2024年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2024年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．（3分）下列實(shí)數(shù)中滿足不等式x＞3的是（）A．（﹣2）3 B．π C． D．2．（3分）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時(shí)非常美麗，深受人們喜愛，它的圖案具有對稱美，如圖，蝴蝶圖案關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為M1，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）3．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A．x＜0 B．x≤0 C．x＞0 D．x≥04．（3分）如圖是某幾何體的展開圖，則此幾何體是（）A．五棱柱 B．五棱錐 C．六棱柱 D．六棱錐5．（3分）將一把折扇展開，可抽象成一個(gè)扇形，若該扇形的半徑為2，弧長為，則扇形的圓心角大小為（）A．30° B．60° C．90° D．120°6．（3分）如圖，每只蜻蜓有6條腿，2對翅膀，每只蟬有6條腿，1對翅膀．現(xiàn)有若干蜻蜓和蟬，共有42條腿，10對翅膀，則蜻蜓和蟬的只數(shù)分別是（）A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，27．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，△ABD的面積為5，則DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．58．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，連接BE，點(diǎn)H在BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，當(dāng)△AGH的周長最小時(shí)，AH+GH＝（）A． B． C．12 D．1310．（3分）如圖，電路上有S1，S2，S3，S4四個(gè)斷開的開關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L，將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為（）A． B． C． D．11．（3分）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)數(shù)為2，第二行有2個(gè)數(shù)為4，6，…第n行有n個(gè)數(shù)……．探究其中規(guī)律，你認(rèn)為第n行從左至右第3個(gè)數(shù)不可能是（）A．36 B．96 C．226 D．42612．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，則BF＝（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上。13．（4分）因式分解：2x2+8x+8＝．14．（4分）中國是茶葉的故鄉(xiāng)，產(chǎn)量多年位居世界第一，據(jù)統(tǒng)計(jì)：2023年我國全年茶葉產(chǎn)量為355萬噸，將數(shù)據(jù)3550000用科學(xué)記數(shù)法表示為．15．（4分）已知單項(xiàng)式3a2b與﹣2a2bn﹣1是同類項(xiàng)，則n＝．16．（4分）如圖，直線a∥b，點(diǎn)O在b上，以O(shè)為圓心畫弧，交a于不同兩點(diǎn)A，B．若θ＝44°，則∠AOB＝°．17．（4分）超市銷售某種禮盒，該禮盒的原價(jià)為500元．因銷量持續(xù)攀升，商家在3月份提價(jià)20%，后發(fā)現(xiàn)銷量銳減，于是經(jīng)過核算決定在3月份售價(jià)的基礎(chǔ)上，4，5月份按照相同的降價(jià)率r連續(xù)降價(jià)．已知5月份禮盒的售價(jià)為486元，則r＝，18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，△ADE的內(nèi)切圓與DE相切于點(diǎn)G，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接BF．當(dāng)點(diǎn)E恰為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）時(shí)，且，，則cos∠ABF＝．三、解答題：本大題共7個(gè)小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（16分）（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：，其中．20．（12分）某市射擊隊(duì)將從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全省比賽，現(xiàn)對他們進(jìn)行了6次測試，成績（單位：環(huán)）統(tǒng)計(jì)如下：甲7979106乙58910106（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)填空：甲的平均成績是環(huán)，乙的平均成績是環(huán)；甲成績的中位數(shù)是環(huán)，乙成績的眾數(shù)是環(huán)．（2）求甲、乙測試成績的方差；（3）你認(rèn)為推薦誰參加全省比賽更合適，請說明理由．21．（12分）為進(jìn)一步美化環(huán)境，提升生活品質(zhì)，某部門決定購買甲、乙兩種花卉布置公園走廊．預(yù)算資金為2700元，其中1200元購買甲種花卉，其余資金購買乙種花卉．