第三課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)之橢圓的應用-高二數(shù)學理科選修教學課件(人教A版)

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用橢圓方程解決實際生活中的問題.2.

橢圓與直線在什么情況下相交?在什么情況下相切?在什么情況下相離?1.

橢圓的準線是什么?學習要點

例6.

點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到直線l:距離的比是常數(shù)求點M

的軌跡.解:設M

到l

的距離為d,則即得化簡得9x2+25y2=225,可整理成橢圓標準方程的形式,∴點M

的軌跡是橢圓.

問:

此橢圓中的a,b,c

分別是多少?與題設所給各量有什么關系?a=5,b=3,c=4.F(4,0)是右焦點,定點是右焦點,定直線叫右準線,比值是離心率.

例6.

點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到直線l:距離的比是常數(shù)求點M

的軌跡.在橢圓中,分別叫橢圓的右準線和左準線.橢圓上任意一點到焦點的距離與到對應準線的距離之比等于離心率e.

例7.

已知橢圓直線l:4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點,它到直線l

的距離最小?最小距離是多少?分析:如圖,lxyoF1F2將直線l靠近橢圓,l1與橢圓相切時,切點到直線l

的距離最小;l1l2另一條切線l2

到與橢圓的切點到l

的距離最大.所以只需求l

的平行線與橢圓相切的切點即可.直線與二次曲線的位置關系是:將直線的一個變量表示另一個變量代入二次曲線的方程,由所得一元二次方程的判別式確定.△>0,相交;△=0,相切;△<0,相離.

例7.

已知橢圓直線l:4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點,它到直線l

的距離最小?最小距離是多少?解:lxyoF1F2l1l2設平行于l

的直線方程為4x-5y+m=0,①將①代入橢圓方程得25x2+8mx+m2-225=0,△=-36m2+22500=0,解得m=±25.當m=-25時,切線為l2,切點到l

的距離最大.當m=25時,切線為l1,切點到l

的距離最小.②此時解方程②得x=-4,得切點由點到直線的距離得最小距離為

例5.

如圖,一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分.過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個焦點F1上,片門位于另一個焦點F2上.由橢圓一個焦點F1發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2,已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm,試建立適當?shù)淖鴺讼?求截口BAC所在橢圓的方程(精確到0.1cm).xyOABCF1F2ED透明窗反射鏡面分析:已經(jīng)知道2c

=|F1F2|,a,b

中的一個量即可求.而點B

在橢圓上,且|F1B|=2.8,則可在Rt△BF1F2中求得點B到兩焦點的距離之和2a.以F1,F2

所在平面為x

軸,F1F2的中點為原點建立平面直角坐標系.如果再知道

例5.

如圖,一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分.過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個焦點F1上,片門位于另一個焦點F2上.由橢圓一個焦點F1發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2,已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm,試建立適當?shù)淖鴺讼?求截口BAC所在橢圓的方程(精確到0.1cm).xyOABCF1F2ED透明窗反射鏡面解:由2c

=|F1F2|=4.5,得c=2.25,在Rt△BF1F2中可求得|BF2|=5.3,則2a=|BF1|+|BF2|=2.8+5.3=8.1,得a=4.05.則橢圓方程為≈3.37,練習:(課本48頁)第6、7題.

(補充練習).

如圖,某隧道設計為雙向四車道,車道總寬22m,要求通行車輛限高4.5m,隧道的拱線近似成半個橢圓形狀.若最大拱高h

為6m,則隧道設計的拱寬l是多少?l22h4.5練習:(課本48頁)6.

求下列直線和橢圓的交點坐標:

(1)3x+10y-25=0,

(2)3x-y+2=0,解:(1)將直線方程代入橢圓方程整理得x2-6x+9=0,解得x=3,再代入直線在方程解得∴直線與橢圓相切,切點為練習:(課本48頁)6.

求下列直線和橢圓的交點坐標:

(1)3x+10y-25=0,

(2)3x-y+2=0,解:(2)將直線方程代入橢圓方程整理得37x2+48x=0,再代入直線在方程解得y=2,或∴直線與橢圓交于兩點解得x=0,或(0,2),7.

經(jīng)過橢圓的左集點F1

作傾斜角為60

的直線l與橢圓相交于A,B

兩點,求AB

的長.lxyoF1F2AB解:在橢圓中,∴F1

的坐標為(-1,0).由點斜式寫出直線的方程為將直線的方程代入橢圓方程整理得7x2+12x+4=0.7.

經(jīng)過橢圓的左集點F1

作傾斜角為60

的直線l與橢圓相交于A,B

兩點,求AB

的長.lxyoF1F2AB解:在橢圓中,∴F1

的坐標為(-1,0).由點斜式寫出直線的方程為將直線的方程代入橢圓方程整理得7x2+12x+4=0.

