陜西省藍田縣高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.6 直線與平面垂直的判定教學實錄 北師大版必修2

陜西省藍田縣高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.6直線與平面垂直的判定教學實錄北師大版必修2課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學內(nèi)容：直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。

2.教學內(nèi)容與學生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課內(nèi)容與第一章“點、線、面”中直線與平面垂直的性質(zhì)有關(guān)，學生在學習本節(jié)課之前已經(jīng)掌握了直線與平面垂直的性質(zhì)，為本節(jié)課的學習奠定了基礎(chǔ)。教材章節(jié)為北師大版必修2第一章立體幾何初步1.6。二、核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生空間觀念，通過直線與平面垂直的判定定理的學習，提高學生運用數(shù)學語言描述現(xiàn)實世界的能力。發(fā)展邏輯推理和直觀想象能力，通過探究證明過程，讓學生體會數(shù)學證明的嚴謹性和邏輯性。同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和數(shù)學建模意識，學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，提升解決實際問題的能力。三、教學難點與重點1.教學重點，

①理解直線與平面垂直的判定定理的條件和結(jié)論，并能準確應(yīng)用定理進行判斷。

②掌握直線與平面垂直的判定定理的證明方法，包括構(gòu)造輔助線、運用反證法等。

2.教學難點，

①直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，特別是在復雜空間圖形中的運用，需要學生具備較強的空間想象能力和幾何直觀能力。

②定理證明過程中的邏輯推理和空間想象結(jié)合，學生需要能夠從圖形中抽象出數(shù)學關(guān)系，并運用邏輯推理進行證明。

③在實際解題中，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為合適的數(shù)學模型，并運用判定定理解決問題，這對學生的數(shù)學建模能力提出了挑戰(zhàn)。四、教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節(jié)課所需的北師大版必修2教材，包含第一章立體幾何初步1.6的相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準備與教學內(nèi)容相關(guān)的多媒體資源，包括展示直線與平面垂直判定定理的動畫、幾何圖形的動態(tài)演示等。

3.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學生進行合作學習；提供實驗操作臺，用于輔助理解和驗證判定定理。五、教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發(fā)布預習任務(wù)：通過在線平臺或班級微信群，發(fā)布預習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預習目標和要求，例如要求學生預習直線與平面垂直的判定定理的基本概念和簡單證明。

設(shè)計預習問題：圍繞直線與平面垂直的判定定理，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，如“如何判斷一條直線是否垂直于一個平面？”、“證明直線垂直于平面的方法有哪些？”

監(jiān)控預習進度：利用平臺功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學生的預習進度，確保預習效果。

學生活動：

自主閱讀預習資料：學生按照預習要求，自主閱讀預習資料，理解直線與平面垂直的判定定理的基本概念和證明方法。

思考預習問題：學生針對預習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問，例如對證明過程的邏輯推理有疑問。

提交預習成果：學生將預習成果（如筆記、思維導圖、問題等）提交至平臺或老師處，以便教師了解預習情況。

2.課中強化技能

教師活動：

導入新課：通過幾何圖形的動態(tài)展示，引出直線與平面垂直的判定定理，激發(fā)學生的學習興趣。

講解知識點：詳細講解直線與平面垂直的判定定理的條件和結(jié)論，結(jié)合實例幫助學生理解，如使用長方體模型展示定理的應(yīng)用。

組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學生通過合作探究證明直線與平面垂直的方法。

解答疑問：針對學生在學習中產(chǎn)生的疑問，如對輔助線構(gòu)造的疑問，進行及時解答和指導。

學生活動：

聽講并思考：學生認真聽講，積極思考老師提出的問題，如如何使用反證法證明定理。

參與課堂活動：學生積極參與小組討論，通過合作探究，如嘗試不同的輔助線構(gòu)造方法。

提問與討論：學生針對不懂的問題或新的想法，如對證明過程中空間想象能力的運用，勇敢提問并參與討論。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

布置作業(yè)：布置一些涉及直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用題，如證明一個空間幾何體的面與邊的關(guān)系。

提供拓展資源：提供與直線與平面垂直判定定理相關(guān)的拓展資源，如幾何軟件的使用指南，供學生進一步學習。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，針對學生的解答給予反饋和指導，如對錯誤解答的分析和糾正。

學生活動：

完成作業(yè)：學生認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學習效果，如獨立完成證明題。

拓展學習：學生利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考，如嘗試使用不同的軟件進行幾何建模。

反思總結(jié)：學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結(jié)，提出改進建議，如如何提高空間想象能力。六、拓展與延伸六、拓展與延伸