已知乙種花卉每株的價(jià)格是甲種花卉每株價(jià)格的1.2倍，且購買乙種花卉的數(shù)量比甲種花卉多2株．（1）求甲、乙兩種花卉每株的價(jià)格；（2）購買當(dāng)日正逢花卉促銷，甲、乙兩種花卉均按原價(jià)八折銷售．已知該部門需購買甲、乙兩種花卉共120株，總費(fèi)用不超預(yù)算，其中甲花卉的資金不超過1000元．求購買這兩種花卉有幾種方案？并計(jì)算所需費(fèi)用的最小值．22．（12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上（與端點(diǎn)不重合），線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF的位置，點(diǎn)F恰好落在線段CD上，F(xiàn)H⊥AC，垂足為H．（1）求證：△OBE≌△HEF；（2）設(shè)OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．23．（12分）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，邊AB在x軸上，∠BAD＝60°，B（﹣1，0），點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上．（1）求點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；（2）將菱形ABCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，邊BC與函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F到x軸的距離．24．（12分）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD⊥AB，垂足為E，直徑BF交CD于點(diǎn)G，連接AF，AD．若AB＝AC＝5，．（1）證明：四邊形ADGF為平行四邊形；（2）求的值；（3）求sin∠CAD的值．25．（14分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC和BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，連接AP，BP和CP．（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在拋物線上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P1，連接AP1，CP1，記△ACP1的面積為S1，記△BCP的面積為S2，若滿足S1＝3S2，求△ABP的面積；（3）在（2）的條件下，試探究在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2024年四川省綿陽市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號1234567891011答案BACCDABDBDC題號12答案D一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．（3分）下列實(shí)數(shù)中滿足不等式x＞3的是（）A．（﹣2）3 B．π C． D．【解答】解：A、（﹣2）3＝﹣8＜3，故此選項(xiàng)不符合題意；B、π＞3，故此選項(xiàng)符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（3分）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時(shí)非常美麗，深受人們喜愛，它的圖案具有對稱美，如圖，蝴蝶圖案關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為M1，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），則點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）【解答】解：由題意得，點(diǎn)M（﹣2，﹣3）與點(diǎn)M1關(guān)于y軸對稱，∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故選：A．3．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A．x＜0 B．x≤0 C．x＞0 D．x≥0【解答】解：由題可知，x≥0且x≠0，解得x＞0．故選：C．4．（3分）如圖是某幾何體的展開圖，則此幾何體是（）A．五棱柱 B．五棱錐 C．六棱柱 D．六棱錐【解答】解：這個(gè)幾何體是六棱柱．故選：C．5．（3分）將一把折扇展開，可抽象成一個(gè)扇形，若該扇形的半徑為2，弧長為，則扇形的圓心角大小為（）A．30° B．60° C．90° D．120°【解答】解：由題意，∵弧長，且r＝2，∴n＝120°．故選：D．6．（3分）如圖，每只蜻蜓有6條腿，2對翅膀，每只蟬有6條腿，1對翅膀．現(xiàn)有若干蜻蜓和蟬，共有42條腿，10對翅膀，則蜻蜓和蟬的只數(shù)分別是（）A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2【解答】解：設(shè)蜻蜓是x只，蟬是y只，由題意得：，解得：，故選：A．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E，△ABD的面積為5，則DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：過D作DF⊥AB于F，如圖：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∵△ABD的面積為5，∴AB?DF＝5，∵AB＝5，∴DF＝2，∴DE＝2；故選：B．