高考第三輪復(fù)習(xí)立體幾何

高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)精選立體幾何

③色）?卷③③

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與斜二測(cè)畫法是立體幾何的基礎(chǔ)，空間兒何體

的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)。兒何體的表面積與體積與多個(gè)結(jié)合

體結(jié)合是主要的命題形式，有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的

表面積與體積，有時(shí)結(jié)合面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想?？?/p>

生在復(fù)習(xí)時(shí)，不僅要對(duì)空間幾何體的基本結(jié)構(gòu)了如指掌，還應(yīng)加強(qiáng)幾何體

表面積和體積的多種方法訓(xùn)練。

在高考數(shù)學(xué)中，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系主要分兩方面進(jìn)行

考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假的判斷，以選擇題、填空題的形式

考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合

命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問(wèn)的形式考查，屬于中檔

題。

空間角與空間距離問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)，在2023年的高考中依

1日是命題的熱點(diǎn)方向。通常在多選題及解答題的第2小問(wèn)考查，難度中等。

在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用。

有關(guān)多面體外接球和內(nèi)切球的問(wèn)題，是立體兒何的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也

是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算

能力。一般在選擇題中出現(xiàn)，難度中上。

預(yù)測(cè)分值：17-27分

超必考指數(shù)：★★★★★

?

滿分技巧

一、立體圖形的直觀圖的畫法

斜二測(cè)畫法：我們常用斜二測(cè)畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直

觀圖.

(1)“斜”：在已知圖形的X。，平面內(nèi)與X軸垂直的線段，在直觀圖中均

與/軸承45。或135。

(2)“二測(cè)”：兩種度量形式，即在直觀慳中，平行于犬軸或z'軸的線段

長(zhǎng)度不變；平行于:/軸的長(zhǎng)度變成原來(lái)的一半.

二、常見(jiàn)幾何體的外接球

1、長(zhǎng)方體的外接球：長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為小b,c,外接

球的半徑為R,

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的

中I占八、、

4、正棱錐的外接球：正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影為底面多邊形的外心，球心

在高線上。

R=4

（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)〃，外接球的半徑4.

R=-a

（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為。，外接球半徑

三、能補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的類型

1、墻角模型：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）?即

【補(bǔ)充】圖1為陽(yáng)馬，圖2和圖4為鱉膈

2、對(duì)棱相等：對(duì)棱相等指四面體的三組對(duì)棱分別對(duì)應(yīng)相等，且這三組對(duì)棱

構(gòu)成長(zhǎng)方體的三組對(duì)面的對(duì)角線。

推導(dǎo)過(guò)程：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，（A8=CD,

AD=BC,AC=BD）

第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱;

第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a"，c,

AD=BC=xfAB=CD=yfAC=BD=zfyijA

<b2+c2=y2

c2+az=z2

222

/er*」2I2->X+》~+Z

（2/?）-=a-+/?-+r=----------------

V.BCD=abc--abcx4=-cibc

補(bǔ)充：63

2R=J,2+b?J（2+yF2

第三步：根據(jù)墻角模型，、2,

）夕2I~2~T

-x+y+Z

8,V8,求出R,

四、最短路徑問(wèn)題解題思路

1、解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開(kāi)成平面

2、方法總結(jié)：解決空間幾何體表面最短路徑問(wèn)題關(guān)鍵是把立體圖形平面

化，即把立體圖形沿著某一條直線展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題之后，借助“兩

點(diǎn)之間，線段最短”，構(gòu)造三角形，借助解三角形的方法求解。

五、共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

1、證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的兩種方法

（1）納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；

（2）輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線共平面。，再證其他點(diǎn)、線共平面夕最

后證平面重合.

2、證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法

（1）先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；

（2）直接證明這些點(diǎn)都在一條特定直線上.

3、證明三線共點(diǎn)問(wèn)題的步驟

第一步：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)；

第二步：再證交點(diǎn)在第三條直線上.

證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線。

六、線線平行的證明方法

1、定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；

2、利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形

等關(guān)于平行的性質(zhì)；

3、利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.

七、線面平行的判定方法

1、利用線面平行的定義：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)；

2、利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直

線平行，那么該直線與此平面平行（簡(jiǎn)記為“線線平行=線面平行”）

3、利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)所有

直線都平行于另一個(gè)平面。（簡(jiǎn)記為“面面平行二線面平行”）

八、面面平行的判定方法

1、面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合（不常用）；

2、面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)

平面，那么這兩個(gè)平面平行（主要方法）；

3、垂直于通一條直線的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）；

4、平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行（客觀題可用）.

