（中考高分突破）數(shù)學(xué)（三）-2024年中考考前20天終極沖刺攻略（原卷版）

目錄contents

（三）

圖形的初步認(rèn)識命題預(yù)測知識導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯專練滿分訓(xùn)練名師押題01

三大幾何變換命題預(yù)測知識導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯專練滿分訓(xùn)練名師押題21

三角形命題預(yù)測知識導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯專練滿分訓(xùn)練名師押題39

圖形的相似命題預(yù)測知識導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯專練滿分訓(xùn)練名師押題60

銳角三角函數(shù)命題預(yù)測知識導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯專練滿分訓(xùn)練名師押題77

圖形的初步認(rèn)識

［中考命題預(yù)測

從題型來看，主要會以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，畢竟這種基礎(chǔ)知識點(diǎn)，考查的就是學(xué)生的掌握程度，

題目不會太難。當(dāng)然，也不能掉以輕心，有時候也會出一些稍微靈活一點(diǎn)的題目，需要學(xué)生結(jié)合其他知識點(diǎn)進(jìn)行

解答。

在內(nèi)容上，可能會涉及到圖形的性質(zhì)、分類、以及基礎(chǔ)的幾何變換等等。

;思維導(dǎo)圖

;‘應(yīng)試必備

I、線段、射線、直線

一、線段

1.線段：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，這兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).

2.線段的特征：有兩個端點(diǎn)，有長度，無方向.

3.線段的表示方法:

（1）線段可用表示它兩個端點(diǎn)的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA；

AB

圖1圖2

（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖2所示，記作：線段a.

4.線段基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短.

5.線段沒有方向，但線段的延長線和反向延長線是有方向的，如“線段AB的延長線”和“線段BA的延長

線”表示的方向是不同的.（延長線一般用虛線）.

6.線段的中點(diǎn)：如圖所示，點(diǎn)C把線段AB分成兩條相等的線段AC和CB,點(diǎn)C就叫做線段AB的中點(diǎn).

I_____I______|

ACB

（1）線段的中點(diǎn)只有一個，且線段的中點(diǎn)一定在這條線段上；

（2）若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則AC=BC,；反過來，若AC=BC,則點(diǎn)C不一定是線段AB的中點(diǎn)（點(diǎn)

C可能在線段AB外）.

二、射線

I.射線的概念：直線上一點(diǎn)和它一側(cè)的部分叫射線，這個點(diǎn)叫射線的端點(diǎn).

2.射線的特點(diǎn)：是宜的，有一個端點(diǎn)，不可以度量，不可以比較長短，無限長，可以向一個方向無限延伸.

3.射線的表示方法:

(1)可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點(diǎn)，另一個是射線上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，端點(diǎn)

寫在前面，如圖1所示，可記為射線AB；

a

AB,

圖1圖2

(2)也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，也可記為射線a.

在用兩個大寫字母表示射線時，兩個字母的順序不能寫反了，首字母表示射線的端點(diǎn)；端點(diǎn)不同，所表

示的射線也不同.

若一條直線上有n個點(diǎn)，則有2n條射線，其中有(2n—2)條射線可以用表示這些點(diǎn)的字母表示出來.

三、直線

1.直線：把線段向兩方無限延伸所形成的圖形叫做直線.

直線是最簡單、最基本的匚何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常川”一根拉得緊的細(xì)線''、

“一張紙的折痕”等實(shí)際事物進(jìn)行形象描述；

直線沒有端點(diǎn)，可以向兩端無限延伸，不可度量.

2.直線的表示方法：

(1)可以用直線.上的表示兩個點(diǎn)的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)：

??____________________

AB

圖1圖2

(2)直線也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線a.

3.直線的性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.簡單說成：兩點(diǎn)確定一條直線.

J點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)在直線上，如圖1所示，點(diǎn)A在直線m上，也可以說：直線m經(jīng)過點(diǎn)A；

___________

Amn

圖1圖2

(2)點(diǎn)在直線外，如圖2,點(diǎn)B在直線n外，也可以說：直線n不經(jīng)過點(diǎn)B.

5.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系

線段射線宜線

141

圖形??a

ABABAB

表示方法線段AB或線段BA或線段a射線AB或射線a直線AB或直線BA或直線a

端點(diǎn)個數(shù)210

延伸情況不能延伸向一方無限延伸向兩方無限延伸

度量情況能度量不能度量不能度量

射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成

聯(lián)系

為了直線.射線向反方向無限延伸就成為直線

四、線段的畫法及長短比較

1.尺規(guī)作圖：在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.