8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+2＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2+2）＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣8＝﹣8k﹣4≥0，∴k．故選：D．9．（3分）如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，連接BE，點(diǎn)H在BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，當(dāng)△AGH的周長最小時(shí)，AH+GH＝（）A． B． C．12 D．13【解答】解：如圖，要使△AGH的周長的最小，即AH+HG最小，利用正六邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)G關(guān)于BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G′，連接AG′交BE于點(diǎn)H'，連接AE，H′G，那么有H'G＝H'G′，AH'+GH'＝AG′最小，∵∠F＝120°，AF＝EF＝2，∴AE＝2，∵∠AEG′＝90°，EG′DE＝1，∴AG′，故當(dāng)△AGH的周長最小時(shí)，AH+GH．故選：B．10．（3分）如圖，電路上有S1，S2，S3，S4四個(gè)斷開的開關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L，將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，所有等可能的結(jié)果有：（S1，S2），（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S3，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共11種，其中能讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有：（S1，S3），（S1，S4），（S2，S3），（S2，S4），（S1，S2，S3），（S1，S2，S4），（S1，S3，S4），（S2，S3，S4），（S1，S2，S3，S4），共9種，∴將這些開關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為．故選：D．11．（3分）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)數(shù)為2，第二行有2個(gè)數(shù)為4，6，…第n行有n個(gè)數(shù)……．探究其中規(guī)律，你認(rèn)為第n行從左至右第3個(gè)數(shù)不可能是（）A．36 B．96 C．226 D．426【解答】解：由題知，2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6，…，所以第n行的最后一個(gè)數(shù)可表示為n（n+1），則從第三行起，第n行的左起的第3個(gè)數(shù)可表示為：n（n﹣1）+6（n為大于等于2的整數(shù)）．因?yàn)?×6+6＝36，故A選項(xiàng)不符合題意．因?yàn)?×10+6＝96，故B選項(xiàng)不符合題意．因?yàn)?4×15+6＝216，15×16+6＝246，且216＜226＜246，故C選項(xiàng)符合題意．因?yàn)?0×21+6＝426，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．12．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，0°＜∠A＜90°，AD∥CF，AF＝CF＝2AD＝2，AD＝DE，CD⊥DE，則BF＝（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，BG⊥CD，EI⊥BG，DH⊥AE，G、I、H分別為垂足．根據(jù)題意AD＝DE＝1，則△ADE為等腰三角形．∴△ADH≌△EDH，∴AH＝HE，∵AD∥CF，∴∠DAH＝∠CFB．在△ADH和△FCB中，∠DAH＝∠CFB，∠DHA＝∠CBF．∴△ADH∽△FCB，∴．∴AE＝2AH＝FB．易得四邊形DEIG為矩形，則GI＝DE＝1．∵BG⊥CD，DE⊥CD，∴BG∥DE，∴∠EBI＝∠DEH．在△EBI和△DEH中，∠EBI＝∠DEH，∠DHE＝∠EIB，∴△EBI∽△DEH，∴．∵BE＝EF+FB＝EF+AE＝AF＝2，∴BI＝2HE＝FB，∴BG＝BI+GI＝FB+1．在△EBI和△BCG中，∠EBI＝90°﹣∠CBG＝∠BCG，∠EIB＝∠BGC，∴△EBI∽△BCG，∴，∵EI2＝BE2﹣BI2＝BE2﹣FB2，BC2＝FC2﹣FB2，BE＝FC＝2，BG＝FB+1，∴，解得FB．故答案為：D．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．將答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上。13．（4分）因式分解：2x2+8x+8＝2（x+2）2．【解答】解：2x2+8x+8＝2（x2+4x+4）＝2（x+2）2．故答案為：2（x+2）2．14．（4分）中國是茶葉的故鄉(xiāng)，產(chǎn)量多年位居世界第一，據(jù)統(tǒng)計(jì)：2023年我國全年茶葉產(chǎn)量為355萬噸，將數(shù)據(jù)3550000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.55×106．【解答】解：3550000＝3.55×106．故答案為：3.55×106．15．（4分）已知單項(xiàng)式3a2b與﹣2a2bn﹣1是同類項(xiàng)，則n＝2．