子數列與增減項的問題講義-2025屆高三數學二輪復習

第第頁子數列與增減項的問題子數列問題(包括數列中的奇偶項、公共項數列以及分段數列)與數列的增減項問題是近幾年高考的重點和熱點，一般方法是構造新數列，利用新數列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數列.子數列問題典例1(1)(2020年新高考全國Ⅰ卷)將數列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為.(2)記由數列{an}和{bn}的公共項組成的數列為{cn}，已知an=3n-2，bn=2n，若{cn}為遞增數列，且c5=bm=at，則m+t=.方法總結：1.解答數列中公共項問題的關鍵在于觀察這些公共項的規(guī)律，判斷其是否構成等差數列或等比數列.2.兩個等差數列的公共項是等差數列，公差是兩等差數列公差的最小公倍數；兩個等比數列的公共項是等比數列，公比是兩個等比數列公比的最小公倍數.1.我國古代數學名著《孫子算經》載有一道數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?”根據這一數學思想，把所有被3除余2的正整數從小到大排列組成數列{an}，把所有被5除余3的正整數從小到大排列組成數列{bn}，把{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn}，則下列說法正確的是().A.a1+b2=c2 B.b8-a2=c4C.b23=c8 D.a6b2=c92.將數列{2n-1}與{n2}的公共項按照從小到大的順序排列得到一個新數列{an}，則新數列{an}的通項公式為.增減項問題典例2已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且an+1=2Sn+2(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式.(2)在an與an+1之間插入n個數，使這(n+2)個數組成一個公差為dn的等差數列，在數列{dn}中是否存在3項dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數列，且m≠k≠p)成等比數列?若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由.方法總結：解答數列中的增減項問題時，先觀察增加或減少以后的數列是等差數列，等比數列，還是局部具有等差或等比特征的數列，然后按照各自的性質進行求解.已知數列{bn}為等比數列，正項數列{an}滿足4an=an+12-an2-4，且a1=2，b1=1，(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)若從{an}中去掉與數列{bn}相同的項后余下的項按原來的順序組成數列{cn}，設T100=c1+c2+c3+…+c100，求T100.

參考答案微專題01子數列與增減項的問題考向1子數列問題典例1(1)3n2-2n(2)352【解析】(1)因為數列{2n-1}是以1為首項，2為公差的等差數列，數列{3n-2}是以1為首項，3為公差的等差數列，所以這兩個數列的公共項所構成的新數列{an}是以1為首項，6為公差的等差數列，所以{an}的前n項和為n·1+n(n-1)2·6=3n(2)由已知得c1=b2=a2=4，設cn=bm=at，即cn=2m=3t-2，則bm+1=2m+1=2(3t-2)，由bm+1=3t'-2，得t'=6t因為t'不是正整數，所以bm+1不是公共項.同理，由bm+2=2m+2=4(3t-2)=3t'-2，得t'=4t-2，故cn+1=bm+2=a4t-2.因為c1=b2=a2=4，所以c2=b4=a6，c3=b6=a22，c4=b8=a86，c5=b10=a342，故當n=5時，m=10，t=342，故m+t=352.培優(yōu)精練1.C【解析】根據題意可知，數列{an}是首項為2，公差為3的等差數列，所以an=2+3(n-1)=3n-1，數列{bn}是首項為3，公差為5的等差數列，所以bn=3+5(n-1)=5n-2，數列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數列{cn}，故數列{cn}是首項為8，公差為15的等差數列，cn=8+15(n-1)=15n-7.對于A，a1+b2=2+2×5-2=10，c2=15×2-7=23，a1+b2≠c2，故A錯誤；對于B，b8-a2=5×8-2-3×2+1=33，c4=15×4-7=53，b8-a2≠c4，故B錯誤；對于C，b23=5×23-2=113，c8=15×8-7=113，b23=c8，故C正確；對于D，a6b2=(3×6-1)×(5×2-2)=136，c9=15×9-7=128，a6b2≠c9，故D錯誤.故選C.2.an=(2n-1)2【解析】{2n-1}中的項為全體正奇數，對于數列{n2}，當n為正偶數時，n2為偶數，當n為正奇數時，n2為正奇數，所以數列{2n-1}與{n2}的公共項按照從小到大的順序排列得到的新數列為12，32，52，…，所以新數列{an}的通項公式為an=(2n-1)2.考向2增減項問題典例2【解析】(1)設等比數列{an}的公比為q，由題意知當n=1時，a1q=2a1+2，①當n=2時，a1q2=2(a1+a1q)+2，②由①②解得a1=2，q=3，所以數列{an}的通項公式為an=2×3n-1.(2)不存在.理由如下：由(1)知an=2×3n-1，則an+1=2×3n，所以an+1=an+(n+2-1)dn，所以dn=an+1-假設數列{dn}中存在3項dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數列，且m≠k≠p)成等比數列，則dk2=dm·d所以4×3k-1k+12=4×即4×3k-1k+12又因為m，k，p成等差數列，所以2k=m+p，所以(k+1)2=(m+1)(p+1)，化簡得k2+2k=mp+m+p，所以k2=mp，又2k=m+p，所以k=m=p，這與已知矛盾.所以在數列{dn}中不存在3項dm，dk，dp(其中m，k，p成等差數列，且m≠k≠p)成等比數列.培優(yōu)精練【解析】(1)因為4an=an+12-a所以an+12=(an+2)2，又an所以an+1=an+2，即an+1-an=2，又a1=2，所以數列{an}是首項為2，公差為2的等差數列，所以an=2+(n-1)·2=2n.設{bn}的公比為q，因為b4=a4=8，b1=1，所以q3=8，解得q=2，所以bn=2n-1.綜上，數列{an}和{bn}的通項公式分別為an=2n，bn=2n-1.(2)由(1)知b1=1，b2=2=a1，b3=4=a2，b