小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)與試題

第一講速算與巧算(一)

一、加法中的巧算

1.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？

兩個(gè)數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬(wàn)…，就把其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)

的“補(bǔ)數(shù)”。

如：1+9=10,3+7=10,

2+8=10,4+6=10,

在上面算式中，1叫9的“補(bǔ)數(shù)”；89叫11的“補(bǔ)數(shù)”，11也叫89的“補(bǔ)數(shù)”.也就是

說(shuō)兩個(gè)數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)”。

下面利用“補(bǔ)數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。

例1巧算下面各題：

①36+87+64②99+136+101

③1361+972+639+28

3.拆出補(bǔ)數(shù)來(lái)先加。

例2①188+873(2)548+996③9898+203

4.豎式運(yùn)算中互補(bǔ)數(shù)先加。

1.把幾個(gè)互為“補(bǔ)數(shù)”的減數(shù)先加起來(lái)，再?gòu)谋粶p數(shù)中減去。

例3①300-73-27

②1000-90-80-20-10

2,先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。

例4①4723-(723+189)

②2356-159-256

3?利用“補(bǔ)數(shù)”把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運(yùn)算(注意把多加的數(shù)再減去,

把多減的數(shù)再加上)。

例5?506-397

②323-189

③467+997

@987-178-222-390

987-(1784-222)-390

=987-400-400+10=197

三、加減混合式的巧算

1.去括號(hào)和添括號(hào)的法則

在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則不論去掉括號(hào)或添上括號(hào)，括號(hào)

里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“-”號(hào)，則不論去掉括號(hào)或添上括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)

算符號(hào)都要改變，變“/，“-”變“+”，即：

a4-(b+c+d)=a+b+c+d

a-(b+a+d)=a-b-c-d

a-(b-c)=a-b+c

例6①100+(10+20+30)

②100-(10+20+30)

③100-(30-10)

2,帶符號(hào)“搬家”

例8計(jì)算325+46-125+54

3.兩個(gè)數(shù)相同而符號(hào)相反的數(shù)可以直接“抵消”掉

例9計(jì)算9+2-9+3

4.找“基準(zhǔn)數(shù)”法

②式:（125X8）X（25X4）X（5X2）

=1000X100X10=1000000

2.分解因數(shù)，湊整先乘。

例2計(jì)算①24X25

②56X125

③125X5X32X5

解：①式二6X（4X25）

=6X100=600

②式=7X8X125=7X（8X125）

=7X1000=7000

③式二125X5X4X8X5=（125X8）X（5x5x4）

=1000X100=100000

3.應(yīng)用乘法分配律。

例3計(jì)算①175X34+175X66

②67X12+67X35+67X52+6

解：①式二175X（34+66）

=175X100=17500

②式二67X（12+35+52+1）

=67X100=6700

（原式中最后一項(xiàng)67可看成67X1）

例4計(jì)算①123X101②123X99

解：①式二123X（100+1）=123X100+123

上樓梯問題

第三講上樓梯問題

有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需

要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯(cuò)了.正確的答案應(yīng)該是3分

鐘。

為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來(lái)從一層上到四層，只要上三層樓梯，

而不是四層樓梯。

下面我們來(lái)看幾個(gè)類似的問題。

例1裁縫有一段16米長(zhǎng)的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？

分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，笫一天就可以剪去最

后一段，4米里有2個(gè)2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4

米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個(gè)2米，只用2天；如果呢子有8

米，第一天剪去2米，還乘臟米，第二天再剪2米，還乘必米，這樣第三天即可剪

去最后一段,8米里有4個(gè)2米，用3天，...

我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個(gè)數(shù)少1.因此，只要看16米

里有幾個(gè)2米，問題就可以解決了。

解：16米中包含2米的個(gè)數(shù)：16+2=8（個(gè)）

剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1二7（天）

答：第七天就可以剪去最后一段。

例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少

秒？

分析I-I把一根木料切成2段，切1次；

IIII把一根木料切成3段,切2次；

I口II把.一根木料切成4段,切3次；

可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4

段，實(shí)際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時(shí)間了，又由于用同

樣的速度切成5段；實(shí)際上切了4次，這樣切成5段所用的時(shí)間就可以求出來(lái)