【解答】解：由同類項(xiàng)定義可知n﹣1＝1，解得n＝2．故答案為：2．16．（4分）如圖，直線a∥b，點(diǎn)O在b上，以O(shè)為圓心畫弧，交a于不同兩點(diǎn)A，B．若θ＝44°，則∠AOB＝92°．【解答】解：∵點(diǎn)A和點(diǎn)B都在以點(diǎn)O為圓心的圓上，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵a∥b，且θ＝44°，∴∠OBA＝θ＝44°，∴∠OAB＝∠OBA＝44°，∴∠AOB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．故答案為：92．17．（4分）超市銷售某種禮盒，該禮盒的原價(jià)為500元．因銷量持續(xù)攀升，商家在3月份提價(jià)20%，后發(fā)現(xiàn)銷量銳減，于是經(jīng)過核算決定在3月份售價(jià)的基礎(chǔ)上，4，5月份按照相同的降價(jià)率r連續(xù)降價(jià)．已知5月份禮盒的售價(jià)為486元，則r＝10%，【解答】解：根據(jù)題意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486，解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）．所以4，5月份兩個(gè)月平均降價(jià)率為10%．即r＝10%．故答案為：10%．18．（4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，△ADE的內(nèi)切圓與DE相切于點(diǎn)G，將△ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接BF．當(dāng)點(diǎn)E恰為AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）時(shí)，且，，則cos∠ABF＝．【解答】解：如圖，設(shè)△ADE內(nèi)切圓圓心為O，連接OG，過O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過O作OK⊥AD于點(diǎn)K，則四邊形OKAH為正方形，根據(jù)切線長定理可得DK＝DG1，EH＝EG1，設(shè)⊙O半徑為r，則OK＝OG＝OH＝r，∴AK＝AH＝r，∴AD＝DK+AK1+r，AE1+r，在Rt△ADE中，DE＝DG+EG＝2，AD2+AE2＝DE2，即（1+r）2+（1+r）2＝（2）2，解得r＝3或r＝﹣3（舍去），∴AD＝4，AE＝2，∴AB＝3AE＝6，∵折疊，∴DF＝AD＝4，EF＝EA＝2，∠EFD＝90°，過F作MN⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，則∠EMF＝∠DNF＝90°，∵∠DFN＝∠FEM＝90°﹣∠EFM，∴△EFM∽△FDN，∴，∴FN＝2EM．DN＝2FM，設(shè)EM＝x，則FN＝2x，∴FM＝4﹣2x，在Rt△EFM中，EM2+FM2＝EF2，即x2+（4﹣2x）2＝22，解得x或x＝2（舍去），∴EM，F(xiàn)M＝4﹣2x，∴BM＝AB﹣AE﹣EM，在Rt△BFM中，BF，∴cos∠ABF；故答案為：．三、解答題：本大題共7個(gè)小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。19．（16分）（1）計(jì)算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【解答】解：（1）＝12|1|﹣3＝12（1）﹣3＝123＝0；（2）?，當(dāng)時(shí)，原式．20．（12分）某市射擊隊(duì)將從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全省比賽，現(xiàn)對他們進(jìn)行了6次測試，成績（單位：環(huán)）統(tǒng)計(jì)如下：甲7979106乙58910106（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)填空：甲的平均成績是8環(huán)，乙的平均成績是8環(huán)；甲成績的中位數(shù)是8環(huán)，乙成績的眾數(shù)是10環(huán)．（2）求甲、乙測試成績的方差；（3）你認(rèn)為推薦誰參加全省比賽更合適，請說明理由．【解答】解：（1）甲的平均成績是（7×2+9×2+10+6）＝8（環(huán)），乙的平均成績是（5+8+9+10×2+6）＝8（環(huán)），甲成績的中位數(shù)是8（環(huán)），乙成績的眾數(shù)是10環(huán)．故答案為：8，8，8，10；（2）[（7﹣8）2×2+（9﹣8）2×2+（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝2；[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+2×（10﹣8）2+（6﹣8）2]；（3）推薦甲參加全省比賽更合適，理由如下：因?yàn)閮扇说钠骄鶖?shù)相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更穩(wěn)定，所以推薦甲參加全省比賽更合適．21．（12分）為進(jìn)一步美化環(huán)境，提升生活品質(zhì)，某部門決定購買甲、乙兩種花卉布置公園走廊．預(yù)算資金為2700元，其中1200元購買甲種花卉，其余資金購買乙種花卉．已知乙種花卉每株的價(jià)格是甲種花卉每株價(jià)格的1.2倍，且購買乙種花卉的數(shù)量比甲種花卉多2株．（1）求甲、乙兩種花卉每株的價(jià)格；（2）購買當(dāng)日正逢花卉促銷，甲、乙兩種花卉均按原價(jià)八折銷售．已知該部門需購買甲、乙兩種花卉共120株，總費(fèi)用不超預(yù)算，其中甲花卉的資金不超過1000元．求購買這兩種花卉有幾種方案？