九、直線與平面垂直的判定方法

1、利用定義：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線

垂直于這個(gè)平面（不常用）：

2、利用線面垂直的判定定理：如果一條直線加一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

垂直，那么這條直線就和這個(gè)平面垂直（常用方法）；

3、可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平

面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面（客觀題常用）；

4、面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平阿敏垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于

它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面（常用方法）；

5、面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則

這條直線也垂直于另一個(gè)平面（客觀題常用）；

6、面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平:面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面

的交線垂直于第三個(gè)平面（客觀題常用）.

十、幾何法求異面直線夾角

1、求異面直線所成角一般步驟；

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或

兩條成為相交直線.

（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

定一

（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角6的取值范圍是I2」，

所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

2、可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：

（1）直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；

（2）中位線平移法；

（3）補(bǔ)形平移法（在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行

線）.

十一、幾何法求直線與平面夾角

1、垂線法求線面角（也稱直接法）：

（D先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)

A,過(guò)點(diǎn)A向平面。做垂線，確定垂足O；

（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面。上的投影；投影B0與斜線AB之

間的夾角為線面角；

（3）把投影B0與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定

理或者直角三角形）。

3、公式法求線面角（也稱等體積法）：

用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正

弦公式進(jìn)行求解。

公式為：sinQ=p其中6是斜線與平面所成的角，力是垂線段的長(zhǎng)，，是斜

線段的長(zhǎng)。

十二、確定二面角的平面角的方法

1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律

（1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作

垂直于棱的射線.

（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱。上的任意一點(diǎn)。為端點(diǎn)，

在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于〃的兩條射線OA,0B,則NAOB為此二面隹的

平面角

2、三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）一最常用

（1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱

作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的

連線所夾的角，即為二面角的平面角

（2）具體演示：在平面a內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面/?作垂線AB,垂足為B,

再過(guò)點(diǎn)B向棱。作垂線B0,垂足為。，連接A。，則NA08就是二面隹的

平面角。

3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）

（1）方法；過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條

射線所成的角就是二面角的平面角。

（2）具體演示：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作于3,作于C,

4、射影面積法求二面角§

方法：已知平面￡內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S,它在平面。內(nèi)的射影圖形的

面積為S射影,

平面a和平面,所成的二面角的大小為。，蛆cose=羋.這個(gè)方法對(duì)于無(wú)

棱二面角的求解很簡(jiǎn)便。

十三、點(diǎn)面距的求解方法

1、定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出

垂線段的長(zhǎng)度；

2、等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離;

3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直

線上的點(diǎn)到面的距離.

十四、向量法求空間角與空間距離

1、異面直線所成角：若丁公分別為直線44的方向向量，°為直線44的

夾角，

COS?=COS<〃i，〃2>=

4斗

則

2、直線與平面所成角：設(shè)/是直線/的方向向量，丐是平面。的法向量,

sin0=cos<〃],%>

直線與平面的夾角為，則

3、平面與平面的夾角：若%％分別為平面圖4的法向量，夕為平面儀尸

的夾角，

4、點(diǎn)到平面的距離：已知平面。的法向量為〃，A是平面。內(nèi)的任一點(diǎn),

尸是平面a外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作則平面a的垂線/,交平面。于點(diǎn)。，則點(diǎn)尸到

注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。

ABn

d=--------

直線。與平面。之間的距離：舊1，其中〃是平面。的

法向量。

AB”

d=--------

兩平行平面％夕之間的距離：，其中〃是平面。

的法向量。

十五、常見(jiàn)幾何體的外接球

1、長(zhǎng)方體的外接球：長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三三條棱長(zhǎng)分別為。，b,C,外接

球的半徑為幾

則2/?=

接球半徑為七則2A=病

2O、正方體的外接球：正方體的;棱長(zhǎng)為Q,外

當(dāng)

長(zhǎng)方體的外接球正方體的外接球

3、直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的連線的

中點(diǎn)

4、正棱錐的外接球：正棱錐頂點(diǎn)在底面的投t影為底面多邊形的外心，球心

在高線上。

R=^-a

（1）正三棱錐：設(shè)正三棱錐的棱長(zhǎng)外拮W球的半徑4.