了。

解:切一次所用的時(shí)間:24-（4-1）=8（秒）

切5段所用的時(shí)間：8X（5-1）=32（秒）

答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。

例3三年級(jí)同學(xué)120人排成4路縱隊(duì)，也就是4個(gè)人一排，排成了許多排，

現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊(duì)伍長(zhǎng)多少汴？

解：因?yàn)槊?人一排,所以共有：120+4=30（排）

30排中間共有29個(gè)間隔，所以隊(duì)伍長(zhǎng)：1X29=29（犬）

答：這支隊(duì)伍長(zhǎng)29米。

例4時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

分析如果盲目地計(jì)算：12+43（秒），3X6=18（秒），認(rèn)為敲6下需

要18秒鐘就錯(cuò)了.請(qǐng)看下圖：

12秒

八

tttttt

第1下第2下第3下第4下第5下第6下

時(shí)鐘敲4下，其間有3個(gè)間隔，每個(gè)間隔是：12+3二4（秒）；時(shí)鐘敲6下，

其間共有5個(gè)間隔，所用時(shí)間為：

4X5=20（秒）o

解:每次間隔時(shí)間為：12-（4-1）=4（秒）

敲6下共用的時(shí)間為：4X（6-1）=20（秒）

答：時(shí)鐘敲6下共用20秒。

例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，目悌停開，如從1層走

到4層需要48秒，請(qǐng)問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

分析要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還

要知道從4樓走到8樓共走幾層樓悌.上一層樓模需要：48-（4-1）二16

（秒）,從4樓走到8樓共走8Y=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。

解：上一層樓梯需要：48+（4-1）=16（秒）

從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓悌

還需要的時(shí)間：16X4二64（秒）

答：還需要64秒才能到達(dá)8層。

例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級(jí)臺(tái)階，如果各層樓之間的臺(tái)階數(shù)

相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級(jí)臺(tái)階？

分析要求晶晶從笫1層走到第6層需要走多少級(jí)臺(tái)階，必須先求出每一層

樓梯有多少臺(tái)階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓模。

從1樓到3樓有3-1二2層樓梯，那么每一層樓梯有36+2=18（級(jí)）臺(tái)階，而

從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。

解：每一層樓梯有：36+（3-1）=18（級(jí)臺(tái)階）

晶晶從1層走到6層需要走：18X（6-1）=90（級(jí)）臺(tái)階。

答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級(jí)臺(tái)階。

注：例1~例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之

處，請(qǐng)同學(xué)們自己去體會(huì).爬樓悌問題的解題規(guī)律是：所走的臺(tái)階數(shù)二每層樓悌

的臺(tái)階數(shù)X（所到達(dá)的層數(shù)減起點(diǎn)的層數(shù)）。

第四講植樹與方陣問題

三年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第四講植樹與方陣問題

第四講植樹與方陣問題

一、植樹問題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會(huì)怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素；①

總路線長(zhǎng).②間距（棵距）長(zhǎng).③棵數(shù).只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素.就

可以求出第三個(gè)。

關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

1.不封閉路線

例：如圖

電jk.-率.

間距

\_________________/

IK

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多L如上圖把總

長(zhǎng)平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

棵數(shù)二段數(shù)+1二全長(zhǎng)+株距+1

全長(zhǎng)二株距X（棵數(shù)-1）

株距二全長(zhǎng)+（棵數(shù)-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少

1,即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：

全長(zhǎng)二株距x棵數(shù)；

棵數(shù)二全長(zhǎng)+株距；

株距二全長(zhǎng)一棵數(shù)。

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。

例如：在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合

在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

裸數(shù)二段數(shù)二周長(zhǎng)一株距.

二、方陣問題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相

等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問

題）。

方陣的基本特點(diǎn)是：

①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每

邊上的人數(shù)就少2。

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

四周人（或物）數(shù)二[每邊入（或物）數(shù)-1]X4；

每邊入（或物）數(shù)二四周人（或物）數(shù)+4+1。

③中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù):每邊入（或物）數(shù)X每邊人（或物）數(shù)。

例1有一條公路長(zhǎng)900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可

栽多少根電線桿？

分析要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長(zhǎng)可分成若干段.由

于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。

解：以10米為一段，公路全長(zhǎng)可以分成

900-^10=90（段）

共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）

答：可栽電線桿91根。

例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問

汽車每小時(shí)走多少千米？

分析張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段

路的長(zhǎng)度就容易求出汽車速度.

解：5分鐘汽車共走了：

9X（501-1）=4500（米），

汽車每分鐘走：4500^5=900（米），

汽車每小時(shí)走：

900X60=54000（米）=54（千米）

列綜合式：

9X（501-1）+5X60+1000=54（千米）

答：汽車每小時(shí)行54千米。

例3某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊

有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？

分析根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：

每邊人數(shù)二四周人數(shù)+4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣

隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

解：方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人）

整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16X16=256（人）

答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

例4晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶

擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？

分析方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14

個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層

總數(shù)。

解：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：X4=52（個(gè)）

第二層棋子個(gè)數(shù)：X4=44（個(gè)）

第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-2X2-1）X4=36（個(gè)）.