2.畫一條線段等于已知線段

（1）可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段;

（2）如圖所示，先用直尺畫一條射線，再用圓規(guī)在射線上截取一條線段使其等于己知線段.

3.線段長短的比較

（1）度量法：用刻度尺量出兩條線段的長度，再比較長短；

（2）疊合法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點(diǎn)重合，另一個端點(diǎn)位于重合端點(diǎn)

同側(cè)，根據(jù)另一端點(diǎn)與重合端點(diǎn)的遠(yuǎn)近來比較長短.

11、角

一、角

I.靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩

條邊.如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)0,邊是射線0A、0B.

圖1圖2

2.動態(tài)定義：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平

面部分是角的內(nèi)部.如圖2所示，射線0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置

0A是角的始邊，終止位置0B是角的終邊.

3.平角與周角

-~~~-------------------------

BOA彳⑶

平角周角

圖1困2

平角與周角：如圖1所示射線0A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置0A成一條直線時，所形成

的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角.

PS：平角的兩邊成一條直線，但不能說平角就是直線：

4.兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)：角的邊是射線：角的大小與角的兩邊的長短無關(guān).

5.角的表示方法

表示方法圖例記法適用范圍

用三個大寫字母表示ANAOB或NBOA任何情況下都適用，表示頂點(diǎn)的字母要

寫在中間

用一個大寫字母表示Z0當(dāng)以某一字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只

有一個時，可用這個頂點(diǎn)的字母來表示

用數(shù)字表示Z1在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處加上弧線，并標(biāo)

/

上數(shù)字或希臘字母，任何情況下都適用

用希臘字母表示/

Za

PS：在初中階段，若沒有特殊說明，默認(rèn)的角都是小于平角的角.

二、角的度量單位和換算

1.角的度量單位：度、分、秒是常用的的角的度量單位，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1。

的角，把1°的角60等分，每一份就是「的角，把「的角60等分，每一份就是1”的角.

2.角的換算：1周角=360。，1平角=180。，1。=60',「=60".

3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量隹器度量角時要注意三點(diǎn)：

（I）對中：頂點(diǎn)對準(zhǔn)量角器的中心；

（2）重合：一邊與量角器的零刻度線重合；

（3）讀數(shù)：讀出另一邊所在線對應(yīng)的度數(shù).

三、比較角的大小

1.度量法：先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?/p>

2.疊合法：把兩個角的頂點(diǎn)和一條邊分別疊合在一起，口使另一條邊在重合邊的同側(cè)，然后通過觀察另一

條邊的位置來比較兩個角的大小.

四、角的和、差

1.兩個角的和或兩個角的差，仍然是一個角；兩個角的和或差的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和或差；

2.在計(jì)算兩個角的和或差時，要將度與度、分與分、秒與秒分別相加減，分、秒相加時，逢60要進(jìn)位,

相減時要借1作60.

五、角的畫法

1.用量角器畫：用量角器可以畫出大小在0°到180。之間的任何角.

畫角時，先畫一條射線，然后讓射線與量角器的0°線重合，射線端點(diǎn)與量角器中心重合，在畫角處畫

一個點(diǎn)，再過射線端點(diǎn)和這個點(diǎn)畫一條射線，即可得到所要的角.

2.用三角尺畫：一副三角尺有30。，45。，60°,90。的角，能用三角尺畫15。的整數(shù)倍的角.

3.用圓規(guī)和直尺作一個角等丁口知角

(1)如圖1所示，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；

(2)畫一條射線OS1以點(diǎn)0,為圓心，OC長為半徑畫弧，交于點(diǎn)C，；

(3)以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑畫弧，交前一個弧于點(diǎn)D，；

(4)過點(diǎn)D，畫射線則NATTB，就是與NAOB相等的角.

六、角的平分線

如圖所示，射線OC把NAOB分成兩個相等的角，射線OC就叫做這個角的角平分線.

B

PS:角的平分線是一條射線，不是線段或直線.

如果一條射線是某一個角的平分線，那么這條射線必定在該角的內(nèi)部：

六、方位角

在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線0A的方向是北偏東60。；射線OB

的方向是南偏西30。.這里的“北偏東60?！焙汀澳掀?0?！北硎痉较虻慕?，就叫做方位角.

1.正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；

2.方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60?！币话悴徽f成“東偏北30?！?；

3.在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正

東、E西、正南、正北的方向；

＜圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線（射線）都必須以O(shè)為端點(diǎn).