R=—a

（2）正四棱錐：設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為a,外?接球半徑2

十六、能補(bǔ)形為長(zhǎng)方體的類型

1、墻角模型

找三條兩兩垂直的線段，直接用《A式（2H）2=〃+〃+。2,即

222

2R=yJa+b+cf求出R

圖1圖2圖3

【補(bǔ)充】圖1為陽(yáng)馬，圖2和圖4為鱉嚅

2、對(duì)棱相等

對(duì)棱相等指四面體的三組對(duì)棱分別對(duì)應(yīng)相等，且這三組對(duì)棱構(gòu)成長(zhǎng)方體的

三組對(duì)面的對(duì)角線。

十七、直棱柱外接球的求法…??漢堡模型

1、補(bǔ)形：補(bǔ)成長(zhǎng)方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長(zhǎng)方體

相同

2、作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理

例如：直三棱柱內(nèi)接與一球（棱柱的上下底面為直角三角形）

此類題為上面題的特殊情況，解法更簡(jiǎn)單，AH的長(zhǎng)即為底面三角形斜邊

的一般，

勾股定理：°1+4斤=。吐則V12J

注意：對(duì)于側(cè)棱垂直于的棱錐可考慮補(bǔ)形為直棱柱后再求外接球。

十八、側(cè)面垂直與底面一切瓜模型

對(duì)于平面PAC_L平面比4C,AB工BC（AC為小圓直徑）、

第一步：由圖知球心°必為C的外心，即步AC在大圓面上，先求小圓

面直徑AC的長(zhǎng)；

=27?

第二步：在“AC中，可根據(jù)正弦定理sinA,解出R

十九、棱長(zhǎng)即為直徑型：兩個(gè)直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的

圖中兩個(gè)直角三角形心/由和AQAB,其中ZAP3=/4QB=90,求外接圓

半徑

“ccOP=-AB=OA=OB=OQ

取斜邊A8的中點(diǎn)。，連接°P，°Q,則2-

所以°點(diǎn)即為球心，然后在AP°Q中解出半徑R

二十、棱錐的內(nèi)切球

1、方法：一般采用等體積法

2、結(jié)論：

（1）以三棱錐為例說(shuō)明：若三棱錐A-BCD的體積為V,表面積為S,則

內(nèi)切球的半徑為R=1

（2）若正四面體的棱長(zhǎng)為a,則其內(nèi)切球的半徑為

【注意】三棱錐一定有內(nèi)切球，但四棱錐及以上不一定有內(nèi)切球。

真題回顧

一.選擇題

1.（2022?全國(guó)）底面積為21，側(cè)面枳為6乃的圓錐的體枳是（）

A.84B.—C.24D.—

33

2.（2022?新高考1）己知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為,,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若

該球的體積為36萬(wàn)，且3利3石，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.|18,27J

44443

3.（2022?乙卷）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在

球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-C.—D.—

3232

4.（2022?乙卷）在正方體相8-4gGA中，E,尸分別為AB,8C的中點(diǎn)，則

（）

A.平面用石/"L平面B.平面與EF_L平面片區(qū)。

C.平面4b〃平面AACD.平面4痔//平面AG。

5.（2022?甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為酎,

側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為％和〃.若券=2,則*=（）

s乙V乙

A.x/5B.2x/2C.MD.

4

6.（2022?新高考II）己知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和4、行，

其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100乃B.128乃C.1444D.192〃

7.（2022?新高考1）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中

一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5帆時(shí)，相應(yīng)水面的面積為

\AO.Ohri2；水位為海拔1575〃時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.05『.將該水庫(kù)在這兩個(gè)

水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5,〃上升到157.5〃?時(shí)，增加

的水量約為（療力265）（）

A.l.OxlO9/??B.1.2x109〃C.1.4x109/D.1.6x10°w3

8.（2022?甲卷）在長(zhǎng)方體A3CO-A/CQ中，已知與。與平面ABCD和平面

所成的角均為30。，則1）

A.AB=2AD

B.44與平面48co所成的角為30。

C.AC=CB\

D.BQ與平面附￡C所成的角為45。

二.多選題

9.（2022?新高考I）已知正方體ABCO-AgCQ，則（）

A.直線8G與。A所成的用為90。

R.直線町與eq所成的角為90。

C.直線8cl與平面所成的角為45。

D.直線5G與平面A5CD所成的角為45。

10.（2022?新高考H）如圖，四邊形A4C/）為正方形，￡D_L平面八48,FB//ED,

.記三棱錐E-ACZ）,F-ABC.尸-ACE的體積分別為匕，匕，匕，

則（)

C.匕=匕+匕D.2匕=3M

三.填空題

11.（2022?全國(guó)）在正三棱柱ABC-A8c中，A8=l,則異面直線明

與8G所成角的大小為.

