高中數(shù)學(xué)講義微專題94 極坐標與參數(shù)方程

微專題94極坐標與參數(shù)方程

極坐標與參數(shù)方程在高考中常以填空或選擇的形式出現(xiàn)，在知識上結(jié)合解析幾何，考查

學(xué)生曲線方程的轉(zhuǎn)化能力，以及解析幾何的初步技能。題目難度不大，但需要學(xué)生能夠快速

熟練的解決問題

一、基礎(chǔ)知識：

（一）極坐標：

1、極坐標系的建立：以平面上一點為中心（作為極點），由此點引出一條射線，稱為極軸，

這樣就建立了一個極坐標系

2、點坐標的刻畫：用一組有序?qū)崝?shù)對（P,。）確定平面上點的位置，其中0代表該點到極點的

距離，而。表示極軸繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)至過該點時轉(zhuǎn)過的角度，通常：夕>0,6w[0,2?）

3、直角坐標系與極坐標系坐標的互化：如果將極坐標系的原點與直角坐標系的原點重合，極

軸與x軸重合，則同一個點可具備極坐標（夕,。）和直角坐標（羽y）,那么兩種坐標間的轉(zhuǎn)化公

X=PCOS0

式為：\y=psm9,由點組成的直角坐標方程與極坐標方程也可按照此法則進行轉(zhuǎn)化，例

p2=x2+y2

如：極坐標方程夕cosd+夕sing=l=>x+y=1（在轉(zhuǎn)化成x,y時要設(shè)法構(gòu)造

夕cos。,夕sin。,然后進行整體代換即可）

（二）參數(shù)方程：

1、如果曲線廠（％,y）=0中的變量均可以寫成關(guān)于參數(shù)f的函數(shù)<:（，那么

P=g"）

x=f（t）

\（就稱為該曲線的參數(shù)方程，其中f稱為參數(shù)

卜=g”）

2、參數(shù)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化：消參法

,,x=t+3,.

（1）代入消參：1=y=2+3（x—3）

[y=2+3t、）

（2）整體消參：<由=/+/+2可得：x2=y+2

（3）平方消參：利用5蘇。+852。=1消去參數(shù)

—=cos0

x=3cose3x2y2

例如:=n—+—=1

y=2sin694

—=sin

12

3、常見圖形的參數(shù)方程：

(1)圓：(%—〃)+(y—功=，的參數(shù)方程為：J,。￡0,2乃)，其中。為

參數(shù)，其幾何含義為該圓的圓心角

(2)橢圓：7+R=l(a>b>0)的參數(shù)方程為J_出，?！闧0,2乃)，其中。為參數(shù),

其幾何含義為橢圓的離心角

Y2、廣2V—Z7___1_

(3)雙曲線：彳—與=l(a〉6〉0)的參數(shù)方程為〈—Cos0,8e[0,2乃)，其中。為

ay=btanO

參數(shù)，其幾何含義為雙曲線的離心角

(4)拋物線：y2=2px(0>o)的參數(shù)方程為[*=,其中/為參數(shù)

y=2pf

,、x=a+tcosO,,

(5)直線：過傾斜角為。的直線參數(shù)方程為4,teR,其中，代

表該點與"的距離

注：對于極坐標與參數(shù)方程等問題，通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的一般

方程，然后利用傳統(tǒng)的解析幾何知識求解

二、典型例題：

例i：已知直線參數(shù)方程為，圓c的參數(shù)方程為4,則圓心到直線的

y=3-t[y=2sin6+2

距離為____________

思路：將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程：/:%+J=6,?C:X2+(J-2)2=4

所以圓心為(0,2),到直線的距離為：d」2,L20

答案：2A/2

例2：以直角坐標系的原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，在兩種坐標系中取

cos

相同的單位長度，點A的極坐標為(21虛—,兀一、，曲線C的參數(shù)方程為\1x-2+0,則曲

(4)[y=-2+sin8

線。上的點到點A距離的最大值為

思路：A(2,2),C:(X-2)2+(J+2)2=1,故曲線上距離A最遠的距離為A到圓心的距離加

上半徑，故d=5

答案：5

例3：己知在平面直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為：1X=6+3COS'，以0%為極軸建

y=l+3sin。

立極坐標系，直線極坐標方程為夕cos［，+工］=0,則圓C截直線所得弦長為

2

思路：圓。的方程為:=9,對于直線方程Pcos［e+￡)=0,無法直

接替換為x,y,需構(gòu)造/?cos仇夕sin。再進行轉(zhuǎn)換：.cos［。+看)=。

、

cos0--sin^=0

0P2

7

再求出弦長即可：1=4近

答案：4A/2

5,2

x=&ose（0“<%）和<X---t

例4：已知兩曲線參數(shù)方程分別為《4,它們的交點坐標

y=sin夕

為

X25

思路：曲線方程為=

x=l

聯(lián)立方程可解得：＜2或尤=—5（舍）

＞=±忑

x=1

由6e[0,可得：y>0所以＜2,坐標為

答案:

