陜西省2024年中考數(shù)學(xué)解答專項(xiàng)二次函數(shù)與四邊形判定練習(xí)

二次函數(shù)與四邊形判定已知拋物線L：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)M(2，－3)，與y軸交于點(diǎn)C(0，－3)．(1)求拋物線L的表達(dá)式；(2)試推斷拋物線L與x軸交點(diǎn)的狀況；(3)平移該拋物線，設(shè)平移后的拋物線為L(zhǎng)′，拋物線L′的頂點(diǎn)記為P，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，已知點(diǎn)N(2，－8)，怎樣平移才能使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？解：(1)拋物線L：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過C(0，－3)，M(2，－3)兩點(diǎn)，代入得，解得，∴拋物線L的表達(dá)式為y＝x2－2x－3；(2)令x2－2x－3＝0，則b2－4ac＝(－2)2－4×(－3)＝16>0，∴拋物線L與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(3)由題意得，M(2，－3)，N(2，－8)，∴MN∥y軸，MN＝5.∵PQ∥MN∥y軸，∴當(dāng)PQ＝MN＝5時(shí)，四邊形MNPQ為平行四邊形．∴設(shè)點(diǎn)Q(m，0)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，－5)，如解圖，要使以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，只需PN＝MN＝5，∴（m－2）2＋(－5+8)2＝52，解得m1＝6，m2＝－2.∴點(diǎn)P(6，－5)或(－2，－5)．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，第1題解圖∴拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)，∴①當(dāng)P(6，－5)時(shí)，6－1＝5，－5－(－4)＝－1.∴將原拋物線先向右平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到符合條件的拋物線L′；②當(dāng)P(－2，－5)時(shí)，－2－1＝－3，－5－(－4)＝－1.∴將原拋物線先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，可得到符合條件的拋物線L′.拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(5，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，eq\f(15,4)).(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求該拋物線的對(duì)稱軸；(3)連接AC，設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC的平行線交x軸于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)依據(jù)題意，設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝a(x＋3)(x－5)，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，eq\f(15,4))，∴eq\f(15,4)＝a×3×(－5)，解得a＝－eq\f(1,4)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,4)(x＋3)(x－5)＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(15,4)；(2)由(1)得y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(15,4)，則拋物線的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(\f(1,2),－\f(2,4))＝1，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1；(3)存在.∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴AC∥EF，且AC＝EF，如解圖.第2題解圖①當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G.∵AC∥EF，∴∠CAO＝∠EFG.又∵∠COA＝∠EGF＝90°，AC＝EF，∴△CAO≌△EFG，∴EG＝CO＝eq\f(15,4)，即yE＝eq\f(15,4)，∴eq\f(15,4)＝－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,E)＋eq\f(1,2)xE＋eq\f(15,4)，解得xE＝2(xE＝0時(shí)與C點(diǎn)重合，舍去)，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，eq\f(15,4))；②當(dāng)點(diǎn)E′在x軸下方時(shí)，過點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′，同理可求得E′(eq\r(31)＋1，－eq\f(15,4)).綜上所述，存在滿意條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，eq\f(15,4))或(eq\r(31)＋1，－eq\f(15,4)).3.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象過點(diǎn)A(－1，0)、B(0，1)，且與x軸有唯一交點(diǎn).(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表達(dá)式；(2)若將(1)中的拋物線沿y軸向下平移m個(gè)單位后與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為C、D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊)，當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，求m的值；(3)在(2)中平移后的拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使以C、D、B、E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，懇求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)由題意得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2＋2x＋1；(2)由題可知，平移后的拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x＋1－m，∵∠CBD＝90°，點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，AB＝eq\r(2)，∴AC＝AD＝AB＝eq\r(2)，∴C(－1－eq\r(2)，0)，D(－1＋eq\r(2)，0)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝x2＋2x＋1－m，解得m＝2；(3)存在.由(2)可知，平移后的拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－1.分兩種狀況探討：①當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，如解圖，第3題解圖連接BA并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使AE＝BA，連接CE、DE.可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－2，－1)，在拋物線y＝x2＋2x－1中，當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－1，∴點(diǎn)E在平移后的拋物線上，且BE＝C