擺這個(gè)方陣共用棋子:

52+44+36=132（個(gè)）

還可以這樣想：

中空方陣總個(gè)數(shù)二（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X4進(jìn)行計(jì)算。

解:（14-3）X3X4=132（個(gè)）

答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子。

例5一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥

花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的

株距是多少米？

分析①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)二段數(shù),②由于相鄰

的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵

數(shù)是芍藥的2倍。

解：共可栽芍藥花：180+6=30（棵）

共種月季花：2X30=60（棵）

兩種花共：30+60=90（棵）

兩棵花之間距離：180+90=2（米）

相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花

的株距是2米或4米。

答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

例6一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.己知從每

個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.巨大三角形邊上栽有多

少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？

分析①?gòu)囊阎獥l件中可以知道大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍.又知

道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為

9X2-1=17（棵）。

②又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所

以大三角形三條邊上共栽花

（17-1）X3=48（棵）。

③.再看圖中畫斜線的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上,在計(jì)算大

三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過(guò)一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2二7

（裸）

解：大三角形三條邊上共栽花：

（9X2-1-1）X3=48（棵）

中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

（9-2）X3=21（棵）

整個(gè)花壇共栽花：48+21=69（棵）

答：大三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。

習(xí)題四

1.一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多

少林？

2,有一正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四個(gè)角各種1棵，共種樹多少棵？

3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時(shí)從路的一端的某一棵樹出

發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的笫22棵樹時(shí)，乙剛走到從乙那邊數(shù)的笫10棵樹.己

知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？

4.在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn).從右向左每

隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn)，在兩個(gè)紅點(diǎn)之間長(zhǎng)為4厘米的間距有幾段？

第五講找?guī)缀螆D形的規(guī)律

第五講找?guī)缀螆D形的規(guī)律

找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀

察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的

問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來(lái)觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識(shí)有助于

養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡(jiǎn)到繁觀察思考問題的良好習(xí)噴，可以逐步掌握通

過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來(lái)解決問題的方法。

下面就來(lái)看幾個(gè)例子。

△△△△

△△△□

△?□□

△□□□

圖5-1

例1按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律,

在帶“？”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？

分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個(gè)數(shù)依次減少，而正方形的個(gè)

數(shù)依次增多，且三角形的個(gè)數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然啦等于2；圖5—2

中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)從左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多兩

個(gè)點(diǎn).事實(shí)上，本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系二，是一種較為基本

的、簡(jiǎn)單的變化模式。

(a)(b)(c)(d)(e)

圖5-2

解：在圖5—1的“？”處應(yīng)是三角形4,在圖5—2的“？”處應(yīng)是

例2請(qǐng)觀察右圖中己有的幾個(gè)圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。

O△□

□O

A0

分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一

個(gè)正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重

復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我

們知道這個(gè)圖的特點(diǎn)是：

①僅由圓、三角形、正方形組成；

②各行各列中，都只有一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)IE方形。

因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個(gè)三角形，而第三

行的空格中應(yīng)填一個(gè)正方形。

解略。

例3按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在”處填上合適的圖形.

(a)(b)(c)(d)

分析顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時(shí)，

圖（a）、（c）中都有3個(gè)圖形，而（b）中只有兩個(gè).由此可知：圖（a）到

（b）的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖（c）到（d）的變化規(guī)律.再注意到圖（a）到圖

（b）中圖形在繁簡(jiǎn)、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中的圖形

了。

解：在上圖的”處應(yīng)填如下圖形.

例4下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)仔細(xì)觀察，并在“？”處填上適當(dāng)

的圖形.

分析本題中，首先可以注意到每個(gè)圖形都由大、小兩部分組成，而且，

大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個(gè)圖形均不相

同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來(lái)考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)

現(xiàn)：對(duì)于大圖形來(lái)說(shuō)，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個(gè)

大正方形，一個(gè)大三角形和一個(gè)大圓，對(duì)于小圖形也是如此，這樣，“？”處

的圖形就不難得出。

解：圖中，（b）、（f）、（h）處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖

丙.

6?回

甲乙丙

小結(jié)：對(duì)于較復(fù)雜的圖形來(lái)說(shuō)，有時(shí)候需要把圖形分開幾部分來(lái)單獨(dú)考慮

其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

例5觀察下列各組圖的變化規(guī)律，并在“？”處畫出相關(guān)的圖形.

丙丁

分析我們先來(lái)看這樣兩個(gè)圖:

（甲）圖與（乙）圖中，點(diǎn)A、B、C、D的順序和距離都沒有改變，只是每

個(gè)點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，如：甲圖中，A在左方；而乙圖中，A在上方，……我

們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，乙圖可以看作是甲圖

沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)J個(gè)圓（或90°）而得到的，甲圖也可以看作是由乙

圖沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn);個(gè)圓（90°）而得到的.同樣的道理，我們

4

可以把噩?］噩的位置變化也稱為旋轉(zhuǎn)，叫做沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

90。（或一格）。

現(xiàn)在我們?cè)倩氐筋}目上來(lái)，容易看出：例5題中按（a）、（b）、（c）、

（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）順序排列的9個(gè)圖形，它們的變化

規(guī)律是：每一個(gè)圖形（躲外）都是由其前一個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得到的.