并計(jì)算所需費(fèi)用的最小值．【解答】解：（1）設(shè)甲種花卉每株的價(jià)格為x元，則乙種花卉每株的價(jià)格為1.2x元，由題意得：2，解得：x＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是原方程的解，且符合題意，∴1.2x＝1.2×25＝30，答：甲種花卉每株的價(jià)格為25元，乙種花卉每株的價(jià)格為30元；（2）設(shè)該部門需購買甲種花卉m株，則需購買乙種花卉（120﹣m）株，由題意得：，解得：45≤m≤50，∵m為正整數(shù)，∴m＝45，46，47，48，49，50，∴購買這兩種花卉有6種方案，設(shè)該部門購買甲、乙兩種花卉所需費(fèi)用為y元，由題意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880，∵﹣4＜0，∴y隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝50時(shí)，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680，答：購買這兩種花卉有6種方案，所需費(fèi)用的最小值為2680元．22．（12分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段AO上（與端點(diǎn)不重合），線段EB繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF的位置，點(diǎn)F恰好落在線段CD上，F(xiàn)H⊥AC，垂足為H．（1）求證：△OBE≌△HEF；（2）設(shè)OE＝x，求OE2﹣CF的最小值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠BOE＝90°，∵FH⊥AC，∴∠EHF＝90°＝∠BOE，∴∠BEO+∠OBE＝90°，由旋轉(zhuǎn)得：BE＝EF，∠BEF＝90°，∴∠BEO+∠FEH＝90°，∴∠OBE＝∠FEH，在△OBE和△HEF中，，∴△OBE≌△HEF（AAS）；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝2，OB＝OC，∠ACD＝45°，∵△OBE≌△HEF，∴OE＝FH＝x，EH＝OB，∴FH＝CH＝x，∴CFFHx，∴OE2﹣CF＝x2x＝（x）2，∵點(diǎn)E在線段AO上（與端點(diǎn)不重合），∴0＜x，∴當(dāng)x時(shí)，OE2﹣CF的最小值是．23．（12分）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，邊AB在x軸上，∠BAD＝60°，B（﹣1，0），點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上．（1）求點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；（2）將菱形ABCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，邊BC與函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F到x軸的距離．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，DE＝EB，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵DH⊥AB，∴AH＝BH＝2，DHAH＝2，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴OH＝OB+BH＝3，∴D（﹣3，2），C（1，2），∵DE＝EB，∴E（﹣2，），∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝2，∴反比例函數(shù)的解析式為y；（2）對于反比例函數(shù)y，當(dāng)y時(shí)，x＝2，∴當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′（2，），∴菱形向右平移了4個(gè)單位，∴B，C的對應(yīng)點(diǎn)B′（3，0），C′（5，2），∴直線B′C′的解析式為yx﹣3，由，解得x或x，∵x＞0，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，），∴點(diǎn)F到x軸的距離為．24．（12分）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，弦CD⊥AB，垂足為E，直徑BF交CD于點(diǎn)G，連接AF，AD．若AB＝AC＝5，．（1）證明：四邊形ADGF為平行四邊形；（2）求的值；（3）求sin∠CAD的值．【解答】（1）證明：∵BF是⊙O的直徑，∴∠BAF＝90°，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴CD∥AF，∴DG∥AF，∴∠AFB＝∠BGD，∵，∴∠ADC＝∠ABC，∵，∴∠ACB＝∠AFB，∴∠ADC＝∠BGD，∴AD∥GF，∴四邊形ADGF為平行四邊形；（2）解：設(shè)BE＝x，∵AB＝AC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，∵AB⊥CD，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2，∵BC＝2，∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，解得x＝2，∴BE＝2，AE＝3，∴，由（1）知，∠ADC＝∠BGD，∵∠AED＝∠BEG，∴△ADE∽△BGE，∴，∴；（3）解：過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，在Rt△BCE中，CE4，