《 備考指南 數學 》課件-第7章 第3講

數列第七章第3講等比數列及其前n項和課標要求考情概覽1．理解等比數列的概念．2．掌握等比數列的通項公式與前n項和公式．3．能在具體的問題情境中發(fā)現數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．4．體會等比數列與指數函數的關系．考向預測：從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的重點．預測本年度高考將會以等比數列的通項公式及其性質、等比數列的前n項和為考查重點，也可能將等比數列的通項、前n項和及性質綜合考查，此外，還可能會與等差數列綜合考查．題型以客觀題或解答題的形式呈現，屬中檔題型．學科素養(yǎng)：主要考查數學抽象、邏輯推理、數學運算的素養(yǎng)欄目導航01基礎整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．等比數列的概念(1)如果一個數列從第____項起，每一項與它的前一項的比等于________非零常數，那么這個數列叫做等比數列．(2)如果三個數a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的__________，其中G＝______．

2

同一個q

等比中項2．等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝________．通項公式的推廣：an＝amqn－m．a1qn－1

(3)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數列(此時{an}的公比q≠－1)．【特別提醒】1．由an＋1＝qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0．2．在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形導致解題失誤．1．(教材改編)對任意等比數列{an}，下列說法一定正確的是

(

)A．a1，a3，a9成等比數列 B．a2，a3，a6成等比數列C．a2，a4，a8成等比數列 D．a3，a6，a9成等比數列【答案】D2．(2021年重慶模擬)已知{an}為正項等比數列，且a2a4＝4，設Tn為該數列的前n項積，則T5＝ (

)A．8

B．16

C．32

D．64【答案】C3．(2021年甲卷)記Sn為等比數列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝ (

)A．7

B．8

C．9

D．10【答案】A【答案】AD判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數)的數列{an}為等比數列．

(

)(2)G為a，b的等比中項?G2＝ab． (

)(3)如果數列{an}為等比數列，bn＝a2n－1＋a2n，則數列{bn}也是等比數列． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×重難突破能力提升2示通法熟練掌握等比數列的通項公式及前n項和公式，尤其是運用等比數列前n項和公式中注意公比是否為1，同時注意整體轉化思想在解題中的運用．等比數列的基本運算(2)(2021年江西模擬)已知數列{an}為等比數列，公比為q，若a5＝4(a4－a3)，則q＝ (

)A．4

B．3

C．2

D．1【答案】(1)C

(2)C【解析】(1)由a4－a3＝36，a2＝6，則有q2－q＝6，解得q＝3或q＝－2(舍去)，又由a2＝6，則a1＝2．故選C．(2)由題意，得a1

q4＝4(a1

q3－a1

q2)，解得q＝2．故選C．【答案】(1)D

(2)B(2)(2021年貴陽月考)設單調遞增等比數列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，則正確的是 (

)A．Sn＝2n－1－1

B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1

D．Sn＝2n－1【答案】(1)C

(2)D【變式精練】1．設等比數列{an}的公比為整數，前n項和為Sn，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則S8＝ (

)A．510

B．508

C．254

D．252(3)(2021年松原模擬)(多選)在數學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學生構造新數列：現有一個每項都為1的常數列，在此數列的第n(n∈N*)項與第n＋1項之間插入首項為2，公比為2的等比數列的前n項，從而形成新的數列{an}，數列{an}的前n項和為Sn，則 (

)A．a2021＝25

B．a2021＝26C．S2021＝3×263＋59

D．S2021＝264－3【答案】(1)A

(2)B

(3)ADS2021＝1×63＋62×21＋61×22＋60×23＋…＋1×262＋21＋22＋23＋24＋25＝125＋62×21＋61×22＋60×23＋…＋1×262，令T＝62×21＋61×22＋60×23＋…＋1×262，則2T＝62×22＋61×23＋60×24＋…＋1×263,2T－T＝－62×21＋22＋23＋24＋…＋262＋1×263，T＝264－128，所以S2021＝264－3，故C錯誤，D正確．故選AD．等比數列的判定與證明(1)證明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，又{an}的各項都為正數，所以數列{an＋an＋1}是公比為3的等比數列．【解題技巧】等比數列的4種常用判定方法

[提醒](1)前兩種方法是判定等比數列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定；(2)若要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數列即可．

(2020年Ⅰ卷)設{an}是等比數列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝

(

)A．12

B．24

C．30

D．32等比數列的性質及應用【答案】(1)D

(2)C【解題技巧】1．在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．2．在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝________．【答案】(1)D

(2)2素養(yǎng)微專直擊高考3對于數列通項公式的求解，除了我們已經學習的方法以外，根據所給遞推公式的特點，還有以下幾種構造方式．類型一形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型(1)若c＝1，數列{an}為等差數列；(2)若d＝0，數列{an}為等比數列；(3)若c≠1且d≠0，數列{an}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．思想方法——構造新數列因為a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項為2，公比為2的等比數列．所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1．當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿足此式，故an＝2n－1(