甲乙丙丁四個(gè)圖形變化規(guī)律也類似。

解：圖（i）處的圖形應(yīng)是下面左圖，丁圖處的圖形應(yīng)是下面右圖

OO

注意：因?yàn)閳D形是由旋轉(zhuǎn)而得到的，所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉(zhuǎn)

而變化，作圖的時(shí)候要注意到這一點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握好這個(gè)概念，可以提高觀察能力，加快解

題速度，對(duì)于許多問題的解決，也有事半而功倍的效果。

下面再來(lái)看幾個(gè)例子：

例6仔細(xì)觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填入合適的圖形.

公zka?4

(a)(b)甲

((1)⑷(￡)

分析顯然，圖（a）、（b）的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖（c）的變化規(guī)律；圖

（d）、（e）的變化規(guī)律也對(duì)應(yīng)于圖（f）的變化規(guī)律，我們先來(lái)觀察（a）、

（b）兩組圖形，發(fā)現(xiàn)在形狀、位置方面都發(fā)生了變化，即把圓變?yōu)樗囊话胍?/p>

一半圓，把三角形也變?yōu)樗囊话胍灰恢苯侨切?；同時(shí)，變化后圖形的位置

相當(dāng)于把原圖形沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到.因此，我們很容易地就把圖

（c）中的直角梯形還原為等腰梯形并通過(guò)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到圖（c）“？”處

的圖形。

當(dāng)我們從左到右來(lái)觀察圖（d）、（e）的變化規(guī)律時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，圖

（d）、（e）的變化規(guī)律有與圖（a）、（b）相同的一面，即都是把一個(gè)圖形

變?yōu)樽陨淼囊话?，但也有與圖（a）、（b）不同的一面，即圖（d）、（e）中

右半部分的圖形無(wú)法通過(guò)旋轉(zhuǎn)原圖來(lái)得到，只能通過(guò)上下翻轉(zhuǎn)而獲得.這樣，我

們就得到了這些圖形的變化規(guī)律。

解：圖（c）中“？”處的圖形應(yīng)是下面甲圖，圖（f）中“？”處的圖形

應(yīng)是乙圖.

叵］E

甲乙

小結(jié)：本題是一道較為復(fù)雜的題，觀察的出發(fā)點(diǎn)主要有3點(diǎn)：①形狀變

化；②位置變化；③顏色變化。

例7四個(gè)小動(dòng)物排座位，一開始，小鼠坐在第1號(hào)位子上，小梁坐在笫2號(hào)，小

兔坐在第3號(hào)，小貓坐在第4號(hào).以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交

換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再

左右兩列交換…這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號(hào)位子

上？（參看下圖）

12鼠魂

34兔貓

位子圖開始第一次第二次第十次

分析這是“華羅庚金杯”第二屆初賽的一道試題，如果有充裕的時(shí)間，我

們當(dāng)然可以把十次變化的圖都畫出來(lái)，從而得到答案.10并不是一個(gè)很大的數(shù)

字，因此這樣的方法雖然麻煩，卻也是行之有效的.然而，在初賽中，本題的思

考時(shí)間只有30秒，不可能一步步把圖畫出來(lái)，這就要求我們仔細(xì)觀察，認(rèn)真思

考，找出規(guī)律再做題。

方法1：因?yàn)轭}目中間的只是第十次交換位子后，小兔的位子是幾.因此，

我們只需考慮小兔的位子變化規(guī)律，小兔剛開始時(shí)在3號(hào)位子，記為③，則

變化過(guò)程為：③一次①二次②三次④四次③一??容易看出，每一

次交換座位，小兔的座位按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一格，每四次交換座位后，小

兔又回到原處，知道了這個(gè)規(guī)律，就不難得出答案.即10次后，小兔到了第2號(hào)

位子。

方法2：受方法一的啟示，我們可以思考，其他小動(dòng)物的變化規(guī)律怎樣？四

個(gè)小動(dòng)物的整體變化規(guī)律又怎樣呢？事實(shí)上，當(dāng)我們仔細(xì)觀察示意圖時(shí)會(huì)發(fā)

現(xiàn)，開始的圖沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兩格（即180°）時(shí)，恰得到第二次交換位子后

的圖，由此可以知道，每一次上下交換后再一次左右交換的結(jié)果就相當(dāng)于把原

圖沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180。，第十次交換位子后，相當(dāng)于是這些小動(dòng)物沿順時(shí)針

