《管理統(tǒng)計學》課件-9 第九章 非參數(shù)檢驗

第九章

非參數(shù)檢驗案例導入

環(huán)境保護是“可持續(xù)發(fā)展”的題中之意，而居民排污問題一直是環(huán)境保護重點關(guān)注的問題。某市的建筑規(guī)格要求居民區(qū)所用污水管破壞強度的中位數(shù)大于每線英尺2500磅。一名想向該市供應污水管的制造商對此項目投了標，并提供了補充信息：有一位獨立的承包商從這位制造商那里隨機抽選了七節(jié)污水管，并檢驗了每節(jié)管子的破壞程度。結(jié)果（磅/線英尺）列于表9-1。那么在總體分布未知，且樣本量極小的情形下，如何對假設(shè)H0（該制造商提供的污水管符合所要求的規(guī)格）做出統(tǒng)計推斷？2610275024202510254024902680表9.1

污水管破壞強度檢查表學習目標

本章要求掌握非參檢驗的應用范圍、基本思想以及檢驗步驟。重點掌握兩總體比較的非參檢驗方法。9.1非參數(shù)檢驗的概述

非參檢驗是相對于參數(shù)檢驗而存在的。參數(shù)檢驗是在已知總體分布的條件下（一般要求總體服從正態(tài)分布）對一些主要的參數(shù)（如均值、百分數(shù)、方差、相關(guān)系數(shù)等）進行的檢驗，有時還要求某些總體參數(shù)滿足一定條件。如獨立樣本的T檢驗和方差檢驗不僅要求總體符合正態(tài)分布，還要求總體方差齊性。

對于不服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，存在很多非參數(shù)分析方法。非參數(shù)檢驗不依賴被抽樣總體的分布，因而稱為與分布無關(guān)的檢驗。9.1非參數(shù)檢驗的概述

非參數(shù)檢驗方法簡便，不依賴于總體分布的具體形式因而適用性強，但靈敏度和精確度不如參數(shù)檢驗。一般而言，非參數(shù)檢驗適用于以下三種情況：（1）順序類型的數(shù)據(jù)資料，這類數(shù)據(jù)的分布形態(tài)一般是未知的；（2）雖然是連續(xù)數(shù)據(jù)，但總體分布形態(tài)未知或者非正態(tài)，這和卡方檢驗一樣，稱為自由分布檢驗；（3）總體分布雖然正態(tài)，數(shù)據(jù)也是連續(xù)類型，但樣本容量極小，如10以下（雖然T檢驗被稱為小樣本統(tǒng)計方法，但樣本容量太小時，代表性畢竟很差，最好不要用要求嚴格的參數(shù)檢驗法）。因為這些特點加上非參檢驗法一般原理和計算比較簡便，因此常用于一些為正式研究進行探路的預備性研究中。

當然，由于非參數(shù)檢驗許多牽涉不到參數(shù)計算，對數(shù)據(jù)中的信息利用不夠，因而其統(tǒng)計檢驗力相對于參數(shù)檢驗也差得多。9.1非參數(shù)檢驗的概述單個總體的非參數(shù)檢驗法位置檢驗：分布函數(shù)檢驗符號檢驗法擬合優(yōu)度檢驗法擬合優(yōu)度k-s檢驗法兩個總體的非參數(shù)檢驗法兩個配對樣本的檢驗兩個獨立樣本的檢驗符號檢驗法符號等級檢驗法秩和檢驗法中數(shù)檢驗法圖9.2非參數(shù)檢驗的分類框架

前面所學到的參數(shù)檢驗法在非參數(shù)檢驗法中都能找到替代的方法，因此按照和參數(shù)檢驗法相對應的原則可對非參數(shù)檢驗法進行如下分類：9.2單個總體的非參數(shù)檢驗9.2.1單個總體的位置檢驗

由第八章可知，估計總體均值或檢驗關(guān)于總體均值的假設(shè)的小樣本方法，都要求總體服從某個近似的正態(tài)分布。因此，在非正態(tài)總體收集一個小樣本的情況下，t檢驗就失效，必須求助于某種非參數(shù)方法。適用于此種情形的最簡單的非參數(shù)方法是正負號檢驗法（又稱符號檢驗法）。這是一種專為檢驗關(guān)于任意連續(xù)分布的中位數(shù)的假設(shè)而設(shè)計的方法。同平均值一樣，中位數(shù)是分布中心和分布位置的度量，所以正負號檢驗有時亦稱位置檢驗。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗9.2.1單個總體的位置檢驗

例9-1考慮一個中位數(shù)η未知的總體，并假定需要檢驗零假設(shè)H0：η=100對單尾替代假設(shè)H1：η>100。所謂的中位數(shù)，是指使總體左右兩側(cè)概率分布面積相等的數(shù)。因此從總體選出大于η的