四.解答題

12.（2022?浙江）如圖，已知438和CDb都是直角梯形，ABHDC,DCUEF,

/W=5,DC=3,EF=1，N皿）=NC￡＞石=60。，二面角/一7X7-A的平面角為60。.設(shè)

M,N分別為AE,BC的中點(diǎn).

（I）證明：FNA.AD;

（II）求直線8M與平面4犯所成角的正弦值.

13.(2022?甲卷)在四棱錐P-ABCZ)中，PD_L底面A3CQ,CD//AB,

AD=DC=CB=T,AB=2,DP=6

(1)證明：BgPA;

（2）求PD與平面以8所成的角的正弦值.

p

14.(2022?北京)如圖，在三棱柱ABC-AKG中，側(cè)面BCC再為正方形，平面

8CC|B|_L平面人網(wǎng)AB=BC=2,M,N分別為人與，AC的中點(diǎn).

(I)求證：MN//平面3CCM；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線"與平面

所成角的正弦值.

條件①：ABA.MN\

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

BiMA.

15.(2022?新高考H)如圖，PO是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,ABA.AC,E

為P8的中點(diǎn).

(1)證明：平面。AC；

(2)若NAAO=NC4O=30°,00=3,%=5,求二面角C-4￡一A的正弦值.

16.（2022?新高考I）如圖，直三棱柱人AC-的體積為4,△人放?的面積為

2>/2.

（1）求A到平面A8C的距離;

（2）設(shè)。為AC的中點(diǎn)，/V\=A8,平面48。_L平面A叫A，求二面角八-4Q-C

的正弦值.

17.（2022?乙卷）如圖，四面體48CD中，ADA.CD,AD=CDfZADBMBDC,

E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面龐D_L平面AC￡）;

（2）設(shè)AB=BD=2,46=60°,點(diǎn)尸在斑）上，當(dāng)AAPC的面積最小時(shí)，求C/7

與平面AM所成的角的正弦值.

區(qū)域模擬

一.選擇題

1.（2023?江西模擬）已知一正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面匕若

該球的表面積為16〃，且2劃20,則該正三棱錐體積的取值范圍是（)

A.［苧,2折D.哼,3"

B.巫2向C.小3向

2.（2023?中衛(wèi)一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體48。。-4囪。力1中，M,N分別為

B。1,BiG的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足A/P〃平面CM>,

則下列說(shuō)法正確的是（）

線段的最大值為返

A.點(diǎn)尸可以是棱的中點(diǎn)B.MP

2

C.點(diǎn)尸的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2刊行

3.（2023?烏魯木齊模擬）已知四邊形A8CO的對(duì)角線AC,9的長(zhǎng)分別為2G和

6,且垂直平分AC,把AACD沿AC折起，使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P,則三棱錐ABC

體積最大時(shí)，其外接球半徑為（）

A.2B.75C.x/10D.—

2

4.（2023?貴州模擬）如圖,圓柱的底面直徑AB與母線AD相等,E是弧的中

點(diǎn)，則4E與期）所成的角為（）

5.（2023?江西模擬）在三棱錐P-ABC中，已知

PA=BC=2瓜AC=BP=E,CP=AB=曬,則三棱錐P-ABC夕卜接球的表面積為（

)

A.77幾B.64/rC.10舐D.72i

6.（2023?廣西一模）如圖，在正方體中，AB=2,0是正方形ABC/）

內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得QPJ.BC

B.小4//平面CPC1

C.若DP=￥）B，則三棱錐P-四C外接球的表面積為16乃

D.M為OR的中點(diǎn)，若例「與平面AHCO所成的角為?，則點(diǎn)夕的軌跡長(zhǎng)為

71

2

7.（2023?廣州二模）木升在古代多用來(lái)盛裝糧食作物，是農(nóng)家必備的用具，如

圖為一升制木升，某同學(xué)制作了一個(gè)高為40c/〃的正四棱臺(tái)木升模型，已知該正四

棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球O

的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為（）

A.巫B.2C.述D.2

3355

8.（2023?長(zhǎng)春模擬）已知點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系屹y內(nèi)的圓f+），2=16上的動(dòng)點(diǎn),

定點(diǎn)4T2）,現(xiàn)將坐標(biāo)平面沿），軸折成,的二面角，使點(diǎn)A翻折至4,則4,

夕兩點(diǎn)間距離的取值范圍是（)

A.[V13,35/5]B.14-V13,7JC.[4-713,3^]D.[V13,7]

9.（2023?江西模擬）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6,AM=yME＞點(diǎn)

乙

P是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且P到平面ADDiAi的距離等于線段PM的長(zhǎng)度,

