2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第86講、排列與組合（教師版）

第86講排列與組合

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、排列與排列數(shù)

（1）定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫

m

做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An表示．

n!

（2）排列數(shù)的公式：Amnn1n2nm1．

nnm!

特例：當(dāng)時(shí)，m；規(guī)定：．

mnAnn!nn1n23210!1

（3）排列數(shù)的性質(zhì)：

mm1m1m1nmmm1m

①AnA；②AAA；③AmAA．

nn1nnmnnmn1nn1n1

（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件（特殊位置，

特殊元素）．

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，

m常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用

Annn1nm1

n!

Am．

n(nm)!

知識(shí)點(diǎn)2、組合與組合數(shù)

（1）定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫

m

做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cn表示．

（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

m

求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)An，可以按以下兩步來(lái)考慮：

m

第一步，先求出從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)Cn；

m

第二步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)An；

mmm

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到AnCnAm；

Amnn1n2nm1

因此mn．

Cnm

Amm!

n!

這里n，mN，且mn，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)锳m，所以組合

nnm!

n!

數(shù)公式還可表示為：Cm．特例：C0Cn1．

nm!nm!nn

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題

時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題．公式

n(n1)(n2)(nm1)n!

Cm常用于具體數(shù)字計(jì)算，Cm常用于含字母算式的

nm!nm!(nm)!

化簡(jiǎn)或證明．

mnmmm1m

（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①CnCn；②CnCnCn1．

（4）組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型

知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工．

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之

間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考

慮順序的是排列問(wèn)題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列

組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”．

知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類(lèi)或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行，弄清

楚分多少類(lèi)及多少步；

3、確定每一步或每一類(lèi)是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少

及取出多少個(gè)元素；

4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類(lèi)與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．

【解題方法總結(jié)】

1、如圖，在圓中，將圓分n等份得到n個(gè)區(qū)域M1，M2，M3，，Mn(n2)，現(xiàn)取k(k2)

種顏色對(duì)這n個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有

(1)n(k1)(k1)n種．

ni

、錯(cuò)位排列公式(1)

2Dn(1)n!

i1n!

3、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

（1）解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題

的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類(lèi)排列

問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿(mǎn)足特殊位子，若一個(gè)位子安

排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論．

4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常

稱(chēng)為特殊元素，被限制的位置稱(chēng)為特殊位置．這一類(lèi)問(wèn)題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿(mǎn)足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿(mǎn)足特殊位置，

再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列

數(shù)．

5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k

個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成

一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有nk1種排法；然后再將“捆綁”在一

Ank1

起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有k種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排

Ak

法共有nk1k種．

Ank1Ak

6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k

個(gè)元素互不相鄰（knk1），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（nk）個(gè)元素排成一

nkk

排，共有Ank種排法；然后把k個(gè)元素插入nk1個(gè)空隙中，共有Ank1種排法．根據(jù)分

nkk

步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有Ank·Ank1種．

必考題型全歸納

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

2x1x2

例1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若C12C12，則實(shí)數(shù)x的值為（）

A．1B．3C．1或3D．0

【答案】C

2x1x2

【解析】因?yàn)镃12C12，所以2x1x2或2x1x212，解得x1或x3，

故選：C

2222

例2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）C2C3C4C18（）

3333

A．C18B．C19C．C181D．C191

【答案】B

22222

【解析】C2C3C4C5C18

32222

=C3C3C4C5C18

3222

=C4C4C5C18

322

=C5C5C18

32

=C18C18

3

=C19.

故選：B.

2

例3．（2024·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）An90，則n等于．

【答案】10

2

【解析】因?yàn)锳nnn190，解得n10或n9，

且n2，所以n10.

故答案為：10.

A2A1

510

變式1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）31

A3A1

103

【答案】/1

77

A2A1201010

510

【解析】31.

A3A1617

10

故答案為：.

7

1087

變式2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）A1089A88A7．

【答案】0

1087

【解析】A1089A88A710!898!8!8!8!0.

故答案為：0.

m2

變式3．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知A3C30!4，則m.

【答案】2或3

m2

【解析】A3C30!4，

m

A36，又323216，

所以m2或m3.

故答案為：2或3.

3n64n2n

變式4．（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）若C18C18，則C9

【答案】36

3n618

【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得n4，

4n218

3n64n2

又因?yàn)镃18C18，所以3n64n2或3n64n218，

解得n8（舍去）或n2，

98

所以C236，

921

故答案為：36

38n3n

變式5．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）計(jì)算C3nCn21的值為.

【答案】466

1921

【解析】依題意，38n3nn21，解得n，而nN，于是得n10，

22

3029

所以，原式=C28C30C2C131466.

3031303121

故答案為：466

題型二：直接法

例4．（2024·江蘇·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封

神榜》，恰好買(mǎi)到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法

種數(shù)為（）

A．360B．480C．600D．720

【答案】B

6

【解析】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有A6720種不同的排法，

3

其中甲、乙、丙三人的全排列有A36種不同的排法，

其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，

4

所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為720480種.