例5：在極坐標系中，直線夕(sin8—cose)=a與曲線Q=2cos8-4sine相交于兩點,

且|A@=26，則實數(shù)a的值為

思路：先將直線與曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標方程：夕(sing-cos8)=a=y—x=a,曲線

/?=2cos-4sin^=>p2-IpcosO-^psmOx1+y2=2x-4y,所以問題轉(zhuǎn)化為直線

/:%—y+a=O與圓(x—l)2+(y+2)2=5相交于且|帥|=2石，利用圓與直線關(guān)系

|1—2)+

可求得圓心到直線距離d=J~一~二A/2即+3|=2解得a=—5或a=—1

42

答案：〃=—5或a=—1

例6：以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單

jrx=1+2cosa

位，已知直線的極坐標方程為9=1(夕￡氏)，它與曲線(a為參數(shù))相交

y=2+2sini

于兩點A8,則|四=

7T

思路：先將兩個方程轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的普通方程。對于6=—,這種特殊的極坐標方程

4

可以考慮數(shù)形結(jié)合來確定直線：即/:y=x,曲線消參后可得：(％—iy+(y—2)2=4即圓

=+=曰,網(wǎng)=之一微

心是0(1,2),半徑為2的圓，所以2G

答案：V14

JT

小煉有話說：對于形如9=—的極坐標方程，可以作出圖像并根據(jù)圖像得到直角坐標方程,

4

或者可以考慮對。賦予三角函數(shù)，然后向直角坐標進行轉(zhuǎn)化：

cn八1sin。1psindy1

9=-ntang=]n----=In------=I=>_=y=x

4cos。pcosOx

I

x—t—

例7：在直角坐標系九Oy中,曲線G的參數(shù)方程為<；,以坐標原點為極點，光軸正

y-t+-

半軸為極軸建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程是夕sin[e+：J=l,則兩曲線交點間的距

離是______________

思路：將。],。2轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺讼档钠胀ǚ匠獭?:丁―犬=4,。2:gy+弓x=l,則為直

線與雙曲線位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得弦長即可

C2:夕sin8cos§+pcosOsin—=1n-psin0+—^-pcosO=1

.?.。2的方程為母%+；丁=1

y2—x2—4

聯(lián)立方程可得：｛「代入消去y可得：

y=-，3x+2

(-A/3X+2『-J=4=2x2-4cx=0

設(shè)交點A(玉則玉=。,X2-2^3

2

/.|AB|=Jl+k1Xj—x21=4A/3

答案：4A/3

TT

例8：已知曲線的極坐標方程分別為G:夕COS。=3,C］：p=4cos。，其中.20,0K。<萬,

則曲線G,。2交點的極坐標為

思路一：按照傳統(tǒng)思路，將G，C2轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺讼档钠胀ǚ匠?，求出交點坐標后再轉(zhuǎn)換為極

坐標

解：C]:pcos。=3=>x=3

G:p=4cos，=>p1=4pcos0n+丁2=4%

7T

因為夕》o,owe<5,所以只有

符合條件

思路二：觀察到所給方程C：夕以光。=3,。2:夕=4cos。形式簡單，且所求也為極坐標，所

以考慮直接進行極坐標方程聯(lián)立求解

「夕cos。=3、G

解：\代入消去夕可得：4cos。=3=>cos。=±——

夕=4cos62

0G0,->1/.cos^=—0=—

L2j26

/.p=4cos—=2A/3

6

交點坐標為"石,W]

小煉有話說：（1）思路一中規(guī)中矩，但解題過程中要注意原極坐標方程對夕,6的限制條件

（2）思路二有些學(xué)生會對聯(lián)立方程不很適應(yīng)，要了解到極坐標中的夕,6本身是實數(shù)，所以關(guān)

于它們的方程與羽y方程一樣，都是實數(shù)方程，所以可以用實數(shù)方程的方法去解根，只是由

于其具備幾何含義（尤其6?）導(dǎo)致方程形式有些特殊（數(shù)與三角函數(shù)）。但在本題中，通過代

入消元還是容易解出夕,6的

例9：已知在極坐標系中，。為極點，圓C的極坐標方程為夕=4sin[e+1],點P的極坐

標為J?]，則AOCP的面積為

思路一：將。。轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯亲鴺讼捣匠蹋?/p>

p=4sin|<9+—|=p=2sin8+20cosOnp1=2psin6^+2A/3/7COS0

nx2+y2=243x+2y=>(x—j3)+(y-l)=4,所以73,1],再求出P的直角坐標

為(2,2石)，則S^ocp=^\OC\-dp_oc,因為OC：y=(廠

-x=>j3x-3y=0,所以

1273-6731i

dp-oc-2百—2，且所以S.ocp—222-=2

思路二：本題求出C(G,1)后，發(fā)現(xiàn)其極坐標為[2,2],而p]4,（],所以可結(jié)合圖像利用

TTTTTT

極坐標的幾何含義求解，可得Z.COP=------=-,OC=2,O尸=4,所以

366

11jr

SOCP=-\oc\-\OP\sinCOP=—.24sin-=2

226

答案：S“ob=2

小煉有話說：（1）在思路一中面積的求法用向量求解還可以更為簡單:

花=（6,1）,方=（2,6），所以邑"而『_（反.而『，代人即可

（2）思路二體現(xiàn)了極坐標本身具備幾何特點，即長度（0）與角（。），在解決一些與幾何相

關(guān)的問題時，靈活運用極坐標的幾何含義往往能達到出奇制勝的效果

[9代

x—2----1

例10：在直角坐標系X?！抵校€C]的參數(shù)方程為上「，（其中/為參數(shù)），以原

「1+烏

I2

2

點為極點，以X軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線根的極坐標方程為夕=），

Vl+3sin20

設(shè)點M（2,—l）,曲線GC交于AB,求|舷的值

思路一：將C1?C2轉(zhuǎn)化為直角坐標系下普通方程：G：y=—九+1,

2

G：==/=二＞九2+4y2=4,聯(lián)立方程，解出坐標，再求出|肱限|又8|即可

Vl+3sin2^

fV2

x—2----1

oY—2

解：C:5_n----=-lny=-x+l

y+i

y=-1H----1

['2

221222

C2:p=.==＞夕V1+3sin。=2=＞夕2(1+3sin6)=4=＞p+3psin6=4

Vl+3sin20'

x2+4y2=4

Xj=4"

+4(-%+1)2=4

、y=—x+i

.'.5x2-8x=O設(shè)74(%,"),3(為2，%)

8

%1=0皿），哈一|

3

思路二：本題在思路一的基礎(chǔ)上通過作圖可發(fā)現(xiàn)",A3三點共線，則可以考慮將

轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積,即|M4|-IMS!-MA-MB,進而向量坐標化后整體代入再+x2,x1x2即

可

解：（前面轉(zhuǎn)化方程，聯(lián)立方程同思路一）設(shè)〃（2,—1）

MA—(%—2,%+1),MB=(%2—2,%+1)

.|岫=加.加=(%-2)(%-2)+(^+1)(%+1)

=(%—2)(々-2)+(—/+1+])(—+1+1)=2(/—2)(w-2)

=2[芯％2-2(再+/)+4]

28

由5%—8%=0得玉+%2=1,七龍2=。

=210-2-|+48

5

思路三：觀察到“（2,-1）恰好是直線G參數(shù)方程的定點，且所求恰好是到河的距離,

所以聯(lián)系到直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何含義。只需求得對應(yīng)參數(shù)tA,t2的乘積即可

反

xi=29—-^-￡X2=c0?2

解：設(shè)A（%，x）,則有＜r,B(x2,y2),則有＜

%=—1+V'i_13

,2=-1+~?2

代入到。2：/+4/=1中可得：

、2

2----Ai=4

2J2'

、2

四八+4，1+%

z、----B=4

2J

所以九/2是方程2--?+4-1+—Z=4的兩根，整理可得：

、2JI2>

SR

—t2—6y/2t+4=0|A/A|-\MB\=，閔=w

o

答案：—

5

小煉有話說：（1）思路二體現(xiàn)了處理線段模長乘積時，可觀察涉及線段是否具備共線特點，

如果具備可以將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡化運算，但要注意與圖像結(jié)合，看好向量是

同向還是反向

（2）思路三體現(xiàn)了對直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何含義的巧用。在處理兩條曲線（其中一條為參

數(shù)方程）的交點問題時，可以將參數(shù)代換掉另一曲線中的光,y得到關(guān)于參數(shù)的方程。另外在

使用直線參數(shù)方程時，要注意參數(shù)前面的系數(shù)應(yīng)該是該直線傾斜角的正余弦值。否則參數(shù)不

x=2—y/2t?、

具備幾何含義。例如本題中如果&參數(shù)方程為｛,則卜并不代表點到M（2,—1）

y=-1+y/2t

的距離。

三、歷年好題精選

%’一3

1、已知直角坐標系xQy中，直線/的參數(shù)方程為<-La為參數(shù)），以直角坐標系X0y

、y=@

中的原點。為極點，X軸的非負半軸為極軸，圓C的極坐標方程為22—42cos9+3=0,則

圓心C到直線/的距離為

2、（2015,北京）在極坐標系中，點2,三到直線"cos8+Gsine）=6的距離為

3、（2015,廣東）已知直線/的極坐標方程為2夕sin點A的極坐標為

，則點A到直線/的距離為.

X—/cos。

4、（2015,新課標II）在直角坐標系冗Oy中，曲線G：〈（/為參數(shù)，r。0），其

[y=tsina

中0<av?，在以。為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線

G:p=2sin^,C3:夕=2gcos8

（1）求。2，03交點的直角坐標

（2）若G，G相交于點A,a，G相交于點5,求回的最大值

5、（2015,陜西）在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為<（方為參數(shù)），以原

點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，。。的極坐標方程為夕=2百sin。

（1）寫出0c的直角坐標方程

（2）P為直線/上一動點，當尸到圓心C的距離最小時，求尸的直角坐標

習(xí)題答案：

解析：可知直線/的方程為：y=（九+3）=百九一丁+36=0,圓的直角坐標方程為

x2+/-