的概率為0.5，即

。要是零假設(shè)事實上為真，那么可以預期將會觀察到差不多有一半樣本

值大于η。

正負號檢驗所用的檢驗統(tǒng)計量為S：S=超過100的樣本觀察值數(shù)試求本檢驗的零假設(shè)是否成立。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗9.2.1單個總體的位置檢驗

解：S只依賴于每個樣本值

與100之差的正負號。也就是說，我們只需數(shù)一數(shù)樣本差（-100）中有幾個正號就行了。令每一個樣本差（-100）代表由n次相同試驗組成的實驗中一次試驗的結(jié)果。如果稱正的差值為“成功”，負的差值為“失敗”，則S便是n次試驗的成功數(shù)。在H0之下，觀察到任意一次試驗為成功的概率為

由于各次試驗都是獨立的，滿足二項實驗的性質(zhì)。于是S服從參數(shù)n和=0.5的二項分布，進而計算р值，最后根據(jù)р值與顯著性水平ɑ的關(guān)系，判斷H0是否成立。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗9.2.1單個總體的位置檢驗一般而言，單個總體中位數(shù)η的正負號檢驗需要經(jīng)歷以下三個步驟。首先，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)：H0：η=η0H1：η>η0（或H1：η<η0）其次，計算檢驗統(tǒng)計量S：S=大于η0的樣本觀察值數(shù)（或S=小于η0的樣本觀察值數(shù)）最后，根據(jù)顯著性水平ɑ，判斷是否拒絕原假設(shè)H0。其判斷分小樣本和大樣本兩種情形。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗9.2.1單個總體的位置檢驗（1）在小樣本的情形下（n<10）計算р值：

（9-1）此處

服從參數(shù)為n和

的二項分布。當р值<ɑ時，則拒絕H0。（2）在大樣本的情形下（n≥10）計算z值:

（9-2）當

時，拒絕H0（注：本章所采取的都是單側(cè)檢驗下的判斷準側(cè)）。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗

9.2.2單個總體的分布函數(shù)檢驗9.2.2.1擬合優(yōu)度檢驗法

假設(shè)（猜測）總體的概率密度函數(shù)為

（若總體為離散型，則假設(shè)總體的概率密度為

），那么用一組樣本

，…，

如何來檢驗假設(shè)是否成立。

一般而言，要經(jīng)歷以下四個步驟。首先，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)：H0：總體的累積概率分布函數(shù)為

H1：總體的累積概率分布函數(shù)不是

其次，在數(shù)軸上選取k-1個分點t1,t2,…，tk-1將數(shù)軸分為k個區(qū)間（不必等區(qū)間）：

，

，…，

。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗

9.2.2單個總體的分布函數(shù)檢驗9.2.2.1擬合優(yōu)度檢驗法記

為總體在第

個區(qū)間上的概率值，則有…

記

為樣本

，

…，

中，落在區(qū)間

中的個數(shù)（或頻數(shù)）

，那么，頻率

（n至少為50，最好100以上）與概率

之差應當很小，否則就應該拒絕假設(shè)H0。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗

9.2.2單個總體的分布函數(shù)檢驗9.2.2.1擬合優(yōu)度檢驗

可以證明（K.Pearson），在H0成立的條件下，統(tǒng)計量

（9-3）服從

分布，其中

是總體中未知參數(shù)的個數(shù)。再次，對于給定的顯著性水平

，可由

分布表，查出臨界值

。最后，比較統(tǒng)計量

與臨界值

的大小，若

則拒絕H0。9.2單個總體的非參數(shù)檢驗

9.2.2單個總體的分布函數(shù)檢驗9.2.2.2k-s檢驗法

k-s檢驗法是柯爾摩格羅夫（Kolmogorov）-斯米爾諾夫（Smirnov）檢驗法的簡稱。

k-s檢驗法的基本思路如下所示：

（1）把不重復的樣本觀察值從小到大排列，依據(jù)不重復的樣本觀察值的頻率，建立一個樣本累積頻率函數(shù)

。

（2）對于任何確定的

，定義

統(tǒng)計量：

（9-4）9.2單個總體的非參數(shù)檢驗

9.2.2單個總體的分布函數(shù)檢驗9.2.2.2k-s檢驗法

（3）對于任何確定的

，統(tǒng)計量

的

（累積）概率分布函數(shù)為

，記為

。

對于計算出來的統(tǒng)計量

的值

，若

，則接受H0；若

，則拒絕H0。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.1兩個配對樣本的檢驗9.3.1.1符號檢驗法

