2025屆高考數(shù)學(xué)專題十一數(shù)列求通項(xiàng)公式精準(zhǔn)培優(yōu)專練文

PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)十一數(shù)列求通項(xiàng)公式一、公式法一、公式法例1：數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以綜上．二、構(gòu)造法二、構(gòu)造法例2：已知數(shù)列滿意，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：∵，∴．又∵，∴是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為．（2）由（1）可得，解得．三、累加累乘法三、累加累乘法例3：已知數(shù)列滿意，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】．【解析】，，∴且，即，由累乘法得，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為．對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．已知數(shù)列滿意，，則（）A．1024 B．1023 C．2048 D．2047【答案】B【解析】依據(jù)題意可得，∴，∴，∴．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，第項(xiàng)滿意，則（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】時(shí)，；時(shí)，，∴，∴，解得，故選C．3．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，得，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故選D．4．在數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，將以上個(gè)等式兩邊相加可得，應(yīng)選A．5．已知數(shù)列中，，，為其前項(xiàng)和，則的值為（）A．63 B．31 C．64 D．32【答案】A【解析】由條件可得，即是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，，故選A．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，，，即，又，∴，，故應(yīng)選B．7．?dāng)?shù)列中，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，所以，故選C．8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若對(duì)隨意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由數(shù)列的遞推公式可得：，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，分組求和可得，題中的不等式即恒成立，結(jié)合恒成立的條件可得實(shí)數(shù)的取值范圍為．二、填空題9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【解析】由題意，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)椴粷M意，所以．10．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則通項(xiàng)公式．【答案】【解析】∵，∴，又，∴，由，得，兩式相減得，即，而，∴是公比為2的等比數(shù)列，∴．故答案為．11．在數(shù)列中，，，，則________．【答案】【解析】∵，∴，即，∵，，∴數(shù)列是以首項(xiàng)1，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，∴．故答案為．12．在數(shù)列中，已知，，則使得成立的正整數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，，，所以使得成立的正整數(shù)的最小值為．三、解答題13．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）為何值時(shí)，取得最大值并求其最大值．【答案】（1）；（2）時(shí)，取得最大值為．【解析】（1）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，明顯成立，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2），由，則時(shí)，取得最大值28，∴當(dāng)為4時(shí)，取得最大值，最大值28．14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】．【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，即，整理可得，，解得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴．15．已知數(shù)列，，，．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)（），求數(shù)列