則線段HP長(zhǎng)度的最小值為（)

2713C.3^6D.3VI3

二.多選題

10.（2023?廣州二模）已知正四面體4-的長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N分別為A4BC和

AAB/）的重心，P為線段GV上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若AP+8P取得最小值，則CP=PN

B.若CP=3PN,則Z）P_L平面ABC

C.若/）P_L平面ABC,則三棱錐P-45C外接球的表面積為步

2

D.直線例/V到平面八C7J的距離為亞

9

11.（2023?佛山二模）四面體人4c。中，AB上BD,CD±BDt八4=3,4/）=2,

CD=4,平面與平面BCD的夾角為王，則4C的值可能為（）

3

A.V17B.V23C.V35D.而

三.填空題

12.（2023?西安模擬）空間四邊形"S中，AC與9）是四邊形的兩條對(duì)角線，

M,N分別為線段AB，CZ）上的兩點(diǎn)，且滿足人朋=2八8,DN=-DC.若點(diǎn)G在

34

線段MN上，且滿足MG=3GN,若向量4G滿足AG=xAB+p4C+z/m,則

x+y+z=.

13.（2。23?湖北模擬）已知圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面的面積之比為號(hào)'若上、

下底面的半徑分別為1和2,則母線長(zhǎng)為—.

14.（2023?安徽模擬）已知正四棱臺(tái)AACO-AACO內(nèi)接于半徑為1的球O,且

球心O是四邊形人AC?）的中心，若該棱臺(tái)的側(cè)棱與底面/WCO所成的角是60。，則

該棱臺(tái)的體積為—.

15.（2023?邵陽(yáng)一模）在正方體ABCD-A禺CR中，點(diǎn)?滿足

BFiA+yBC+zBR,且x+y+z=l,直線耳P與平面AC.所成角為?，若二面

角P-AO-g的大小為。，則lan。的最大值是.

四.解答題

16.（2023?河南模擬）如圖，在三棱柱4?C-A4c中，AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，ACJ.8C,平面A4,GC_L平面/WC.

（1）證明：AA=A8；

（2）若石為AG的中點(diǎn)，直線與平面A3C所成的角為45。，求直線BC與平面

ME所成的角的正弦值.

17.（2023?安徽二模）如圖，在四棱錐Q-ABCO中，點(diǎn)、E,“分別在棱Q4,QC

上，且三棱錐石-鉆。和尸-38均是棱長(zhǎng)為2的正四面體，AC交BD于點(diǎn)、0.

（1）求證：OQ_L平面A4c￡＞；

（2）求平面與平面30所成角的余弦值.

18.（2023?江蘇模擬）如圖，在三棱錐A-3CO中，NAC3=9（）°,平面ACO_L

平面ABC,AC=BC=4fDC=2,40=2近.

（1）證明：AO_L平面BCD.

（2）設(shè)點(diǎn)E在線段AB上，直線。E與直線3c所成的角為三，求平面。CE

4

與平面ACO所成的銳二面角的余弦值.

19.（2023?江西模擬）如圖，已知菱形ABCQ中，A8=4,NBAD=60°,點(diǎn)E

為邊CD的中點(diǎn)，沿8E將△C8E折起，得到△P8E且二面角尸?BE-A的

大小為120°,點(diǎn)/在棱弘上，PE〃平面BDF.

（1）求黑的值；

FP

（2）求二面角A-FD-B的余弦值.

20.（2（）23?廣西模擬）在三棱錐?人AC?中，底面人AC是邊長(zhǎng)為2。的等邊三角

形’點(diǎn)。在底面由上的射影為棱席的中點(diǎn)且總與底面的所成角為?

點(diǎn)M為線段。。上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：BCLAM;

⑵是否存在點(diǎn)M,使得二面角P3f的余弦值為嚕，若存在，求出點(diǎn)

M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

一.選擇題

1.在正方體ABCO-ABIGDI中，已知A4=7,點(diǎn)。在棱A4上，且A0=4,

則正方體表面上到點(diǎn)。距離為5的點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為()

1571cL-17兀er~

A.B.(4+3&7T)C.D.(4+3V3)7r

2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何問(wèn)題有著深入的研究，從其中的

一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見(jiàn)，譬如“塹堵”指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三

棱柱，“陽(yáng)馬”指底面是矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，“鱉臃”指四個(gè)

面都是直角三角形的三棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”人丹G,其中

AC.LBC,若A4=A8=4,則“陽(yáng)馬”體積的最大()

A.—B.—C.16D.32

33

二.填空題

3.如圖，長(zhǎng)方體AB=a,BC=BB尸b,ci>b,P是棱AB上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到棱AB靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，恰有PCxLPD,

求此時(shí)PC.與平面ABCD所成的角.