方向轉(zhuǎn)了4圈半，這樣，我們就得到了小兔的位子及它們的整體變化規(guī)律.但其

中需注意一點(diǎn)的是：?jiǎn)为?dú)一次上下（或左右）的交換與旋轉(zhuǎn)90°得到的結(jié)果是

不同的.小貓、小鼠的位子變化規(guī)律是沿逆時(shí)針方向，而小猴的位子變化規(guī)律與

小兔相似。

解：第十次交換位子后，小兔到了2號(hào)位子。

例8將A、B、&D、E、F六個(gè)字母分別寫在正方體的六個(gè)面上，從下面三種不

同擺法中判斷這個(gè)正方體中，哪些字母分別寫在相對(duì)的面上。

（a）（b）（c）

分析本題所給的是一組立體幾何圖形.但是，我們注意到：由于圖（a）、

（b）、（c）都是同一個(gè)正方體的不同擺法，所以，（a）、（b）、（c）可以

通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)互相轉(zhuǎn)化，這三個(gè)圖形中，字母C所在的一面始終不改變位置.因

此，這三個(gè)圖形的轉(zhuǎn)化只能是前后轉(zhuǎn)動(dòng).把圖（a）向后翻轉(zhuǎn)一次（90°）得圖

（b）,由此可知，字母A的對(duì)面是D,把圖（a）向前翻轉(zhuǎn)一次（90°）得圖

（c）,所以，字母B的對(duì)面是字母E,最后得出只有字母C、F相對(duì)。

解：正方體中，相對(duì)的字母分別是A—D、B—E、C—Fo

總結(jié)：一般地說(shuō)，在觀察圖形變化的規(guī)律時(shí)，應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)來(lái)考慮問

題：

1.圖形數(shù)量的變化；

2.圖形形狀的變化；

3.圖形大小的變化；

4.圖形顏色的變化；

5.圖形位置的變化；

6.圖形磬簡(jiǎn)的變化等。

對(duì)較復(fù)雜的圖形，也可分成幾部分來(lái)分別考慮.總而言之，只要全面觀察,

勤于思考，就一定能抓住規(guī)律、解決問題。

三年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第五講找?guī)缀螆D形的規(guī)律習(xí)題

習(xí)題五

1.順序觀察下面圖形，并按其變化規(guī)律在“？”處填上合適的圖形。

??

??

?吊^

=

⑸■

力5

#

■

(d)㈤

備

？

⑴

(g)

2.一個(gè)正方體的小木塊，1與6、2與5、3與4分別是相對(duì)面，如照下圖那樣

放置，并按圖中箭頭指示的方向翻動(dòng)，則木塊翻動(dòng)到第5格時(shí)，木塊正上方那一

面的數(shù)字是多少？

第六講找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律

第六講找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律

日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：

自然數(shù)31,2,3,4,5,6,7,…(1)

年份：1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996(2)

某年級(jí)各班的學(xué)生人數(shù)(按班級(jí)順序一、二、三、四、五班排列)

45,45,44,46,45(3)

像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)

數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2個(gè)數(shù)稱為第2

項(xiàng)，…，第n個(gè)數(shù)就稱為第n項(xiàng).如數(shù)列(3)中，第1項(xiàng)是45,第2項(xiàng)也是45,第3

項(xiàng)是44,第4項(xiàng)是46,第5項(xiàng)45。

根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列(即有有窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)

列)稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列(即有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)內(nèi)數(shù)列)稱為無(wú)窮數(shù)

列，上面的幾個(gè)例子中，(2)(3)是有窮數(shù)列，(1)是無(wú)窮數(shù)列。

研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù),

本講將從簡(jiǎn)單數(shù)列出發(fā)，來(lái)找出數(shù)列的規(guī)律。

例1觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的

數(shù).

①2,5,8,11,(),17,20。

②19,17,15,13,(),9,7o

③1,3,9,27,(),243。

④64,32,16,8,(),2。

⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34-

@1,3,4,7,11,18,(),47-

?1,3,6,10,(),21,28,36,().

@1,2,6,24,120,(),5040。

?I,1,3,7,13,(),31。

?1,3,7,15,31,(),127,255。

(11)1,4,9,16,25,O49,64。

(12)0,3,8,15,24,O48,63o

(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,()?

(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().

分析與解答

①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因

此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14,即：丑+3=14。

②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填

11,即：13—2=11o

不妨把①與②聯(lián)系起來(lái)繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，

每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每

一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個(gè)

數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值.我們把類似①②這樣

的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.

③1,3,9,27,(),243。

此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)

都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1X3,9=3X3,27二9X3.因此，括號(hào)中應(yīng)填

81,即81=27X3,代入后，243也符合規(guī)律，即243=81X3。

?64,32,16,8,(),2

與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：

第1項(xiàng)64=32X2

第2項(xiàng)32=16X2

第3項(xiàng)16=8X2

第4項(xiàng)8…

因此，括號(hào)中填4,代入后符合規(guī)律。

綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有

一個(gè)共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把

它稱為等比數(shù)列。

⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34-

首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨

看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前

面兩項(xiàng)的和,即2=1+1,3=2+1,5=2+3,8=3+5.因此,括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是13,

即13=5+8,21=8+13,34=13+2k

這個(gè)以1,1分別為第1、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和的無(wú)窮數(shù)

