高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：應(yīng)用舉例（第2課時(shí)）

1.2應(yīng)用舉例(二)

自主學(xué)習(xí)

□知識(shí)梳理

1.在△ABC中，有以下常用結(jié)論：

(l)o+b>c,b-\-c>a,c-\-a>b；

(2)。>。0o；

A-\~B兀C

(3)A+_B+C=7i,-2―=2—

(4)sin(A+B)=,cos(A+B)=,

A+BA+B

sin—2—=，cos-2—=-

兀兀

2.在銳角AABC中，A+B>2^A>2-BsinAcos30cosAsinB.

3.三角形常用面積公式

(1)5=(總表示a邊上的高)；

1

(2)S=/a0sinC==；

(3?=翳(可由正弦定理推得)；

(4)S=27?2sinA-sinBsinC(R是三角形外接圓半徑)；

(5)S=；?a+6+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).

□自主探究

在平面幾何中，平行四邊形的四邊長的平方和等于兩條對角線長的平方

和.你能利用余弦定理加以證明嗎？

對點(diǎn)講練

知識(shí)點(diǎn)一證明平面幾何有關(guān)定理

例1一條直線上有三點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)C在點(diǎn)A與3之間，P是此直線外

1、九/，八/-sin(a+份sina.sinB

一點(diǎn)，設(shè)NAPC=a,NBPC=K求證：1Cx—=二11J^+F￡r\.^

總結(jié)面積法是證明平面幾何問題的常用方法之一.面積等式S"3P=S"PC

+SABPC是證明本題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1在AA5c中,AC邊上的角平分線5。交AC邊于點(diǎn)。求證:正

￡)C

AD

=DC-

知識(shí)點(diǎn)二計(jì)算平面圖形中線段的長度

例2如圖所示,

AB

已知在四邊形A3CD中，ADLCD,AD=1Q,AB=14,ZBDA=6Q°,ZBCD

=135°,求3C的長.

總結(jié)在解三角形時(shí)，有些復(fù)雜的問題常常需栗將正弦定理、余弦定理交替

使用，盡管有時(shí)不是直接求出結(jié)果，但為了過渡，也是很有必栗的，本例先求

3。就起到了這樣的作用.

變式訓(xùn)練2已知△ABC,角A、B、C所對的邊長分別為a,b,c,求證：

△ABC中，a邊上的中線MA=^2b2+2c2—a2.

知識(shí)點(diǎn)三計(jì)算平面圖形的面積

例3

B

,A

c'--------------b

如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1,ZBAD=0,而△BCD是

正三角形.

(1)將四邊形ABCD的面積S表示為6的函數(shù)；

(2)求S的最大值及此時(shí)。角的值.

總結(jié)本題將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問

題，是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

變式訓(xùn)練3已知圓內(nèi)接四邊形A3CD的邊長43=2,30=6,CD=DA=4,

求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積.

1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形形式，利用三角公式解有關(guān)三角形中

的三角函數(shù)問題.

2.利用正弦定理、余弦定理解決幾何問題時(shí)，關(guān)鍵在于找出圖形中的邊角

的關(guān)系式，即將有關(guān)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，再利用正弦定理、

余弦定理求出有關(guān)量.

課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1.△ABC的兩邊長分別為2,3,其夾角的余弦值為;，則其外接圓的直徑為

（）

A速B嶇C呼D9、歷

2.在△ABC中，A3=7,AC=6,M是3c的中點(diǎn)，AM=4,則3C等于（）

ARB.V106C.y[69D，V154

3.在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，如果20=a+c,ZB

3

=30°,△ABC的面積為5,那么b等于（）

B.1+73D.2+73

4.平行四邊形中，AC=y[65,BD=夜,周長為18,則平行四邊形的面積

是（）

A.16B.17；C.18D.18.53

7

5.在△ABC中，已知。2—秘一2/=0,a=\[6,cosA=[,則△ABC的面積

O

5為（）

B.A/15

Cr^-D.6\[3

題號(hào)12345

答案

二、填空題

6.AABC中，已知NA=60。，AB：AC=8：5,面積為1加，則其周長為

7.鈍角三角形的三邊為a,。+1,a+2,其最大角不超過120。，則。的取

值范圍是.

8.已知等腰三角形的底邊長為6,一腰長為12,則它的內(nèi)切圓面積為

三'解答題

9.

已知四邊形A3CD中，AB=2,BC=CD=4,DA=6,且ND=60。，試求四

邊形A3CD的面積.

