且，所以，又，則，所以.22．（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解