1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

《幾何證明的藝術(shù)》——這本書詳細介紹了幾何證明的方法和技巧，對于學生深入理解直線與平面垂直的判定定理及其證明過程非常有幫助。

《立體幾何問題解答》——本書收錄了大量的立體幾何問題，包括基礎(chǔ)題和應(yīng)用題，適合學生在掌握基本概念后進行練習。

《數(shù)學建模與空間想象》——通過實際的數(shù)學建模案例，引導學生將數(shù)學知識應(yīng)用于解決實際問題，增強學生的空間想象能力和數(shù)學建模能力。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究

（1）探究不同證明方法：鼓勵學生嘗試使用不同的證明方法來證明直線與平面垂直的判定定理，如使用向量方法、坐標方法等。

（2）研究空間幾何體的性質(zhì)：引導學生研究空間幾何體的性質(zhì)，如正方體、長方體、棱柱等，通過觀察和分析這些幾何體的特征，加深對直線與平面垂直判定定理的理解。

（3）解決實際問題：鼓勵學生將所學知識應(yīng)用于解決實際問題，如設(shè)計一個空間結(jié)構(gòu)，使其滿足直線與平面垂直的條件。

（4）探索幾何證明的奧秘：引導學生探索幾何證明的奧秘，如證明勾股定理、探索歐幾里得幾何與非歐幾里得幾何的關(guān)系等。

（5）開展小組合作學習：組織學生開展小組合作學習，通過討論、交流、分享等方式，共同解決學習中的問題，提高學生的團隊協(xié)作能力。

（6）撰寫數(shù)學小論文：鼓勵學生撰寫數(shù)學小論文，總結(jié)自己在學習過程中的收獲和體會，提高學生的寫作能力和表達能力。

（7）參加數(shù)學競賽：鼓勵學生參加數(shù)學競賽，如全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽、全國中學生數(shù)學聯(lián)賽等，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和競技水平。

（8）關(guān)注數(shù)學前沿：引導學生關(guān)注數(shù)學領(lǐng)域的最新研究進展，如幾何學、拓撲學等，拓寬學生的知識視野。

（9）開展數(shù)學講座：邀請數(shù)學專家或教師開展數(shù)學講座，為學生提供學習交流的平臺，激發(fā)學生的學習興趣。

（10）利用網(wǎng)絡(luò)資源：引導學生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線課程、數(shù)學論壇等，進行自主學習，提高學生的信息獲取和處理能力。七、重點題型整理1.**證明直線與平面垂直的題型**

**題型示例**：已知直線AB在平面α內(nèi)，點C不在平面α內(nèi)，且直線AC垂直于平面α，證明：直線AB垂直于平面α。

**解題步驟**：

-步驟一：連接點A和C，得到直線AC。

-步驟二：由于直線AC垂直于平面α，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)，AC是平面α的法線。

