專題一　閱讀理解題 2025年中考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)（福建）

專題一閱讀理解題類型1新概念型典例1[2024·河北]在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是()A．點AB．點BC．點CD．點D【跟蹤訓(xùn)練1】1．[2024·遂寧]如圖1，△ABC與△A1B1C1滿足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我們稱這樣的兩個三角形為“偽全等三角形”．如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E在線段BC上，且BE＝CD，則圖中共有“偽全等三角形”()A．1對B．2對

C．3對

D．4對2．[2024·廣元]若點Q(x，y)滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標(biāo)_____________________．(2，－1)(答案不唯一)3.[2024·樂山]定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖象的“近軸點”.例如，點(0，1)是函數(shù)y＝x＋1圖象的“近軸點”.(1)下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是___(填序號)；①y＝－x＋3；②y＝；③y＝－x2＋2x－1.(2)若一次函數(shù)y＝mx－3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為___________________.③類型2

新型運算典例2[2024·呼倫貝爾]對于實數(shù)a，b，定義運算“※”為a※b＝a＋3b，例如5※2＝5＋3×2＝11，則關(guān)于x的不等式x※m＜2有且只有一個正整數(shù)解時，m的取值范圍是________．【跟蹤訓(xùn)練2】2．[2023·廣安]定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)a，b，a※b＝.若2※(－2)＝1，則(－3)※3的值是_____．類型3

新應(yīng)用型典例3[2024·長春]【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB＝3，點M，N分別在邊AC，BC上，且AM＝CN，試探究線段MN長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點C，M分別作MN，BC的平行線，并交于點P，作射線AP.在【問題呈現(xiàn)】的條件下，回答下列問題：(1)證明：AM＝MP；(2)∠CAP的大小為______度，線段MN長度的最小值為______；【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°.MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM＝DN.鋼絲繩MN長度的最小值為多少米．解：問題解決：(1)證明：由作圖，得MP∥NC，PC∥MN，∴四邊形MNCP是平行四邊形，∴NC＝MP，MN＝PC，∵AM＝NC，∴AM＝MP；(2)在等邊△ABC中，∠ACB＝60°，∵MP∥CN，∴∠PMC＝∠ACB＝60°，∵AM＝MP，∴∠MAP＝∠APM＝∠PMC＝×60°＝30°.當(dāng)CP⊥AP時，CP最小，此時MN最小，在Rt△ACP中，AC＝3，∠CAP＝30°，∴CP＝AC＝×3＝，∴線段MN長度的最小值為；故答案為：30，；方法應(yīng)用：過點D，M分別作MN，ED的平行線，并交于點H，作射線AH，連接AD，∴四邊形MNDH是平行四邊形，∴ND＝MH，MN＝DH，MH∥ED，∵AM＝ND，∴AM＝MH，∵四邊形BCDE是矩形，∴BC∥ED，∠BCD＝90°，∴BC∥MH，∴∠ACB＝∠CMH＝30°.∵AM＝MH，∴∠MAH＝15°.∵AC＝CD＝2m，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAH＝45°，∴當(dāng)DH⊥AH時，DH最小，此時MN最小，作CR⊥AD于點R，【跟蹤訓(xùn)練3】1．【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點P為邊BC上的任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為點F.求證：PD＋PE＝CF.小軍的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD＋PE＝CF.小俊的證明思路是：如圖2，過點P作PG⊥CF，垂足為點G，可以證得PD＝GF，PE＝CG，則PD＋PE＝CF.【變式探究】如圖3，當(dāng)點P在BC延長線上時，其余條件不變，求證：PD－PE＝CF；請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：【結(jié)論運用】如圖4，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任意一點，過點P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分別為點G，H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；【遷移拓展】圖5是一個航模的截面示意圖．在四邊形ABCD中，點E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為點D，C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm.點M，N分別為AE，BE的中點，連接DM，CN，求△DEM與△CEN的周長之和．解：【變式探究】證明：連接AP，如圖3.∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ABP－S△ACP，∴