三.解答題

4.如圖，在四棱錐。中，底面A8C。為菱形，M,N分別為PC和A。

的中點(diǎn)，已知ND4B=60°,AB=2,PA=PD,MN=MB=41.

(1)證明：平面方O_L平面A3C。；

(2)求平面PCQ和平面P3C所成角的余弦值.

5.如圖，在四棱錐P-4BC。中，%_L平面A8CD,底面ABC。是菱形，AB=

2,ZBAD=60°.

(1)求證：8。，平面雨。；

(2)若以=A8,求二面角A?PC-8的平面角的余弦值.

A

B

1.【答案】B

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為小母線長(zhǎng)為/,

由題意可得卜,=2”解得“四，/=3夜,

nrl-6)

二.圓錐的rWj/?=V/2-r2=J(3>/5)2-(0)2=4.

二.圓錐的體積是V=-x2^-x4=—.

33

故選：B.

2.【答案】C

【解答】解：如圖所示，正四棱錐P-A8CD各頂點(diǎn)都在同一球面上，連接AC與

BD交于點(diǎn)、E,連接尸E,則球心O在直線正上，連接OA,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為人

在RtAPAE中，P#=AE?+PE?,即廣=(回了+川△/+/產(chǎn),

22

?.?球O的體積為36萬(wàn)，.??球O的半徑R=3,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,即2=(力一3尸+(孚＞,

一白？+/1—6/J=0?—a?+fj~-6h,

22

.?.廣=6〃，又3蒯3&,-^h2,

22

.??該正四棱錐體積V(/i)='/力=1(12/z-2//)//=--/+4/r,

333

V\h)=-2A2+8/i=2A(4-h),

血心時(shí)，口(6)<0,V(/7)單調(diào)遞

，當(dāng)y<4時(shí),VW>0,叭/0單調(diào)遞增;當(dāng)4V

2

減，

./(，?)〃—⑷斗

又？屋)上,咯衛(wèi),且乙以

242444

即該正四棱錐體積的取值范圍是苧學(xué)，

故選：C.

I,"子黑會(huì)

3.【答案】C

【解答】解：對(duì)于圓內(nèi)接四邊形，如圖所示，

Srq邊形ABC。=—ACBDsin。、,—2r-2r-sin900=2廣，

22

當(dāng)且僅當(dāng)AC,8。為圓的直徑，且AC_L8O時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)四邊形A8CD為

正方形，

???當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，底面一定為正方形，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓

的半徑為，，

則.當(dāng)，

該四棱錐的高

該四極錐的體積

丫工”=器《.』4，同二迪，

3V23V4423V產(chǎn)33V327

當(dāng)且僅當(dāng)《=>4，即時(shí)，等號(hào)成立，

423

「.該四棱錐的體積最大時(shí)，其高h(yuǎn)=5^=R4,

【解答】解：對(duì)于A，由于E，〃分別為4?,3C的中點(diǎn)，則瓦'//AC,

又AC_L3O,AC1DD,,BD[}DDy=D,且8D,DRu平面BDR,

.?.ACJ_平面80〃，則所_L平面8￡>〃，

又所u平面線所，

???平面司EFJ_平面BDQ,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于8,由選項(xiàng)A可知，平面用石尸1平面孔>口，而平面BDRC平面人用。=爾），

在該正方體中，試想僅運(yùn)動(dòng)至A時(shí)，平面用石廠不可能與平面48力垂直，選項(xiàng)呂

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在平面上，易知叫與々E必相交，故平面勺所與平面AAC不平

行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，易知平面4B1C〃平面AG。，而平面4BC與平面勺石/有公共點(diǎn)用，故平

面4）與平面AG。不可能平行，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：A.

5.【答案】C

【解答】解：如圖,

甲，乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3,

甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為小高分別為九，4,

則=4兀,2萬(wàn)弓=2兀，解得q=2,弓=1,

由勾股定理可得4=石，4=2上，

辛I,—-Trr^h.阿

乙一仃9%

3'■

故選：C.

6.【答案】A

【解答】解：當(dāng)球心在臺(tái)體外時(shí)，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑

為酒方=3,下底面所在平面截球所得圓的半徑為君繪=4,如圖，

2sin6002sin60°

設(shè)球的半徑為R,則軸截面中由幾何知識(shí)可得獷萬(wàn)-^/F=不=l,解得R=5,

二?該球的表面積為44尸=44x25=100;r.