列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來(lái)源于一個(gè)有趣的問題：如果一對(duì)成

熟的兔子一個(gè)月能生一對(duì)小兔，小兔一個(gè)月后就長(zhǎng)成了大兔子，于是，下一個(gè)

月也能生一對(duì)小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對(duì)兔子都是

一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長(zhǎng)，按順序記錄每個(gè)月中所有兔

子的數(shù)目(以對(duì)為單位，一月記一次)，就得到了一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列就是數(shù)

列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級(jí)遞推方法中我們還

要作詳細(xì)介紹。

@1,3,4,7,11,18,(),47-

在學(xué)習(xí)了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見"，從第3項(xiàng)開始，每

一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號(hào)中應(yīng)填的是29,即29=11+18。

數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項(xiàng)為3,而數(shù)列⑤為1,數(shù)列⑥

稱為魯卡斯數(shù)列。

?1,3,6,10,(),21,28,36,()。

方法L繼續(xù)考察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：

第1項(xiàng)1二1

第2項(xiàng)3=1+2-項(xiàng)數(shù)

第3項(xiàng)6=3+3+?項(xiàng)數(shù)

第4項(xiàng)10=6+4■*-項(xiàng)數(shù)

因此，可以猜想，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為：每一項(xiàng)等于它的項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的

和，那么,第5項(xiàng)為15,即15=10+5,最后一項(xiàng)即第9項(xiàng)為45,即45=36+9.

代入驗(yàn)算，正確。

方法2：其實(shí)，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：

第1項(xiàng)：1二1

第2項(xiàng)：3=1+2

第3項(xiàng)：6=1+2+3

第4項(xiàng)：10=1+2+3+4

第5項(xiàng)：()

第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6

第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7

第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9項(xiàng)：()

即這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最人數(shù)的n個(gè)連

續(xù)自然數(shù)的和.因此，

第五項(xiàng)為15,即：15=1+2+3+4+5；

第九項(xiàng)為45,即：45=l+2+3+4+5+6+7+8+9o

(§)1,2,6,24,120,(),5040。

方法1：這個(gè)數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項(xiàng)相加減后，看不出任何規(guī)律.

考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項(xiàng)的商，顯然：

'第1項(xiàng)：

'2+1=2

第2項(xiàng)：2=1X2

6+2=3也即,第3項(xiàng)：613x3

24+6=4

第4項(xiàng)：21^><4

120+24=5

第5項(xiàng)：120=24X5

所以，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：除笫1項(xiàng)以外的每一項(xiàng)都等于其項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)

的乘積.因此，括號(hào)中的數(shù)為第6項(xiàng)720,即720=120X6o

方法2：受⑦的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然:

第1項(xiàng)1=1

第2項(xiàng)2=1乂2

第3項(xiàng)6=1X2X3

第4項(xiàng)24=1X2X3X4

第5項(xiàng)120=1X2X3X4X5

第6項(xiàng)()

第7項(xiàng)5040=1X2X3X4X5X6X7

所以，第6項(xiàng)應(yīng)為1X2X3X4X5X6=720

⑨1,1,3,7,13,(),31

與⑦類似：

第1項(xiàng)1、

第2項(xiàng)耳+2X(2-2)

第3項(xiàng)3=1+2X(372)I

第4項(xiàng)7=3+2X(公2)項(xiàng)數(shù)

第5項(xiàng)1箱+2X(5-2)

可以猜想，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項(xiàng)二前項(xiàng)+2X（項(xiàng)數(shù)-2）（第1項(xiàng)除外），那

么，括號(hào)中應(yīng)填21,代入驗(yàn)證，符合規(guī)律。

?1,3,7,15,31,（）,127,255。

為了書寫的方便引進(jìn)一符號(hào)，記：2X2X...X2=2\其中n為自然數(shù)，

a_，

n個(gè)2相市

則：

第1.項(xiàng)：1二1

第2項(xiàng)：3二1+21---------------------1

第3項(xiàng)：7=1+21+22*-------------------

第4項(xiàng)：15=1+21+22+23---------------

第5項(xiàng)：31=1+21+22+23+24*-------------^數(shù)-1

第6項(xiàng)：（）

第7項(xiàng)：127=1+21+22+23+24+25+26<-----

笫8項(xiàng)：255=1+21+22+23+24+25+26+27」

因此，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填為63。

小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個(gè)方面來(lái)考慮：①尋找各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)間的

關(guān)系；②考慮相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。

事實(shí)上，數(shù)列⑦或數(shù)列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個(gè)不同的角度來(lái)

考慮問題的.但有時(shí)候，從兩個(gè)角度的綜合考慮會(huì)更有利于問題的解決.因此，

仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?huì)使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。

在?題中，1二2-1

3=22-1

7=23-1

15=21-1

31=25-1

127=27-1

255=28-1

255=26-1

所以，括號(hào)中為2丁1即63。

(11)1,4,9,16,25,(),49,64.