I1K余角、補(bǔ)角、對頂角

一、余角和補(bǔ)角

1.余角：i般地，如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角，簡稱互余，其中一個角叫做另一

個角的余角.

2.補(bǔ)角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個角叫做另一個角的補(bǔ)

角.

互余互補(bǔ)指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個先只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無關(guān).

與N2互為余角

/1+/2=90。=＞（N1是N2的余角,

[N2是N1的余角

與N2互為補(bǔ)角

/1+/2=180。=＞〈N1是N2的補(bǔ)角.

[/2是/I的補(bǔ)角

（1）互余、互補(bǔ)指的是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)一個角不能說互余或互補(bǔ)；

（2）若N1與N2互余，則Nl+N2=90。，若N1與N2互補(bǔ)，則Nl+N2=180。；

（3）若兩個角互余，則這兩個角一定都是銳角；若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角可能都是直角，也可能是一個

銳角，另一個是鈍角；

（4）鈍角沒有余角;

（5）一個角的余角（補(bǔ)角）可以有多個，且度數(shù)都是相等的.

二、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)

1.余角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等；

2.補(bǔ)角的性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等：

3.如果互補(bǔ)的兩個角相等，那么這兩個角都是直角.

三、對頂角

1.一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.

如圖所示，兩條直線形成的四個角，N1和/3是對頂角，/2和N4是對頂角.

（1）對頂角形成的前提條件是兩條直線相交，對頂角必須有公共頂點(diǎn);

（2）對頂角是成對出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個角不能稱為對頂角.

2.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

對頂角一定相等，相等的角不一定是對頂角.

IV、平行

平行的概念及表示

1.平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

2.表示方法：如圖所示，兩條直線平行，記作a〃b或AB〃CD,讀作“a平行于b”或“AB平行于CD”.

同一平面內(nèi)不想交的兩條直線互相平行，空間里不想交的直線不一定是平行線.

3.平行線須滿足的條件：①直線，②在同一平面內(nèi)，③不想交.

4.同一個平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種，平行或相交.

5.平行線的一個基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.

由基本事實(shí)可以推出下面的結(jié)論成'九如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.

二、利用直尺和三角尺畫平行線

過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的步驟：

1.落：將三角尺一邊落在已知直線上：

2.靠：緊靠三角尺的另一邊放一直尺：

推：將三角尺沿直尺的邊推到原來與已知直線重合的邊恰好經(jīng)過已知點(diǎn)的位置;

4.畫：沿三角尺的這一邊畫直線.

PS：推動三角尺時，必須保持三角尺緊貼直尺，且直尺不能移動，否則畫出的圖形不準(zhǔn)確.

V、垂直

一、垂線的概念及表示

1.垂線：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直.線互相垂直，其中的一條更線

叫做另一條直線的垂線.（垂線是直線，不是線段）

2.垂足：互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足.

3.表示方法：如圖所示，兩條直線互相垂直，記作aJ_b或AB_LCD,0是垂足.

b

C

—A?—OB一°

D

4.兩條直線互相垂直時，常在垂足處寫一個宜角標(biāo)志“1

5.線段與線段、線段與射線、射線與射線垂直，指的都是它們所在的直線互相垂直.

二、垂線的畫法

如圖所示，過?點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的?條直角邊和

已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為己知

直線的垂線.

三、垂線的結(jié)論

1.基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

2.垂線段及其性質(zhì)：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.

3.點(diǎn)到直線的距離

A

——,

如圖所示，直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，上圖中，線段AB的長度就是

點(diǎn)A到直線1的距離.

4.已知直線的垂線有無數(shù)條，但在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)畫已知直線的垂線只能畫一條.

5.連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，月.垂線段是最短的.

6.點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度，并不是垂線段.

VI、直線平行的條件與性質(zhì)

一、認(rèn)識同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

兩條直線a、b被第三條直線c所截，構(gòu)成8個角，簡稱為“三線八角”，如圖所示:

1.同位角：如圖所示，像N1與N2這樣的一對角稱為同位角，

位置特征：在兩條被截直線同?方，在截線同側(cè)；

圖形結(jié)構(gòu)特征：形如字母"F”（或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)）.

2.內(nèi)錯角：如圖所示，像N7與N2這樣的一對角稱為內(nèi)錯角；

位置特征：在被截的兩條直線之間，在截線兩旁（交錯）；

圖形結(jié)構(gòu)特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋轉(zhuǎn)）.