當(dāng)球心在臺(tái)體內(nèi)時(shí)，如圖,

綜上，該球的表面積為1(XW.

故選：A.

7.【答案】C

［解答］解：140hn2=140xl06m2,180W=180xI06m2，

140X106+180X106+>/|40XI06XI80X106

根據(jù)題意，增加的水量約為x(l57.5-148.5)

3

(140+18Q+60V7)X10^9

3

?(320+60x2.65)x106x3=1437x106?1.4x109w3.故選：C.

8.【答案】D

【解答】解：如圖所示，連接A8-BD,不妨令例=1,

所以NBQB和NDB^A分別為與。與平面A8CD和平面A4/避所成的角,

即NBpB=NDBiA=30。,

所以在RdBDB1中，84=M=1，BD=6、B\D=2,

在RtAADB|中，DB,=2,4。=1,的=6，

所以48=夜，CB、=?,AC=6

故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤，

由圖易知I,4?在平面148co上的射影在A4上，

所以/耳48為A8與平面48C。所成的角，

RRIn

在RtAABB］中，sinZR/iB=—L=-^=—,

'1做63

故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

則耳。在平面BB?C上的射影為B.C,

所以ZDB.C為耳。與平面BB￡C所成的角,

在中，B〈=C=DC,所以/力BC=45。,

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

二.多選題

9.【答案】AI3D

【解答】解：如圖,

連接Gc,由A4//OC,A4=DC,得四邊形DA4c為平行四邊形,

可得D4,//BC，BG_片。，.?.直線g與/M,所成的角為90°，故A正確；

Ag1Bq,8G±BXC,斗N。qc=q,BC,1平面。4片。，而u平面0Age，

/.BC.±C/\,即直線6cl與CA所成的角為90。，故6正確；

設(shè)AGrpQ=O,連接30,可得C0_L平面BBQ。，即/。出0為直線與平面

33Q。所成的角，

???sinNGB0=空＞=」,直線g與平面網(wǎng).￡＞所成的角為30°,故C錯(cuò)誤;

BC12

CGJ.底面A3CQ,.?.第8c為直線3G與平面A8c。所成的角為45。，故。正確.

故選：ABD.

10.【答案】CD

【解答】解：設(shè)AB=ED=2FB=2,

14

V＜=-X5MCDX|ED|=-,

%=gxSM8cX|「3|=g'

如圖所示,

連接區(qū)D交4c于點(diǎn)連接石”、FM,

則尸M=X/5,EM=匹,EF=3,

故S2MF=：xGx#=,

4J

V.=1sAfciW,xAC=lx^x2V2=2,

故C、。正確，A、4錯(cuò)誤.

故選：CD.

三.填空題

11.【答案】90°.

【解答】解：如圖所示，分別取3C、BC的中點(diǎn)。、0、，由正三棱柱的性質(zhì)可得

AO、80、。0產(chǎn)兩兩垂直,

建立空間直角坐標(biāo)系.

/.cos<AB、，BC\>=0,

，異面直線A%與BC\所成角的大小為90。.

12.【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）豆.

14

【解答】證明：（/）由于CO_LCB,CD±CFt

平面ABC0C平面CO印=8,bu平面CDQ,Cfiu平面A3C￡）,

所以為二面角廠-QC-4的平面角，

則/斤8=60。，。。_1_平面。3產(chǎn)，則6_1,硒.

又CF=瓜CD-EF）=2瓜CB=石（A8-CD）=26,

則ABCF是等邊三角形，則CB上FN,

因?yàn)椤?gt;C_LFC,DCLBC,FC[}BC=C,尸Cu平面/<8,BCu平面產(chǎn)C8,

所以DC_L平面/CB,因?yàn)閮?nèi)Nu平面尸CB,所以DCJ_EV,

又因?yàn)镈Cu平面A8CD,C8u平面A3CD,

所以尸\_1_平面八月8,因?yàn)锳Du平面八慶刀，故&VJ./W）;

解：（H）由于FN_L平面ABC。，如圖建系：

于是B(0,6,0),A(5,石,0)1(0,0,3),旦1,0,3),。(3,一百,0),則M(3,^,1),

BM=(3,--,-),DA=(2.2x/3,0).DE=(-2,x/5,3),

22

設(shè)平面ADE的法向量n=（x,y,z）,

nJ〃?￡)A=O2x+2\/3y=0人rnilr

則,,.，令x=G，貝【Jy―1,z—>/3，

nDE=0l-2x+J3y+3z=0

平面ADE的法向量〃=（G,-1,G）,

設(shè)BW與平面4無(wú)所成角為e,

則加〃=儂辿=偵.

|BM||n|14

13.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）正.