1=1X1,4=2X2,9=3X3,16=4X4,25=5X5,49=7X7,64=8X8,

即每項(xiàng)都等于自身項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號(hào)中的數(shù)是36。

本題各項(xiàng)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來(lái)考慮問題，勢(shì)必要走彎路。

(12)0,3,8,15,24,(),48,63。

仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項(xiàng)加上1正好等于數(shù)列(11),因此，本數(shù)列

的規(guī)律是項(xiàng)二項(xiàng)數(shù)X項(xiàng)數(shù)-1.所以，括號(hào)中填35,即35=6X6-E

(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,()。

(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,1)。

前面的方法均不適用于這個(gè)數(shù)列，在觀察的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中

的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1,2,3,4,5,而它們恰好是第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5

項(xiàng)、第7項(xiàng)和第9項(xiàng)，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項(xiàng)(即第1,3,5,7,9項(xiàng))和偶

數(shù)項(xiàng)(即第2,4,6,8項(xiàng))來(lái)考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)重新分組排列如

下：

奇數(shù)項(xiàng)：1,2,3,4,5

偶數(shù)項(xiàng)：2,4,8,16可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一

等比數(shù)列.因此，括號(hào)中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32(32=16X2)。

(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,()。

同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項(xiàng)：

偶數(shù)項(xiàng)：2,4,6,8,10

奇數(shù)項(xiàng)：1,3,9,27,().所以，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)

列，括號(hào)中應(yīng)填81(81=27X3)。

像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中都含有兩個(gè)系列，這兩個(gè)系列的規(guī)律

各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重?cái)?shù)列。

例2下面數(shù)列的每一項(xiàng)由3個(gè)數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：

(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…問：第100個(gè)數(shù)組內(nèi)3個(gè)數(shù)的

和是多少？

方法1：注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個(gè)分量依次是：1,2,3…構(gòu)成等差

數(shù)列，所以第100個(gè)數(shù)組中的第1個(gè)數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個(gè)分量3,6,

9…也構(gòu)成零差數(shù)列，且3=3X1,6=3X2,9=3X3,所以第100個(gè)數(shù)組中的第2個(gè)

數(shù)為3X100=300；同理，第3個(gè)分量為5X100二500,所以，第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)

數(shù)的和為100+300+500=900。

方法2：因?yàn)轭}目中間的只是和，所以可以不去求組旦的三個(gè)數(shù)而直接求

和，考察各組的三個(gè)數(shù)之和。

第1組：1+3+5=9,第2組：2+6+10=18

第3組：3+9+15=27-,由于9二9XI,18=9X2,27=9X3,所以9,

18,27…構(gòu)成一等差數(shù)列，第100項(xiàng)為9X100=900,即第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的

和為900。

例3按下圖分割三角形，即：①把三角形等分為四個(gè)相同的小三角形(如圖

(b))；②把①中的小三角形(尖朝下的除外)都等分為四個(gè)更小的三角形

(如圖(C))…繼續(xù)下去，將會(huì)得到一系列的圖，依次把這些圖中不重疊的三

角形的個(gè)數(shù)記下來(lái)，成為一個(gè)數(shù)列：1,4,13,40…請(qǐng)你繼續(xù)按分割的步驟，

以便得到數(shù)列的前5項(xiàng).然后，仔細(xì)觀察數(shù)列，從中找出規(guī)律，并依照規(guī)律得出

數(shù)列的第10項(xiàng)，即第9項(xiàng)分割后所得的圖中不重疊的小三角形的個(gè)數(shù).

分析與解答

笫4次分割后的圖形如左圖:

因此，數(shù)列的第5項(xiàng)為121。

這個(gè)數(shù)列的規(guī)律如下：

第1項(xiàng)1

第2項(xiàng)4二1+3

第3項(xiàng)13=4+3X3

第4項(xiàng)駁二13+3X3X3

第5項(xiàng)121=40+3X3X3X3

或者寫為：第1項(xiàng)1:1

第2項(xiàng)4=1+31

第3項(xiàng)13=1+3+32

第4項(xiàng)40=1+3+32+33

第5項(xiàng)121=1+3+3升3s+34

因此，第10項(xiàng)也即第第:分割后得到的不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是29524。

例4在下面各題的五個(gè)數(shù)中，選出與其他四個(gè)數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉,

再?gòu)睦ㄌ?hào)中選一個(gè)合適的數(shù)替換。

①42,20,18,48,24

(21,54,45,10)

②15,75,60,45,27

(50,70,30,9)

③42,126,168,63,882

(27,210,33,25)