-步驟三：因為AB在平面α內(nèi)，所以AB與AC共面。

-步驟四：由于AC垂直于平面α，根據(jù)線面垂直的判定定理，AB垂直于AC。

-步驟五：因為AC和AB共面，且AC垂直于平面α，所以AB垂直于平面α。

**答案**：通過上述步驟，可以證明直線AB垂直于平面α。

2.**求直線與平面所成的角**

**題型示例**：已知直線l和平面β，求直線l與平面β所成的角。

**解題步驟**：

-步驟一：在直線l上取一點P，作平面γ，使得平面γ與平面β相交于直線m。

-步驟二：在平面γ內(nèi)作直線n，使得直線n垂直于直線m。

-步驟三：連接點P和直線n的交點Q，得到直線PQ。

-步驟四：由于直線n垂直于直線m，且直線m在平面β內(nèi)，所以直線PQ垂直于平面β。

-步驟五：直線PQ與直線l所成的角即為直線l與平面β所成的角。

**答案**：通過上述步驟，可以求出直線l與平面β所成的角。

3.**求點到平面的距離**

**題型示例**：已知點P和過點P的直線l，求點P到平面α的距離。

**解題步驟**：

-步驟一：在直線l上取一點Q，使得直線l垂直于平面α。

-步驟二：連接點P和Q，得到線段PQ。

-步驟三：由于直線l垂直于平面α，所以線段PQ垂直于平面α。

-步驟四：線段PQ的長度即為點P到平面α的距離。

**答案**：通過上述步驟，可以求出點P到平面α的距離。

4.**求兩條平行線與一個平面的交點**

**題型示例**：已知兩條平行線l1和l2，求這兩條平行線與平面α的交點。

**解題步驟**：

-步驟一：在直線l1上取一點A，作平面α，使得平面α與直線l2相交于點B。

-步驟二：由于l1平行于l2，所以直線l1與直線l2的交點C即為直線l1與平面α的交點。

-步驟三：由于A、B、C三點共線，所以C也是直線l2與平面α的交點。

**答案**：通過上述步驟，可以求出兩條平行線與平面α的交點。

5.**求兩個平面相交的交線**

**題型示例**：已知兩個平面α和β，求這兩個平面的交線。

**解題步驟**：

-步驟一：在平面α內(nèi)取一點A，作平面β，使得平面β與平面α相交于直線m。

-步驟二：在平面β內(nèi)取一點B，作平面α，使得平面α與平面β相交于直線n。

-步驟三：由于直線m和直線n都在平面α和β的交線上，所以直線m和直線n即為兩個平面的交線。

**答案**：通過上述步驟，可以求出兩個平面的交線。八、課堂課堂評價是確保教學效果和學生學業(yè)進步的重要環(huán)節(jié)。以下是對本節(jié)課教學評價的具體實施策略：

1.**課堂提問**

-通過提問來檢查學生對直線與平面垂直的判定定理的理解程度，例如：“誰能解釋一下什么是直線與平面垂直的判定定理？”

-設(shè)計開放性問題，鼓勵學生思考：“在證明過程中，如何構(gòu)造輔助線使得證明更加直觀？”

-觀察學生的回答，判斷他們是否能夠?qū)⒗碚撝R與實際問題相結(jié)合。

2.**課堂觀察**

-觀察學生在課堂活動中的參與度，如小組討論、實驗操作等，評估他們的合作能力和動手操作能力。

-注意學生的非語言行為，如表情、姿勢等，這些可以作為他們學習狀態(tài)的重要線索。

3.**課堂測試**

-設(shè)計隨堂測試，包括選擇題、填空題和簡答題，以評估學生對知識的掌握情況。

-測試題目應(yīng)涵蓋本節(jié)課的重點內(nèi)容，如判定定理的應(yīng)用、證明過程等。

4.**個別輔導**

-對于理解有困難的學生，提供個別輔導，幫助他們克服學習中的障礙。

-個別輔導可以是面對面的，也可以是通過電子郵件或在線平臺進行的。

5.**學生自我評價**

-鼓勵學生進行自我評價，讓他們反思自己在課堂上的表現(xiàn)和學習效果。

-學生可以填寫自我評價表，列出他們在學習過程中的強項和需要改進的地方。

6.**同伴評價**

-組織學生進行同伴評價，讓學生互相評價在小組活動中的表現(xiàn)。

-同伴評價可以促進學生的團隊合作意識，同時也能夠讓學生從不同的角度看待問題。

7.**教學反饋**

-在課堂結(jié)束時，教師應(yīng)提供簡短的教學反饋，總結(jié)本節(jié)課的重點和難點。

-教師可以通過口頭反饋或書面反饋的形式，告知學生對知識的掌握情況。

8.**作業(yè)評價**

-對學生的作業(yè)進行認真批改和點評，確保每個學生都能得到個性化的反饋。

-作業(yè)評價不僅要關(guān)注答案的正確性，還要關(guān)注學生的解題思路和過程。

-及時反饋學生的學習效果，鼓勵學生在遇到困難時不要氣餒，繼續(xù)努力。板書設(shè)計1.**本文重點知識點**

①直線與平面垂直的判定定理

②直線與平面垂直的性質(zhì)

③證明直線與平面垂直的方法

2.**關(guān)鍵詞**

①垂直

②判定定理

③性質(zhì)

④證明

3.**重點句子**

①“如果一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面?！?/p>

②“如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面?！?/p>

③“直線的方向向量與平面的法向量垂直，則這條直線垂直于這個平面。”反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.結(jié)合實際案例教學：在講解直線與平面垂直的判定定理時，我嘗試引入實際工程案例，讓學生通過分析實際問題來理解定理的應(yīng)用，這樣既提高了學生的興趣，又增強了他們的實踐能力。

2.多媒體輔助教學：利用多媒體資源，如動畫、視頻等，將抽象的幾何概念具體化，幫助學生更好地理解和記憶，同時也提高了課堂的趣味性。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生空間想象力不足：在證明直線與平面垂直的判定定理時，部分學生難以理解空間關(guān)系，這可能是由于他們?nèi)狈ψ銐虻目臻g想象力。

2.課堂互動不夠充分：雖然設(shè)計了小組討論等活動，但發(fā)現(xiàn)學生之間的互動并不夠充分，部分學生參與度不高，這可能是因為活動設(shè)計不夠吸引人或者時間分配不合理。

3.作業(yè)反饋不及時：由于課時有限，作業(yè)的反饋往往不夠及時，這可能會影響學生對知識的鞏固和應(yīng)用。

反思改進措施（三）

1.加強空間想象力訓練：通過布置一些需要空間想象力的練習題，或者利用立體幾何模型，幫助學生逐步提高空間想象力。同時，在講解過程中，盡量用直觀的方式展示空間關(guān)系，如使用箭頭表示方向向量。

2.優(yōu)化課堂互動設(shè)計：