6

故選：B.

例5．（2024·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在

剛剛結(jié)束的2022到2024賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打

敢拼，最終獲得了冠軍．在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3人，

站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法

（）

311311347347

A．A3A11B．2A3A11C．A3A4A7D．2A3A4A7

【答案】B

3

【解析】選擇左右兩邊其中一邊將教練組3人捆綁看作一個(gè)整體安排共有2A3種排法，

11

將剩余的11名隊(duì)員全排列共有A11，

311

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的站法有2A3A11，

故選:B.

例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天

兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A．120B．60C．40D．30

【答案】B

【解析】不妨記五名志愿者為a,b,c,d,e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?

2

人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A412種方法，

同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有51260種.

故選：B.

變式6．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）要排出某班一天中語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，政治，英語(yǔ)，體育，

藝術(shù)6門(mén)課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，則不同的排法

種數(shù)為（）

A．24B．72C．144D．288

【答案】D

【解析】數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，

114

∴先排數(shù)學(xué)課有C3種排法，再排最后一節(jié)有C4種排法，剩余的有A4種排法，

114

∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知，共有C3C4A43424288種排法．

故選：D．

變式7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）運(yùn)輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男

司機(jī)，2名女司機(jī)，到A，B，C，D，E這五個(gè)不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求A地只能派男司

機(jī)，E地只能派女司機(jī)，則不同的方案種數(shù)是（）

A．360B．720C．1080D．2160

【答案】D

32

【解析】第一步，先從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2名女司機(jī)，共有C5C4

種方法，

11

第二步，從抽取到的司機(jī)中，派1名男司機(jī)去A地，派一名女司機(jī)去E地，共有C3C2種方

法，

3

第三步，剩下3名司機(jī)隨機(jī)去B，C，D三地，共有A3種方法，

32113

故不同方案種數(shù)為C5C4C3C2A32160，

故選：D

變式8．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）從編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球中任取4個(gè)，放

在編號(hào)為A，B，C，D的4個(gè)盒子里，每盒一球，且2號(hào)球不能放在B盒中的不同的方法

數(shù)是（）

A．24B．48C．54D．96

【答案】D

【解析】先在編號(hào)為1，3，4，5的4個(gè)球中任取1個(gè)放在B盒中，

再將余下的3個(gè)球與2號(hào)球放在一起，從中選3個(gè)球放在編號(hào)為

A，C，D的3個(gè)盒子中，每盒一球，即可完成題目要求.

13

則符合題給要求的不同的方法數(shù)為A4A496

故選：D

變式9．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中

甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門(mén)口站成一

排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的

種數(shù)為（）

A．144B．864C．1728D．2880

【答案】C

2232

【解析】甲家庭的站法有A2A312種，乙家庭的站法有A3A472種，

2

最后將兩個(gè)家庭的整體全排列，有A22種站法，

則所有不同站法的種數(shù)為127221728．

故選：C

題型三：間接法

例7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）8個(gè)點(diǎn)將半圓分成9段弧，以10個(gè)點(diǎn)（包括2個(gè)端點(diǎn)）

為頂點(diǎn)的三角形中鈍角三角形有（）個(gè)

A．55B．112C．156D．120

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，如圖：在10個(gè)點(diǎn)中，任意三點(diǎn)不共線，

3

在其中任取3個(gè)點(diǎn)，可以組成C10120個(gè)三角形，

其中沒(méi)有銳角三角形，直角三角形是包含A、B點(diǎn)和余下的8點(diǎn)任意取一個(gè)構(gòu)成的三角形，有

8個(gè)，則鈍角三角形有1208112個(gè)．

故選：B．

例8．（2024·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口

江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）

A．65B．73C．70D．60.

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，且每人只

能去一個(gè)地方，

則每人有3種選擇，則4人一共有333381種情況，

若漢口江灘沒(méi)人去，即四位同學(xué)選擇了黃鶴樓?東湖，

每人有2種選擇方法，則4人一共有222216種情況，

故漢口江灘一定要有人去有811665種情況，

故選：A．

例9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點(diǎn)中取若干個(gè)，依次連

接，構(gòu)成的正多邊形的個(gè)數(shù)為（）

A．360B．630C．1170D．840

【答案】B

【解析】從360的約數(shù)中去掉1和2，其余的約數(shù)均可作為正多邊形的邊數(shù)，

360

設(shè)從360個(gè)頂點(diǎn)中選出k個(gè)構(gòu)成正多邊形，這樣的正多邊形有個(gè)，

k

因此所求的正多邊形的個(gè)數(shù)就是360的所有約數(shù)之和減去360和180，

考慮到36023325，

因此所求正多邊形的個(gè)數(shù)為124813915360180630.

故選：B.