符號檢驗法是通過對兩個配對樣本的每對數(shù)據(jù)之差的符號（正號或負號）進行檢驗，以比較這兩個樣本所代表的總體的差異顯著性，對應于參數(shù)檢驗中兩相關(guān)樣本差異顯著性的T檢驗。其基本思想是：若兩總體差異不顯著，則兩樣本差值的正號與負號應大致各占一半，即中位數(shù)為0。符號檢驗法一般要經(jīng)歷以下三個步驟。首先，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)H0：差值的總體中位數(shù)為0H1：差值的總體中位數(shù)不為09.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.1兩個配對樣本的檢驗9.3.1.1符號檢驗法其次，標記出每對數(shù)據(jù)之差的符號，正號個數(shù)記為

，負號的個數(shù)記為

，差值為0的不計算在內(nèi)，并記

，

。最后，分小樣本和大樣本兩種情況進行檢驗。（1）當為小樣本的情形下（N≤25時）計算р值：

（9-5）此處

服從參數(shù)為N和

的二項分布。當р值<ɑ時，則拒絕H0。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.1兩個配對樣本的檢驗9.3.1.1符號檢驗法（2）當為大樣本的情形下（N>25時）計算z統(tǒng)計量：

（9-6）若

，則拒絕H0，否則，接受H0（注：本章所采取的都是單側(cè)檢驗下的判斷準側(cè)）。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.1兩個配對樣本的檢驗9.3.1.2符號等級檢驗法

符號等級檢驗法（WilcoxonSigned-Ranktest）是由維爾克松提出的，有時也簡稱維爾克松檢驗法（Wilcoxontest）。其適用條件與符號檢驗法相同，也適合于配對樣本，但它的精度比符號檢驗法高，因為它不僅考慮差值的符號同時還考慮差值的大小。符號等級檢驗法一般要經(jīng)歷以下五個步驟。首先，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)H0：差值的總體分布對稱且中位數(shù)為0H1：差值的總體分布不對稱，或中位數(shù)不為0其次，將兩配對樣本數(shù)據(jù)之差按絕對值由小到大排列，若差值為0，則不參與排序。再次，在各等級前添上差值的符號。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.1兩個配對樣本的檢驗9.3.1.2符號等級檢驗法然后，記帶正號的等級和為

，記帶負號的等級和為

，并記

，

。最后，分小樣本和大樣本兩種情況進行檢驗。（1）當為小樣本的情形下（N≤25時）根據(jù)N查“維爾克森配對差等級和檢驗臨界值表”，得到

。若

，則拒絕H0，否則接受H0。（2）當為大樣本的情形下（N>25時）

計算z統(tǒng)計量：

（9-7）若

，則拒絕H0，否則，接受H0（注：本章所采取的都是單側(cè)檢驗下的判斷準側(cè)）。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.2兩個獨立總體的非參數(shù)檢驗9.3.2.1秩和檢驗法

秩和（thesumofranks）即秩次的和或者等級之和。這一方法首先由維爾克松（wilcoxon）提出，叫維爾克松兩樣本檢驗法，后來曼（Mann）與惠特尼（Whitney）二人將其應用到兩樣本容量不等的情況，因而又稱作曼-惠特尼-維爾克松秩和檢驗，或稱曼-惠特尼U檢驗。

秩——就是變量值排序的名次?？梢詫?shù)據(jù)升序（或降序）排列，每個變量值都會有一個在整個變量值序列中的位置或名次，這個位置或名次就是變量值的秩。變量值有幾個，對應的秩就有幾個。

秩和檢驗法相當于考驗兩個獨立樣本平均數(shù)之差異t檢驗法。當兩個獨立樣本不符合t檢驗法的基本假設(shè)——其總體分布不是正態(tài)時，就要用秩和檢驗法代替t檢驗法的基本假設(shè)。秩和檢驗法要經(jīng)歷以下五個步驟。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.2兩個獨立總體的非參數(shù)檢驗9.3.2.1秩和檢驗法首先，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)H0：兩總體分布相同H1：兩總體分布不同其次，將兩本數(shù)據(jù)混合，有小到大排序（相同數(shù)據(jù)占平均等級）。再次，取容量小的樣本中各數(shù)據(jù)的等級相加，記為

。最后，分小樣本和大樣本兩種情形進行檢驗（兩樣本的容量分別記為

，

）。（1）當為小樣本的情形下（

≤10,

≤10）根據(jù)

，

以及

查“維爾克森等級和檢驗的臨界值”表，得到

和

，當

時，接受原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè)。9.3兩個總體的非參數(shù)檢驗9.3.2兩個獨立總體的非參數(shù)檢驗9.3.2.1秩和檢驗法（2）當為大樣本的情形下（

>10,

>10）計算z統(tǒng)計量：

（9-8）若