3.同旁內(nèi)角：如圖所示，像與N6這樣的一對角稱為同旁內(nèi)角;

位置特征：在被截的兩條直線之間，在截線同側(cè)；

圖形結(jié)構(gòu)特征：形如字母“U”（或倒置.、反置、旋轉(zhuǎn)）.

PS：（1）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角指的是兩個角之間的位置關(guān)系，不是大小關(guān)系，它們之間的大小關(guān)系

是不確定的;

（2）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是成對出現(xiàn)的，都沒有公共頂點(diǎn)，“三線八角”中共有4對同位角，2對

內(nèi)錯角，2對同旁內(nèi)角.

二、兩條直線平行的條件

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

'：Z3=Z2

ABZ/CD（同位角相等，兩直線平行）；

判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

;Z1=Z2

:.AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語言:

Z4+Z2=I8O°

???AB/7CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

除了三個判定方法外，我們還可以通過平行線的定義（在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線）,

平行的傳遞性（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）來進(jìn)行判定.

三、平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

PS：只有當(dāng)兩直線平行時，才會有同位角相等、內(nèi)錯角相等以及同旁內(nèi)角互補(bǔ).

四、平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別

條件結(jié)論作用

同位角相等兩直線平行

判定內(nèi)錯角相等兩直線平行由角的數(shù)量關(guān)系確定直線的位置關(guān)系

同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行

兩直線平行同位角相等

性質(zhì)兩直線平行內(nèi)錯角相等由直線位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系

兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)

從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì).

〈廠真題回眸

1.（2023?北京）如圖，ZAOC=ZBOD=90°,NAOD=126。，則NBOC的大小為（）

B

A

A.36°B.44°C.54°D.63°

2.（2023?重慶）如圖，AB//CD,AD±AC,若Nl=55。，則N2的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.50°D.55°

3.（2023?河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀.如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70。的方向，則淇淇

家位于西柏坡的（）

北

牛?東

A.南偏西70。方向B.南偏東20。方向

C.北偏西20。方向D.北偏東70。方向

J（2023?山西）如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線

相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn).若Nl=155。，Z2=30°,則N3的度數(shù)為（)

A.45°B.50°C.55°D,60°

5.（2023?蘇州）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)，線段PQ的兩個端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，網(wǎng)格內(nèi)另有A,B,C,D四個

格點(diǎn)，下面四個結(jié)論中，正確的是（）

A.連接AB,則AB〃PQB.連接BC,貝I」BC〃PQ

C.連接BD,則BD_LPQD.連接AD,則AD_LPQ

6.（2023?樂山）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是NBOC的平分線，若NAOC=140。，則NBOD的度數(shù)

為

7.（2023?阜新）將一個三角尺（NA=30。）按如圖所示的位置擺放，直線a〃b,若NABD=20。，則Na

的度數(shù)是

8.（2023?威海）某些燈具的設(shè)計(jì)原理與拋物線有關(guān).如圖，從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線OA,OB等反

射后都沿著與POQ平行的方向射出.若NAOB=150。，NOBD=9（）。，則/OAC=

1.（2023?香洲區(qū)校級一模）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，哪種擺放方式中Na與相等（）

2.（2023?漣源市一模）如圖，OA是北偏東30。方向的一條射線,若NBOA=90。，則OB的方位角是（)

A.西北方向B.北偏西30。C.北偏西60。D.西偏北60。

3.（2023?蘭溪市模擬）“直角”在幾何學(xué)習(xí)中無處不在，如圖圖中的NAOB一定是直角的是（）

A.①②B.②③C.①?③D.①②④

J（2024?霍邱縣模擬）將一副三角板ADE和ABC（其中NC=30。）按如圖所示的方式擺放，一直角頂點(diǎn)

D落在BC上.若AE〃BC,則NBAD的度數(shù)是（）

A.72°B.75°C.60°D.65°

5.（2023?鳳凰縣模擬）如圖，直線AB〃CD,ZC=45°,AE1CE,則Nl=

6.（2023?涪城區(qū)模擬）如圖1,△ABC中，D是AC邊上的點(diǎn)，先將ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)

A，處，且AD〃BC,AB交AC于點(diǎn)E（如圖2）,又將△BCE沿著AB翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，若點(diǎn)C恰

好落在BD上（如圖3）,且NCEB=75。，則NC=

7.（2023?前郭縣二模）如圖，將長方形紙片ABCD沿BD所在直線折疊，得到△BCD,CD與AB交于

點(diǎn)E,若N1=25。，則N2的度數(shù)為

8.（2023?本溪二模）如圖，正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)E在邊AD上，且DE=3AE,點(diǎn)F是邊AB上

