2025北京四中高二（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京四中高二（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（試卷滿分150分考試時間120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.3.若的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，則（）A.5 B.6 C.7 D.84.“”是“直線與圓相切”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.某圓錐曲線是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過和兩點(diǎn)，則曲線的離心率等于（）A. B. C. D.6.正四面體中，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.7.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少一人，每人做且僅做一項(xiàng)工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.64種8.已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)為F，A是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)A到x軸的距離為．過點(diǎn)A向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線、垂足為B．若四邊形ABOF為等腰梯形，則p的值為（）A.1 B. C.2 D.9.如圖，在正方體中，是棱上的動點(diǎn)，下列說法中不正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.對于任意點(diǎn)，三棱錐的體積為定值 D.對于任意點(diǎn)，都不是銳角三角形10.在正方體中，動點(diǎn)在正方形及其邊界上運(yùn)動，且滿足，則動點(diǎn)的軌跡為（）A.拋物線的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.以上都不對二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11.展開式的常數(shù)項(xiàng)是__________．（用數(shù)字作答）12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，則____________．13.圓截直線所得弦長為2，則______.14.已知兩點(diǎn).點(diǎn)滿足，則的面積是______.15.已知曲線.給出下列四個結(jié)論：①曲線是軸對稱圖形：②曲線上恰好有4個整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均是整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線上存在一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離小于1；④曲線所圍成區(qū)域的面積大于4.其中，所有正確結(jié)論的序號為______.三、解答題（本大題共6小題，共85分.）16.如圖，四邊形為梯形，，四邊形為平行四邊形.（1）求證：平面；（2）若平面，，求直線與平面所成角的正弦值.17.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求的值和拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).求的大小.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.19.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（與點(diǎn)不重合），過且與軸垂直的直線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).（1）求橢圓的短軸長和離心率；（2）若線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)坐標(biāo).20.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)，的面積為2.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為.若四邊形為正方形，求的值.21.對于正整數(shù)集合，如果對于M中的任意兩個元素x，y，都有，則稱M為“好集合”.（1）試判斷集合和是否為“好集合”？并說明理由；（2）若集合，證明：C不可能是“好集合”；（3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素個數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）1.【答案】D【分析】先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角.【詳解】由題意得直線的斜率為：，所以傾斜角為.故選：D.2.【答案】B【分析】令，即可求出漸近線方程．【詳解】令，解得，所以雙曲線的漸近線方程是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線的求法，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式的系數(shù)和為即可得到方程求解.【詳解】根據(jù)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，結(jié)合所有二項(xiàng)式系數(shù)的和滿足，可知，故選：A.4.【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出a的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義解出.【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓心到直線的距離為則，解得：或.由此可知，“”是“或”的充分不必要條件，故選：A.5.【答案】D【分析】設(shè)出方程，代入坐標(biāo)即可求解.【詳解】設(shè)曲線的方程為：，代入點(diǎn)得：①，代入點(diǎn)得：②，聯(lián)立①②解得：，，所以曲線為雙曲線，其方程為：，離心率，故選：D.6.【答案】C【分析】根據(jù)正四面體的性質(zhì)，每條棱都相等，相對的棱互相垂直，可借助中位線，平移直線AC，得到異面直線EF與AC所成的角，再放入直角三角形中，即可求得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)G,連接,因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以,所以為異面直線與所成的角，因?yàn)樗拿骟w為正四面體，,過點(diǎn)A作平面,垂足為O，則O為三角形的重心，,因?yàn)?平面,又平面,,在直角三角形中，，故選：C7.【答案】C【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項(xiàng)工作，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項(xiàng)工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.【答案】C【分析】過點(diǎn)A向x軸作垂線、垂足為E．設(shè)準(zhǔn)線交x軸于D.利用幾何法求出直角三角形的三邊，利用勾股定理即可求解.【詳解】如圖示：過點(diǎn)A（不妨設(shè)為第一象限點(diǎn)）向x軸作垂線、垂足為E．設(shè)準(zhǔn)線交x軸于D.因?yàn)樗倪呅蜛BOF為等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由拋物線的定義可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故選：C9.【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，，由兩向量平行與垂直求解參數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A，B；利用空間向量法求解點(diǎn)到平面的距離，求解體積即可判斷選項(xiàng)C；求解向量，，由夾角余弦值即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，所以，，，設(shè)，所以，，當(dāng)時，無解，故A錯誤；當(dāng)時，即，解得，故B正確；，，底面正方形中，正方體中平面，平面，所以，，所以平面故平面的法向量為，，點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積為為定值，故C正確；，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以是直角三角形或鈍角三角形，故D錯誤.故選：AD10.【答案】B【分析】先設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合，化簡計(jì)算得出軌跡方程.