《備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第2章 第3講

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第二章第3講函數(shù)的奇偶性與周期性【考綱導(dǎo)學(xué)】1．結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2．會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3．了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有______________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于_______對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于_______對稱f(－x)＝f(x)

y軸f(－x)＝－f(x)

原點(diǎn)2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有______________，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_____________，那么這個__________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)

最小的正數(shù)最小正數(shù)【答案】D【答案】D【答案】A【答案】15．(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R內(nèi)的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則x<0時(shí)，f(x)＝__________.【答案】x(1－x)1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對定義域內(nèi)的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，誤用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)去否定函數(shù)在整個定義域上的奇偶性．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?：(1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(

)(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．(

)(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．(

)(4)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)也是偶函數(shù)．(

)(5)若T為函數(shù)f(x)的一個周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√課堂考點(diǎn)突破2函數(shù)奇偶性的判斷

判斷下列函數(shù)的奇偶性：【規(guī)律方法】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．【答案】(1)D

(2)C【解析】(1)f(x)＋f(－x)＝0，則f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函數(shù)，A，C中f(x)的定義域都不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意；易知B為偶函數(shù)，D為奇函數(shù)．故選D．(2)依題意得對任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A錯；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B錯；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C正確；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D錯．故選C．函數(shù)的周期性

(1)定義在R內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時(shí)，f(x)＝x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝________.【答案】(1)339

(2)2.5【答案】A

函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【考向分析】函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們結(jié)合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．常見的考向：(1)奇偶性的應(yīng)用；(2)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；(3)周期性與奇偶性結(jié)合；(4)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合．奇偶性的應(yīng)用

(1)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(

)A．4 B．3C．2 D．1【答案】(1)B

(2)－1單調(diào)性與奇偶性結(jié)合

(1)(2018年長沙模擬)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,8]上是減函數(shù)且最小值為6，則f(x)在區(qū)間[－8，－2]上是(

)A．增函數(shù)且最小值為－6 B．增函數(shù)且最大值為－6C．減函數(shù)且最小值為－6 D．減函數(shù)且最大值為－6【答案】(1)D

(2)D周期性與奇偶性結(jié)合【答案】A

單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合

已知定義在R內(nèi)的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(

)A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)【答案】D

【解析】因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R內(nèi)的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R內(nèi)是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)．所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故選D．【規(guī)律方法】函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略：(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【答案】(1)D

(2)C【規(guī)律方法】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的注意點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．【答案】(1)C

(2)2課后感悟提升31條規(guī)律——奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件.2個性質(zhì)——奇、偶函數(shù)的兩個性質(zhì)(1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3條結(jié)論——與周期性和對稱性有關(guān)的三條結(jié)論(1)若對于R內(nèi)的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于R內(nèi)的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，則y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)．(3)若對于定義域內(nèi)的任意x都有f(x＋a)＝－f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2|a－b|.【答案】A

2．(2018年新課標(biāo)Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

)A．－50 B．0C．2 D．50【答案】C

【解析】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1)，f(0)＝0，則f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．因?yàn)閒(1)＝2，所以f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