的一動點(diǎn)，連接CF,以CF為斜邊在CF的上方作等腰直角△CFG,連接EG,則線段EG的最小俏

為

AED

F

1.（2024?南寧模擬）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，若Nl=70。，則N2的度數(shù)是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

（2024?冠縣一模）汽車經(jīng)過兩次拐彎后仍按原來的方向前進(jìn)，這兩次拐彎的方向和角度可能是（）

A.第一次左拐45。,第二次右拐135°

B.第一次左拐45。,第二次左拐135。

C.第一次左拐45。,第二次左拐45。

D.第一次左拐45。,第二次右拐45。

3.（2024?武漢模擬）光線照射到平面鏡鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，物理學(xué)中，我們知道反射光線與法線（垂直

于平面鏡的直線叫法線）的夾角等于入射光線與法線的夾角.如圖一個平面鏡斜著放在水平面上，形成NAOB

形狀，ZAOB=36°,在OB上有一點(diǎn)E,從點(diǎn)E射出一束光線（入射光線），經(jīng)平面鏡點(diǎn)D處反射光線DC剛

好與0B平行，則NDEB的度數(shù)為（）

A.71°B.72°C.54°D.53°

4.（2023?雨山區(qū)校級二模）如圖，在^ABC中，NACB=90。，AC=BC=4,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P

是AC邊上一個動點(diǎn)，連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是（）

Q

V53

A.—B.IC.D.-

22

5.（2024?南山區(qū)一模）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長

為1,則BC=

6.（2024?金平區(qū)校級一模）如圖，把一個長方形紙條ABCD沿AF折疊，己知NADB=26。，AE〃BD,

貝|JNBAF=

（2023?柯城區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC

及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上.若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是I,貝廣貓”爪尖F的坐標(biāo)

8.（2023?洞頭區(qū)二校）圖1是一種雙層電腦支架實(shí)物圖，圖2是其示意圖，B,F,H為固定點(diǎn)，支杠CF,

HG可分別繞著點(diǎn)F,H旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C,G分別在AB,BD上移動.AB=BD=25cm,CF=BF=10cm,HG=16cm,

當(dāng)支點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離為9cm時，則點(diǎn)D到AB的距離為cm,此時，再移動支點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)G

重合時，D、E兩點(diǎn)的水平距離是垂直距離的兩倍，則DH=cm.

1.已知NAOB=60。，自/AOB的頂點(diǎn)0引射線OC,若NAOC：NAOB=1：4,那么NBOC的度數(shù)是（）

A.48°B.45°C.48°或75cD.45°或75。

2.如圖，某海域中有A,B,C三個小島，其中A在B的南偏西40。方向，C在B的南偏東35。方向，且B,

A

A.北偏東70。B.北偏東75。C.南偏西70。D.南偏西20。

3.如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM,ON反射后，反射光線CD與AB平行，當(dāng)/ABM=35。時，ZDCB

的度數(shù)是（)

M

BA

N

A.55°B.70°C.60°D.35°

J如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部AB與支撐三臺CD平行.若Nl=30。，Z3=15O°,則N2

的度數(shù)為()

工作籃劉題

支撐平臺宅有“上匕二」

OO

A.60°B.50°C.40°D.30°

5.若Na與NB的兩邊分別平行，且Na=(2x+10)°,Zp=(3x-20)°,則/a的度數(shù)為.

6.如圖，m〃n,Zl=110°,Z2=100°,則/3=

工

7.共享單車為市民的綠色出行提供了方便.圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖②是其示意

圖，其中AB,CD都與地面1平行，NBCD=a,ZBAC=p,AM〃CB,則NMAC是.（用

含a,0的式子表示）

8.如圖1,AB〃CD,E為AB與CD之間的一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)E作EF_1_BE,與CD相交于點(diǎn)F.

圖1圖2圖3

(1)求證：Z1+Z2-900.

如圖2,E為AB上方的一點(diǎn)，其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請給予證明;

如果不成立，請寫出正確結(jié)論并證明.

（3）如圖3,E為AB下方的一點(diǎn)，其他條件不變,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請給予證明;

如果不成立，請直接寫出正確結(jié)論.