10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,且acosB=3,

bsinA=4.

(1)求邊長a；

(2)若5c的面積S=10,求△ABC的周長/.

§1.2應(yīng)用舉例（二）

知識(shí)梳理

1.(2)A>BsinA>sinB(4)s%C—cosC

CC

cos5sin2

2.><

3.(l)^aha(T^acsinB^bcsinA

自主探究

證明在ABAD內(nèi)：

BD2=AB2+AD2-2AB-ADco5ZBAD

在AABC內(nèi)：AC2=AB2+BC2-2ABBCCO5ZABC

VZABC+ZBAD=180°,

cosNABC+cosNBAD=0.

BD2+AC2=2AB2+AD2+BC2,

即：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.

對點(diǎn)講練

例1證明,.,SAABP=SAAPC+SABPC

.,.|pAPB5/n(a+p)

1,1

=]PAPCs沅a+'PBPCs%p

sinasin「

兩邊同除以］PA.PB.PC,得一飛巴

PBPA,

.sin(a+0)sinasin0

二~PC-PBPA,

變式訓(xùn)練1證明如圖所示，在AABD中，利用正弦定理，而

s%NADB小

szRNABD,①

在ACBD中，利用正弦定理,

BCsi/NBDC所

CD=5OTZDBC?

：BD是角B的平分線，.\ZABD=ZCBD,

又：ZADB+ZCDB=180°,

/.sinNADB=sinNCDB,

所以①一②，得票=器?即器=塞成立?

例2解設(shè)BD=x，在4ABD中，

由余弦定理有

AB2=BD2+AD2-2ADBDC^ZADB,

即142=X2+102—20XCOS60°,

/.x2—10x—96=0,

/.x=16(x=—6舍去)，即BD=16.

在aBCD中，

i--r項(xiàng)BC_______BD

由正弦正理S沅NCDB~sinZBCD'

I6sin30°

=8A/2.

/.BC=sin135°

變式訓(xùn)練2證明如圖所示:

A

BM=MC=1.

在AABM中，由余弦定理得：

c2=MA2+陟-2MAG)COSNAMB.

在AACM中，由余弦定理得：

b2=MA2+映-2MAecosZAMC

"：cosZAMB+cosZAMC=0,

a2

以上兩式相加,得：b2+c2=2MA2+y.

即MA2=^b2+1c2—^a2,

MA=^\/2b2+2c2—a2.

例3解(l)AABD的面積

Si=；X1X1XsinQ=^sin0,

由于ABDC是正三角形，所以ABDC的面積S2=￥

而在AABD中，由余弦定理可知：

BD2=12+12-2X1X1XCOS0=2—2COS6.

一is

于是四邊形ABCD的面積S=1s%e+2-(2—2cos9),

:.S=乎+§加(°—才,0<0<7T.

(2)由S=^^+si〃(。一T及°<。<乃，

當(dāng)o-U時(shí)，即0=知時(shí)，S取得最大值1+坐

變式訓(xùn)練3解

A

連接BD,則四邊形面積

S=SAABD+SACBD=]AB-ADS%A+]BCCDS%C.

VA+C=180°,：.sinA=sinC.

.*.S=|(ABAD+BCCD)-5mA=16sinA.

由余弦定理：在ABD中，

BD2=22+42-2-2-4CO5A=20—16cosA,

在4CDB中,BD2=52—48cosC,

20—16cosA=52—48cosC.

又cosC=-cosA,

cosA=—A=120°.S=16s沅A=84.

課時(shí)作業(yè)

1.B2.B3.B4.A5.A

6.20

解析設(shè)AB=8k,AC=5k,k>0,

則S=|AB-AC-5znA=10V3k2=10^3.

/.k=l,AB=8,AC=5,

由余弦定理：BC2=AB2+AC2-2ABACcraA

=82+52-2X8X5X1=49.

.?.BC=7,

??.周長為AB+BC+CA=20.

7.&Wa<3

a+(a+l)>a+2

a2+*S(a+l)2-(a+2)2<03

解析由q1,解得5Wa<3.

a2+(a+l)2—(a+2)2>

\-2-

2a(a+l)

解析不妨設(shè)a=6,b=c=12,由余弦定理得:

b?+c2—a?122+122—627

cosA=_2bc~—2X12X12=8，

由/(a+b+c>r=/bcs%A

傳「二5?

?-?os內(nèi)切圓一_2—