(補充練習).

如圖,某隧道設計為雙向四車道,車道總寬22m,要求通行車輛限高4.5m,隧道的拱線近似成半個橢圓形狀.若最大拱高h

為6m,則隧道設計的拱寬l是多少?l22h4.5解:xyO以拱寬所在直線為x

軸,拱寬中點為原點建立直角坐標系.則點P(11,4.5)在橢圓上.設橢圓的方程為則b=6,解得則拱寬2a≈33.26.答:隧道設計拱寬約為33.26m.P【課時小結(jié)】在橢圓中,分別叫橢圓的右準線和左準線.橢圓上任意一點到焦點的距離與到對應準線的距離之比等于離心率e.1.

橢圓的準線【課時小結(jié)】2.

橢圓與直線

將直線的一次方程代入橢圓的二次方程,就得到一個一元二次方程.若△<0,直線與橢圓相離.

若△=0,直線與橢圓相切,解方程組得切點坐標.

若△>0,直線與橢圓相交,解方程組得交點坐標.習題2.2A組第6、8、9、10題.B組第4題.習題2.2A組6.

已知點P

是橢圓上的一點,且以點P

及焦點F1,F2

為頂點的三角形的面積等于1,求點P

的坐標.xyoF1F2P解:設點P的坐標為(x0,y0),由橢圓方程知則求得c=1.得y0=±1,代入橢圓方程得

8.

已知橢圓一組平行直線的斜率是

(1)

這組直線何時與橢圓相交?

(2)

當它們與橢圓相交時,證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上.xyoF1F2解:如圖,設直線的方程為(1)將其代入橢圓方程整理得9x2+6mx+2m2-18=0.要使直線與橢圓相交,需△=-36m2+3818>0,解得直線與橢圓相交.即直線在y

軸上的截距在與之間時,

8.

已知橢圓一組平行直線的斜率是

(1)

這組直線何時與橢圓相交?

(2)

當它們與橢圓相交時,證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上.解:設直線與橢圓交于A,B,(2)AB

的中點為M(x,y),則9x2+6mx+2m2-18=0.xyoF1F2AB由(1)得直線的方程和直線代入橢圓的方程分別為于是得·M

8.

已知橢圓一組平行直線的斜率是

(1)

這組直線何時與橢圓相交?

(2)

當它們與橢圓相交時,證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上.解:設直線與橢圓交于A,B,(2)AB

的中點為M(x,y),則9x2+6mx+2m2-18=0.xyoF1F2AB由(1)得直線的方程和直線代入橢圓的方程分別為于是得·M兩式消去m

得3x+2y=0.由此可知線段AB中點的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的一部分.由(1)中的直線與橢圓相切得切點的x

從標分別為則軌跡方程為9.

慧星“紫金山一號”是南京天文臺發(fā)現(xiàn)的,它的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓,測得軌道的近日點距太陽中心1.486天文單位,遠日點距太陽中心5.563天文單位(1天文單位是太陽到地球的平均距離,約1.5

108km),且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上,求軌道的方程.xyoF2BF1A1.4865.563解:如圖建立坐標系,則有5.563-c

=1.486+c,解得c

=2.0385,則a

=5.563-2.0385=3.5245,于是b2≈2.8752.∴慧星軌道方程為5.563-c1.486+c

10.

已知地球運行的軌道是長半軸長a=1.50

108km,離心率e

=0.0192的橢圓,且太陽在這個橢圓的一個焦點上,求地球到太陽的最大和最小距離.xyoBF1AF2解:由題設中a

與e

的值求得c

=0.0288

108如圖,地球距太陽最大距離為|BF2|=

a+c=1.5288

108km;最小距離為|AF2|=

a-c=1.4712

108km.答:地球到太陽的最大距離約為1.5288108km,最小距離約為1.4712108km.ABCDEFGHR

S

T

ORSTLMN思路:若能在坐標系中求得點L,M,N

的坐標滿足即得到證明.4.

如圖,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6.E,F,G,H

分別是矩形四條邊的中點,R,S,T

是線段OF

的四等分點,R

,S

,T

是線段CF

的四等分點.請證明直線ER

與GR

,ES

與GS

,ET

與GT

的交點L,M,N

在同一個橢圓上.橢圓的方程,問題B組ABCDEFGHR

S

T

ORSTLMN證明:建立如圖的坐標系,xy則各點的坐標為分別求得直線ER與直線GR

的方程為ER:3x-y-3=0,GR

:3x+16y-48=0,解交點得4.

如圖,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6.E,F,G,H

分別是矩形四條邊的中點,R,S,T

是線段OF

的四等分點,R

,S

,T

是線段CF

的四等分點.請證明直線ER

與GR

,ES

與GS

,ET

與GT

的交點L,M,N

在同一個橢圓