三大幾何變換

，中考命題預(yù)測

平移變換：可能會給出一些簡亙的圖形，要求考生判斷這些圖形是否經(jīng)過平移得到。

考察平移的兩大要素：平移的方向和平移的距離?？赡軙o出i個圖形平移前后的位置，要求考生計(jì)算平

移的方向和距離。

結(jié)合其他知識點(diǎn)，比如結(jié)合相似圖形、全等圖形等，進(jìn)行綜合考查。

旋轉(zhuǎn)變換：可能會要求考生判斷一個圖形是否經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到，以及旋轉(zhuǎn)的中心、方向和角度。

考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，比如對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)角度相等等。

可能會結(jié)合特殊圖形（如正方形、等腰直角三角形等）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的考查。

軸對稱變換：可能會給出一些圖形，要求考生判斷這些圖形是否是軸對稱的，以及找出對稱軸。

考察軸對稱的性質(zhì)，比如對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等、對應(yīng)線段相等且平行于對稱軸等。

可能會結(jié)合其他知識點(diǎn)，如相似圖形、全等圖形等，進(jìn)行綜合考查。

此外，三大幾何變換之間也可能會進(jìn)行交叉考查，比如給出一個圖形經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，要求

考生找出原圖形等。

總的來說，中考數(shù)學(xué)對三大幾何變換的考杳會比較全面和深入，需要考生掌握這些變換的定義、性質(zhì)和應(yīng)

用方法。

思維導(dǎo)圖

;‘應(yīng)試必備

I、圖形的平移

一、平移的概念

1、平移的定義：在平面內(nèi)，把一個圖形沿著一定的方向平行移動而達(dá)到另一?個位置，這種圖形的平行移動

簡稱為平移。

2、平移的兩個要素：

（I）平移方向；（2）平移距離。

3、對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)線段、對應(yīng)角一個圖形經(jīng)過平移后得到一個新的圖形，這個新圖形與原圖形是能夠互相重

合的全等形，我們把互相重合的點(diǎn)稱為對應(yīng)點(diǎn)，互相重合的線段稱為對應(yīng)線段，互相重合的角稱為對應(yīng)先。

4、平移方向和距離的確定

（I）要對一個圖形進(jìn)行平移，在平移前必須弄清它的平移方向和平移距離，否則將無法實(shí)現(xiàn)平移，那么怎

樣確定這兩點(diǎn)呢？

A.若給出帶箭頭的線段：從箭尾到箭頭的方向表示平移方向，而帶箭頭的線段的長度，表示平移距離，也

有時另給平移距離的長度。

B.若給出由小正方形組成的方格紙：在方格中的平移，從方向上看往往是要求用橫縱兩次平

移來完成（有特殊要求例外），而移動距離是由最終要達(dá)到的位置確定的。

C.具體給出從某點(diǎn)P到另一點(diǎn)P，的方向?yàn)槠揭品较?，線段PP'的長度為平移距離。

D.給出具體方位（如向東或者西北等）和移動長度（如10cm）

（2）圖形平移后，平移方向與平移距離的確定。圖形平移后.原圖形與新圖形中的任意一對前后對應(yīng)點(diǎn)的

射線方向就是原平移方向，這對對應(yīng)點(diǎn)間的線段長度就是原平移距離

二、平移的性質(zhì)

圖形平移的實(shí)質(zhì)足圖形上的每一點(diǎn)都沿著同一個方向移動了相同的距離。平移后的圖形與原圖形

①對應(yīng)線段平行（或在同條一直線上）且相等；

②對應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等；

③圖形的形狀與大小都不變（全等）；

④圖形的頂點(diǎn)字母的排列順序的方向不變。

三、平移作圖

平移作圖的步驟:

1.定：根據(jù)題目要求，確定平移的方向和距離；

2.找：找出確定圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn)；

3.移：按平移的方向和距離確定各關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)；

4.連：按原圖順序依次連接各對應(yīng)點(diǎn).

確定一個圖形平移后的位置需要三個條件：①圖形原位置；②平移的方向；③平移的距離.

II、軸對稱與軸對稱圖形

一、軸對稱

把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱,

也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn).

1.軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合.成軸對稱的兩個圖形

一定全等；

2.對稱軸是一條直線，而不是線段或射線；

3.成軸對稱的兩個圖形的位置固定后，其對稱軸只有一條；

4.對稱點(diǎn)通常在對稱軸的兩側(cè)，對稱軸上的點(diǎn)的對稱點(diǎn)是它本身.

二、軸對稱圖形

把一個圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就

是對稱軸.