解：①中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20,用

54代替。

②15、75、60、45都是15的整數(shù)倍數(shù)，而27不是，用30來(lái)替換27。

③同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而

63卻不是.因此，用210來(lái)代替63。

習(xí)題六

按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：

1.1,2,3,4,5,(),7…

2.100,95,90,85,80,(),70

3.1,2,4,8,16,(),64

1111「、1

415'"牙記’(；*64

5.2,1,3,4,7,(),18,29,47

6.1,2,5,10,17,(),37,50

7.1,8,27,64,125,(),343

8.1,9,2,8,3,(),4,6,5,5

第七講填算式(一)

第七講填算式（一）

在這一講中介紹填算式的未知數(shù)的方法.我們將根據(jù)算式中給定的運(yùn)算關(guān)系

或數(shù)量關(guān)系，利用運(yùn)算法則和推理的方法把待定的數(shù)字確定出來(lái).研究和解決這

一類問題對(duì)學(xué)生觀察能力、分析和解決問題的能力，以及聯(lián)想、試探、歸納等

思維能力的培養(yǎng)有重要的作用。

例1在下面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.

□8口

+□6口3

□□128

分析這是一個(gè)三位數(shù)加上一個(gè)四位數(shù)，其和為五位數(shù)，因此和的首位數(shù)字

為1,進(jìn)一步分析，由于百位最多向千位進(jìn)1,所以第二個(gè)加數(shù)的千位數(shù)

字為9,和的千位數(shù)字為0.現(xiàn)在看個(gè)位，由于[5J+3=8,所以第一個(gè)加數(shù)

的個(gè)位為5.再看十位，由于8+困=12,所以第二個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字為4.

最后看百位，由于@+6+1=11,所以第一個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字為4.因此

問題得解.

S]8E]

+⑼6回3

眸口回128

例2在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。

63口口

□□78

□026

分析這是一個(gè)四位數(shù)加上一個(gè)四位數(shù)，其和仍為四位數(shù).先從個(gè)位入手,

由于回+8=16,所以第一個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字為&再看十位，由于

團(tuán)+7+1=12,所以第一個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字為4.百位上，由于3+叵1+1

=10,所以第二個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字為6.最后看千位，由于6+四+1=8,

6+[2]+1=9,所以第二個(gè)加數(shù)的千位數(shù)字為1或2。

解：此題有以下兩解。

63回叵]630]H]

+四國(guó)78+②固73

[8]026回026

例3用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字組成下面的加法算式，每個(gè)

數(shù)字只許用一次，現(xiàn)己寫出三個(gè)數(shù)字，請(qǐng)把這個(gè)算式補(bǔ)齊.

□□4

+28口

□□□□

分析由于三位數(shù)加三位數(shù)，其和為四位數(shù)，所以和的首位數(shù)字為1,第一

個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字為9或九

如果笫一個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字為9,則和的百位數(shù)字為二或2,而1和2都己用

過(guò)，所以第一個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字不為9。

如果第一個(gè)加數(shù)的百位數(shù)字為7,則和的百位數(shù)字必為0,且十位必向百位

進(jìn)1.現(xiàn)在還剩下9,6,5,3這四個(gè)數(shù)字，這里只有一個(gè)偶數(shù)，如果放在笫二個(gè)

加數(shù)（或和）的個(gè)位，那么和（或第二個(gè)加數(shù)）的個(gè)位也必為偶

數(shù)，但這是不可能的，所以6只能放在十位.由于4+回二13,所以第二

個(gè)加數(shù)的個(gè)位為9,和的個(gè)位為3.又由于回+8+1=15,所以第一個(gè)加數(shù)

的十位數(shù)字為6,和的十位數(shù)字為5。

解：

HE4

+28團(tuán)

田回|—

例4在下面算式的空格內(nèi)填上合適的數(shù)字，使算式成立。

□□□

-91

□

分析由于被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是兩位數(shù)，差是一位數(shù)，所以被減數(shù)的首

位數(shù)字為1,且十位必向百位借1,由于差是一位數(shù)，所以個(gè)位必向十位借1.因

此，被減數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0,被減數(shù)的十位數(shù)字也為0。

解：

□EE

-91

S

例5在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。

□00□

-50口9

1口93

分析這是一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)四位數(shù)，差仍為四位數(shù).先看個(gè)位，由于

B-9=3,所以被減數(shù)的個(gè)位數(shù)字為2,十位上，由于9-@二9,所以

減數(shù)的十位數(shù)字為0。再看百位，由于9-0二回，所以差的百位數(shù)字為

9.最后看千位，由于四七-1二1,所以被減數(shù)的千位數(shù)字為7。

解：

Eo。②

-50回9

1國(guó)93

例6在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.

□8口

+4口2

□□□□

-□□□

F

分析這是一道加減混合的填算式題，為了便于分析，可以把加法、減法分

開考慮：

□8口□□□□

+4□2-□□□

□□□□~

觀察這兩個(gè)算式，減法算式空格內(nèi)的數(shù)字容易填。

三年級(jí)奧數(shù)上冊(cè)：第七講填算式（一）習(xí)題

習(xí)題七

1.在下面的加法算式的空格內(nèi)各