AB·CF＝AB·PD－

AC·PE.又∵AB＝AC，∴CF＝PD－PE；【結(jié)論運用】過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖4.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°.∵AD＝8，CF＝3，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝5.由折疊可得DF＝BF，∠BEF＝∠DEF.∴DF＝5.∵∠C＝90°，∴DC＝∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC.∴四邊形EQCD是矩形．∴EQ＝DC＝4.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB.∴BE＝BF.由【問題情境】中的結(jié)論可得PG＋PH＝EQ.∴PG＋PH＝4；【遷移拓展】延長AD，BC相交于點F，作BH⊥AF，垂足為點H，如圖5.∵AD·CE＝DE·BC，∴∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°.∴△ADE∽△BCE.∴∠A＝∠CBE.∴FA＝FB.由【問題情境】中的結(jié)論可得ED＋EC＝BH.設(shè)DH＝xdm，則AH＝AD＋DH＝(3＋x)dm.∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°.∴BH2＝BD2－DH2＝AB2－AH2.∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE.∴△DEM與△CEN的周長之和＝DE＋DM＋EM＋CN＋EN＋EC＝DE＋AE＋BE＋EC＝DE＋AB＋EC＝(6＋2)dm.∴△DEM與△CEN的周長之和為(6＋2)dm.2.[2023·涼山州]閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α，∠FAD為β，若tanα＝，則tanβ＝.證明：設(shè)BE＝k，∵tanα＝，∴AB＝2k，易證△AEB≌△EFC(AAS)，∴EC＝2k，F(xiàn)C＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝若α＋β＝45°時，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝.同理：若α＋β＝45°時，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝.根據(jù)上述材料，解決下列問題：如圖2，直線y＝3x－9與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于點A，與x軸交于點B.將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，過點A作AM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥y軸于點N，已知OA＝5.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出tan∠BAM，tan∠NAE的值；(3)求直線AE的解析式.解：(1)將y＝0代入y＝3x－9，得x＝3，∴B(3，0).∵直線y＝3x－9與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于點A，∴設(shè)A(a，3a－9)，∵AM⊥x軸，OA＝5，∴在Rt△AOM中，OM2＋AM2＝AO2，∴a2＋(3a－9)2＝52，(2)∵A(4，3)，B(3，0)，∴MO＝4，BO＝3，AM＝3，∴MB＝1，∵AM⊥x軸，∴tan∠BAM＝∵AN⊥y軸，∠NOM＝90°，∴四邊形NOMA是矩形，∴∠NAM＝90°，∵將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，∴∠BAE＝45°，∴∠BAM＋∠NAE＝45°，∵tan∠BAM＝，∴tan∠NAE＝；(3)∵四邊形NOMA是矩形，∴AN＝OM＝4，NO＝AM＝3，∵AN⊥y軸，tan∠NAE＝，解得NE＝2，∴OE＝ON－NE＝1，∴E(0，1)，設(shè)直線AE的解析式為y＝kx＋b，將E(0，1)和A(4，3)代入，得3．[2023·鄂州]某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2(a＞0)型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點F(0，)的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝－的距離PN(該結(jié)論不需要證明)．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝－叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點為H.其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝.例如，拋物線y＝2x2，其焦點坐標(biāo)為F(0，)，準(zhǔn)線方程為l：y＝－，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線y＝x2上一點P(x0，y0)(x0＞0)到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標(biāo)；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點為F，準(zhǔn)線方程為l.直線m：y＝x－3交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請直接寫出d1＋d2的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2(a＞0)平移至y＝a(x－h(huán))2＋k(a＞0)，拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k(a＞0)內(nèi)有一定點F(h，k＋)，直線l過點M(h，k－)且與x軸平行，當(dāng)動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離PP1始終等于點P到點F的距離(該結(jié)論不需要證明)．例如：拋物線y＝2(x－1)2＋3上的動點P到點F(1，)的距離等于點P到直線l：y＝的距離．(2)由(1)知拋物線y＝x2的焦