常見的軸對稱圖形如下（）:

圖形名稱圖形表示對稱軸含對稱軸的圖形對稱軸的條數(shù)

角/角平分線所在的直線二1

等腰三角形（底和

底邊上的高所在的直線1

腰不相等）A4

三條邊上的而所在的直

等邊三角形3

△線

各個對邊中點(diǎn)連線所在

矩形（長方形）2

的直線

對角線所在的直線和各

正方形4

□對邊中點(diǎn)的連線二E

過圓心的直線（直徑所

圓1無數(shù)

O在的直線）

三、軸對稱與軸對稱圖形的異同

1.軸對稱與軸對稱圖形的不同點(diǎn)

（1）對象不同：軸對稱的對象是兩個圖形，而軸對稱圖形的對象是一個圖形;

（2）對稱點(diǎn)位置不同：軸對稱的對稱點(diǎn)分別在兩個圖形上，而軸對稱圖形的對稱點(diǎn)在同一個圖形上;

（3）對稱軸位置不同：軸對稱的對稱軸可能在兩個圖形的外部，也可能在兩個圖形的內(nèi)部，或經(jīng)過兩個圖

形的公共邊（點(diǎn)），而軸對稱圖形的對稱軸一定經(jīng)過這個圖形的內(nèi)部；

（4）對稱軸的條數(shù)不同：軸對稱的對稱軸只有一條，而軸對稱圖形的對稱軸可以有多條.

2.軸對稱與軸對稱圖形的相同點(diǎn)

（I）都能沿某條直線折疊后完全重合；

（2）若把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，則它是一個軸對稱圖形，若把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部

分，則這兩部分關(guān)于這條直線成軸對稱.

01、軸對稱的性質(zhì)

一、線段的垂直平分線

1.垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

線段的垂直平分線是一條直線，可向兩端無限延伸，線段的垂直平分線有且只有一條.

2.線段的垂直平分線滿足的條件：①經(jīng)過線段的中點(diǎn)；②垂直于這條線段.

二、軸對稱的性質(zhì)

成軸對稱的兩個圖形全等;

2.成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分;

3.成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱.

三、畫已知圖形的軸對稱圖形

1.找：找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

2.作：作出關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱軻的對稱點(diǎn)；

3.連：按原圖順序依次連接相應(yīng)的對稱點(diǎn)；

4.若原圖關(guān)鍵點(diǎn)在對稱軸上，則它的對稱點(diǎn)也一定在對稱軸上，且重合.

四、畫對稱軸

如果一個圖形是軸對稱圖形或兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任意一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分

畫對稱軸的步驟：

1.找：找出任意一對對應(yīng)點(diǎn)；

2.連：連接這對對應(yīng)點(diǎn)；

3.畫：畫出對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線

IV、圖形的旋轉(zhuǎn)

一、旋轉(zhuǎn)的概念

1.旋轉(zhuǎn)的概念：將一個圖形繞一個定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動稱為圖形的旋轉(zhuǎn).定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)

中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)與平移一樣，都是圖形的基本變換，旋轉(zhuǎn)只改變圖形在平面中的位置，不會改變圖形的形狀和大小，

旋轉(zhuǎn)中心的位置在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變.

2.旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.在旋轉(zhuǎn)過程中，始終保持不動的點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)中

心可以在圖形的內(nèi)部，也可以在圖形的外部，還可以是圖形上的某個點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)方向有順時針和逆時針兩種.

3.將某個圖形繞著旋轉(zhuǎn)中心按某一方向旋轉(zhuǎn)，則這個圖形上的每個點(diǎn)同時繞旋轉(zhuǎn)中心按照比方向旋轉(zhuǎn)相同

的角度.

4.旋轉(zhuǎn)形成的條件：一個定點(diǎn)、一個方向、一個角度.

二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：兩組對應(yīng)點(diǎn)分別

與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.

2.確定旋轉(zhuǎn)中心：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，所以旋轉(zhuǎn)中心位于對應(yīng)點(diǎn)連線的垂

直平分線上，即旋轉(zhuǎn)中心是兩對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的交點(diǎn).

三、旋轉(zhuǎn)作圖

在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定

的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形.

作圖的步驟：

（1）連接圖形中的每一個關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心：

（2）把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；

（3）在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；

（4）連接所得到的各對應(yīng)點(diǎn).

V、中心對稱與中心對稱圖形

一、中心對稱

1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫做對稱中心.

中心對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，涉及到兩個圖形，如圖所示，△ABC與△關(guān)于點(diǎn)O對稱.