【詳解】如圖建系，設(shè)正方體邊長為，則，可得，又因?yàn)?，所以，化簡得，即得，動點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分.故選：B.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11.【答案】24【分析】求出給定二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)作答.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式是，由，得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：2412.【答案】5【分析】利用拋物線定義即可得，即可求出.【詳解】根據(jù)題意可知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，連接，如下圖所示：由拋物線定義可得.故答案為：13.【答案】【分析】利用圓的半徑為1，弦長為2，可知直線過圓心，從而即可求解.【詳解】圓的方程可整理為：，可知該圓的圓心為，半徑為，由截直線所得弦長為2，可知該直線過圓心，即，故答案為：.14.【答案】【分析】由題易得，點(diǎn)在雙曲線的右支上，求得雙曲線右支方程，將點(diǎn)代入方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的面積.【詳解】因?yàn)?，故點(diǎn)在雙曲線的右支上，而半焦距，實(shí)半軸長，故雙曲線右支的方程為：，將代入方程得，即，解得：，由于雙曲線具有對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，即，所以.故答案為：.15.【答案】①②④【分析】①將換成，方程不變可得；②先由得，進(jìn)而根據(jù)整點(diǎn)的概念分別為時是否為整點(diǎn)即可；③假設(shè)點(diǎn)存在，則，，設(shè)，換元后利用導(dǎo)數(shù)分析即可；④結(jié)合圖象分析即可.【詳解】①將換成，方程不變，所以方程關(guān)于軸對稱，故①正確；②由得，故，故，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，不是整點(diǎn)當(dāng)時，，不是整點(diǎn)；當(dāng)時，，故整點(diǎn)為共4個，故②正確③假設(shè)曲線上存在一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離小于1，則，得得，設(shè)，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，即，這與矛盾，故曲線上不存在一點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離小于1，故③錯誤；④如圖，其中點(diǎn)，由①可知曲線關(guān)于軸對稱，故只需考慮軸上方的面積大于2即可，當(dāng)時，由得，直線的方程為，當(dāng)時，，，故2x-x-x2故，即，故當(dāng)時，的圖象在即直線的上方，當(dāng)時，直線的方程為，，因，故，故，，故2x-x-1故當(dāng)時的圖象在即直線的上方，故當(dāng)時曲線與軸所圍成的區(qū)域面積大于的面積，即曲線所圍成區(qū)域的面積大于，又，故曲線所圍成區(qū)域的面積大于4，故④正確，故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題③關(guān)鍵是先表示出來到點(diǎn)的距離小于1為，整理得，根據(jù)題意需存在使不等式成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可判斷.三、解答題（本大題共6小題，共85分.）16.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】(1)先證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值為即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，平面平面，所以平面，又平行四邊形中?平面平面，所以平面，又,平面,所以平面平面，又平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫠詢蓛上嗷ゴ怪保⑷鐖D所示空間直角坐標(biāo)系.記平面的一個法向量為故，取故，，故直線與平面所成角的正弦值為.17.【答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線過的點(diǎn)坐標(biāo)，代入直接求解即可；（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時，方程為，代入即可求解，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，利用向量求夾角，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題知，，解得，所以拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為.【小問2詳解】設(shè)，如圖，當(dāng)直線斜率不存在時，方程為，則代入，求得，所以和是等腰直角三角形，所以；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，則聯(lián)立，得，所以，，且，又，所以，綜上，.18.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）由平面，底面為正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量求解即可；（3）由（2）可知平面的一個法向量，然后由空間距離的求解公式求解即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平?【小問2詳解】由（1）可知平面，底面為正方形，所以分別以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為：，，，令，，，所以，由于平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.【小問3詳解】由（2）可知平面的一個法向量為：，而，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.【答案】（1）短軸長，離心率（2）或【分析】（1）由左焦點(diǎn)得到，過點(diǎn)，代入橢圓方程，結(jié)合，聯(lián)立可求得的值，進(jìn)而得到短軸長和離心率；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線的方程，分別求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)為點(diǎn)解得，代入橢圓方程得到點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，所以，即，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，聯(lián)立，解得，所以橢圓的短軸長，離心率.【小問2詳解】由（1）知，橢圓方程為，所以，因?yàn)榕c點(diǎn)不重合，所以，所以直線的斜率，直線，過點(diǎn)且與軸垂直的直線方程為，聯(lián)立得，所以，同理直線，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)是點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，離心率（為橢圓半焦距），三角形面積公式，再結(jié)合橢圓中來確定橢圓方程.（2）先求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)來求解的值.【小問1詳解】已知，，，則的面積，解得.因?yàn)殡x心率，，所以.又因?yàn)?，，，所?所以橢圓的方程為.【小問2詳解】將直線與橢圓聯(lián)立得.根據(jù)韋達(dá)定理，，.計(jì)算，從而得到線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.然后求線段垂直平分線方程：垂直平分線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可得垂直平分線方程為，進(jìn)而得到點(diǎn).最后根據(jù)四邊形為正方形時：則展開得進(jìn)一步化簡為將，代入得，，整理得，解得.21.【答案】（1）集合A不是“好集合”，集合B是“好集合”，理由見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）直接根據(jù)“好集合”的定義判斷即可；（2）先將集合中的元素分為10個集合，再結(jié)合“好集合”的定義證明即可；（3）根據(jù)“好集合”的定義可以得到D中的任意兩個不同的元素x，y，若，都有，進(jìn)而得到的最小值為3，進(jìn)而求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，因?yàn)?，所以集合A不是“好集合”，因?yàn)?，，，，，，，所以集合B是“好集合”.【小問2詳解】證明：將集合中的元素分為如下10個集合，，，，，，，，，，，所以從集合中取12個元素，則前8個集合至少要選10個元素，所以必有2個元素取自前8個集合中的同一集合，即存在兩個元素的差的絕對值不大于2，所以C不可能是“好集合”.【小問3詳解】因?yàn)镈是“好集合”，