5

【解答】解：（1）證明：底面八AOBDu而ABCD,

:.PDLBD,

取中點(diǎn)E,連接。E,

AD=DC=CB=\,AB=2,

「1

/.ZmB=60°,XvAE=-AB=AD=\,

2

：.DE=\,：,DE=-AB,

2

.?.AABQ為直角三角形，且AB為斜邊，

...BDJLAD,

又P0nA0=0,POu面Q4￡>,ADu面％Z),

又以u(píng)面PAD,

:.BD工PA;

(2)由(1)知，PD，AD,"。兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

BD=yjAB--AD1=75,

則D(0,0,0),A(l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0.73),

/.PD=(0,0,-x/3),PA=(1,0,-G),AB=(-1,Ao),

設(shè)平面FAB的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則/叢A八°，則可取〃=(61,1),

〃?AB=-x+13y=0

設(shè)叨與平面PAB所成的角為8，則sin0=|cosv>|=|"〃|=—,

\PD\\n\5

.?/D與平面aw所成的角的正弦值為乎.

14.【答案】(1)證明見(jiàn)解答；

(2)-.

3

【解答】解：⑺證明：取AA中點(diǎn)K,連接NK,MK,

?.M為A4的中點(diǎn)..?.耳M//BK,且qM=8K,

.??四邊形BKMq是平行四邊形，故MK//8A，

MKU平面BCC.B.;呢u平面BCC用,

.?./WK〃平面BCC.B,,

K是AB中點(diǎn)，N是AC的點(diǎn)，

;.NK//BC>NKU平面8CC￡;3Cu平面BCCE，

:.NK//平面BCCM，又NKCMK=K,

：.平面NMK//平面RCCE,

又MNu平面NMK,.?.MTV//平面BCG片；

(〃乂?側(cè)面Beg用為正方形，平面48由_L平面A叫A，平面Bcqqc平面

ABB6=網(wǎng),

...CA_L平面A84A，/.CBtAB,又NKI/BC,ABA.NK,

若選①：AB1MN;又MNp|NK=N,二AB_L平面MNK,

又MKu平面MNK,..ABLMK,又MKUBB、,

AB±BBl,..BC,BA,B片兩兩垂直，

若選②：?.?。8_1_平面八陰人，NKHBC,「.NK，平面人叫/\,KV/u平面人班人，

；.MKINK,又BM=MN,NK=-BC,BK=-AB

22f

■KM=ANKM,/BKM=N/VKV7=90。，

：,ABA.MK>又MK//BB、,ABLBB,,

；.BC，BA,34兩兩送直，

以笈為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,84為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,0,0),NQ,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

/.BM=(0,1,2),BN=(1,1,0),

設(shè)平面8M/V的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

門"n-BM=y+2z=0人.

則〈，令z=1,則niy=-2,x=2,

|n?BN=x+y=0

，平面眺W的一個(gè)法向量為〃=(2,-2,I),

又癡=（0,2,0）,

設(shè)直線AB與平面8WV所成角為0,

/.sin0=cos<n,BA>|=-------=,:——=—.

|〃|48A|74+4+1x23

直線AB與平面刎所成角的正弦值為2.

3

15?【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）

13

【解答】解：（1）證明：連接04,OB,依題意，QPJL平面A8C,

又。Au平面ABC,O8u平面ABC,則OP_LO4,OP上OB,

:.ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,OP=OP,則APO4二

:.OA=O/3t

延長(zhǎng)40交AC于點(diǎn)尸，又AA_LAC,則在RtAABF中，O為BF中點(diǎn),連接勿,

在AP8廠中，O,E分別為BF,8尸的中點(diǎn)，則OE//PF,

?.?0E仁平面PAC,PEu平面PAC,

二。石〃平面PACt

（2）過(guò)點(diǎn)4作AM//OP,以AB,AC,A/W分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

由于尸0=3,R4=5,由（1）知04=08=4,

又ZABO=NC3O=30°,則A8=4>/5,

3

/.。(26,2,3),4(46,0,0),40,0,0),￡：(36』,：),

又AC=A5tan600=12,即C(0,12,0),

設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為〃=(占y,z),又AB=(473,0,0),AE=(373,1,1),

n-AB=48x-0

則|廠3則可取〃=(03-2),

n-AE=3V3x+y+—z=0

2

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為〃7=(a,b,c),又AC=(0.12,0),AE=(3^,1,-),