A

B'

3.中心對稱與軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系:

中心對稱軸對稱

有一個對稱中心有一條對稱軸

區(qū)別

圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°圖形沿對稱軸翻折

旋轉(zhuǎn)后與另一個圖形重合鼠折后與另一個圖形重合

聯(lián)系都是兩個圖形之間的關(guān)系，并且變換前后的兩個圖形全等

二、中心對稱的性質(zhì)

1.中心對稱的性質(zhì):

中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換，具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過

對稱中心，且被對稱中心平分，成中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

2.確定對稱中心的方法：

（1）連接任意一組對稱點(diǎn)，連線的中點(diǎn)就是對稱中心；

（2）連接任意兩組對稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)就是對稱中心

三、中心對稱作圖

1.連接原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與對稱中心；

2.延長所連接的線段，在延長線上分別找出關(guān)鍵點(diǎn)的對稱點(diǎn)，使對稱點(diǎn)到對稱中心的距離和關(guān)鍵點(diǎn)到對稱

中心的距離相等;

3.將對稱點(diǎn)按照原圖形的順序依次連接即可得到原圖形關(guān)于對稱中心對稱的圖形.

四、中心對稱圖形

1.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180%如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么

這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心.

2.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系:

中心對稱中心對稱圖形

針對兩個圖形針對一個圖形

兩個圖形位置上的關(guān)系具有某種性質(zhì)的一個圖形

區(qū)別

對稱點(diǎn)在兩個圖形上對稱點(diǎn)在一個圖形上

對稱中心在兩個圖形之間對稱中心在圖形上或圖形內(nèi)部

如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖

聯(lián)系

形；如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關(guān)于中心對稱.

真題回眸

1.（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（m,n）先向右平移2個單位，再向上平移I個單位，最后

所得點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（m-2,n-1）B.（m-2,n+1）C.（m+2?n-1）D.（m+2,n+1）

2.（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）,則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,I)

3.（2023?廣東）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的為（)

4.（2023?宜昌）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響.下列圖形“楊輝三角”“中國七

巧板皿劉徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對稱圖形是（）

O

OO

OOO

OOOO

OOOOO

OOOOOO

A.OOOOOOO

5.(2023?無錫)如圖,△ABC中,NBAC=55°,將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<550)，得到△ADE,

DE交AC于F.當(dāng)a=40。時，點(diǎn)D恰好落在BC上，此時ZAFE等于（）

A

BDC

A.80。B.85。C.90°D.95°

6.（2023?天津）如圖，把^ABC以點(diǎn)A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到^ADE,點(diǎn)B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,E,

同點(diǎn)E在BC的延長線上,連接BD,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZCAE=ZBEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

7.（2023?黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCD.先對折矩形ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,

把紙片展平.再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM,同時得到線段BN,MN.觀

察所得的線段，若AE=1,則MN=（）

8.（2023?哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB和線段CD的端點(diǎn)均

在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中畫出△ABE,且AB=BE,NABE為鈍角（點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上）；

（2）在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后得到線段MN（點(diǎn)C的對

應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)M,點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)N）.連接EN,請直接寫出線段EN的長.

:"易錯專綜

1.（2024?龍湖區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-5,-2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-5,2)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(5,-2)

2.（2024?越秀區(qū)校級一模）如圖圖形中，既是軸對?稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

3.（2024?太原一-模）圖1是一張菱形紙片ABCD,點(diǎn)E,F是邊AB,CD上的點(diǎn).將該菱形紙片沿EF折

疊得到圖2,BC的對應(yīng)邊恰好落在直線AD上.已知NB=6。。，AB=6,則四邊形AEFC的周長為（）

BD

B

圖1圖2

A.24B.21C.15D.12

乙.（2023?越秀區(qū)校級一模）如圖，有一塊長為44m、寬為24m的長方形草坪，其中有三條直道將草坪分

為六塊，則分成的六塊草坪的總面積是m2.

5.（2023?高新區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于線段EF與等腰直角△ABC給出如下定義：線段

EF的中點(diǎn)為點(diǎn)M,平移線段EF得到線段EF（點(diǎn)E,F,M的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E-F,Mf）,若線段EF的兩

端點(diǎn)同時落在△ABC邊上，線段MM，長度的最小值稱為線段EF到三角形ABC的“位移”.如圖，△ABC為等腰

直角三角形，AB=AC=2,BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸正半軸上，線段EF的長為2,線段EF中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（3,3）.若線段EF到△ABC的“位移”為d,則d的取值范圍是

6.（2024?新安縣一