變式10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中

至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（）．

A．1860種B．3696種C．3600種D．3648種

【答案】D

7

【解析】7個(gè)人從左到右排成一排，共有A75040種不同的站法，其中甲、乙、丙3個(gè)都

356

相鄰有A3A5720種不同的站法，甲站在最右端有A6720種不同的站法，甲、乙、丙3個(gè)

24

相鄰且甲站最右端有A2A448種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲

不站在最右端，不同的站法有5040720720483648種不同的站法.

故選：D

題型四：捆綁法

例10．（2024·四川內(nèi)江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，

若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（）

A．12種B．24種C．36種D．48種

【答案】B

2

【解析】將甲和乙看作一個(gè)整體，有A22種方法，

2

將丁、戊和甲乙的整體首先安排到兩端，則有A36種方法，

2

再安排丙和剩余的人，有有A22種方法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的排列方式有：26224種．

故選：B．

例11．（2024·江西宜春·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱(chēng)“珠峰

計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢(qián)學(xué)森之問(wèn)”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)

大師.浙江大學(xué)?復(fù)旦大學(xué)?武漢大學(xué)?中山大學(xué)均有開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知某

班級(jí)有A,B,C,D,E共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)

選擇，則A同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（）

A．24種B．60種C．96種D．240種

【答案】B

【解析】5位同學(xué)選擇4所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一

所學(xué)校，已知A同學(xué)選擇浙江大學(xué)，

當(dāng)有兩位同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則B,C,D,E這4位同學(xué)在4所大學(xué)中分別選了一所，共

4

A424種選法；

當(dāng)只有A同學(xué)選擇了浙江大學(xué)時(shí)，則B,C,D,E這4位同學(xué)在其余3所大學(xué)中選擇，每所學(xué)

23

校至少有一位同學(xué)選擇，則有兩位同學(xué)選擇了同一所學(xué)校，共C4A336種選法；

所以A同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有243660種.

故選：B

例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某個(gè)單位安排7位員工在“五·一”假期中1日至7日值

班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排

在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（）

A．504種B．960種C．1008種D．1200種

【答案】C

26

【解析】依題意，滿(mǎn)足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天的方法共有A2A61440（種），

24

其中滿(mǎn)足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班的方法共有A2A5240（種）；

25

滿(mǎn)足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丁在5月7日值班的方法共有A2A5240(種)；

滿(mǎn)足甲、乙兩人值班安排在相鄰兩天且丙在5月1日值班，丁在5月7日值班的方法共有

24

A2A448(種).

因此滿(mǎn)足題意的方法共有14402240481008(種).

故選：C.

變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2024年春節(jié)在北京工作的五個(gè)家庭，開(kāi)車(chē)搭伴一起

回老家過(guò)年，若五輛車(chē)分別為A,B,C,D,E，五輛車(chē)隨機(jī)排成一排，則A車(chē)與B車(chē)相鄰，A車(chē)

與C車(chē)不相鄰的排法有（）

A．36種B．42種C．48種D．60種

【答案】A

2

【解析】將A車(chē)與B車(chē)?yán)υ谝黄甬?dāng)一個(gè)元素使用，有A22種捆法，

3

將除C車(chē)外的3個(gè)元素全排，有A36種排法，

將C車(chē)插入，不與A車(chē)相鄰，又3種插法，

故共有26336種排法.

故選：A

變式12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級(jí)派出甲?

乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影

留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（）種.

A．40B．24C．20D．12

【答案】B

【解析】由題意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須

相鄰，

22

先令丙、丁兩人相鄰用捆綁法A2，再把丙、丁與戊排列在一起A2，最后插空令甲、乙兩人

2222

不相鄰A3,則不同的排法共有A2A2A322624種.

故選：B.

題型五：插空法

例13．（2024·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5名

學(xué)生參加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講

順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（）

A．40B．36C．56D．48

【答案】D

【解析】設(shè)這5個(gè)人分別為：ABCDE，則要求B與C和D與E的演講順序都不能相鄰.

第一類(lèi)：A在BC中間，此時(shí)再把D與E插空到這3人中間，

22

此時(shí)的不同的演講順序有A2A424

第二類(lèi)：A不在BC中間，此時(shí)先考慮B與C和D與E，分別將他們看成兩個(gè)人的整體，再

2221

將他們的順序應(yīng)相間排列，最后考慮A，此時(shí)的不同的演講順序有A2A2A2A324

綜上可得：總共有48種不同的演講順序，

故選：D.

例14．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲

和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）

A．12B．36C．48D．72

【答案】D

3

【解析】先排丙、丁、戊三人，共有A3=6種排法，

甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，

2

共有A4=12種排法，故排法種數(shù)為612=72．

故選：D

例15．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二十中?？奸_(kāi)學(xué)考試）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階，

故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個(gè)音

階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，則可

排成不同的音序種數(shù)為（）

A．72B．28C．24D．32

【答案】D

22

【解析】若角音階排在兩端，則宮、羽兩音階一定在角音階的同側(cè)，此時(shí)有2A2A324種；

若角音階排在正中間，則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)的情況；

22

若角音階排在第二或第四個(gè)位置上，則有2A2A28種排法.

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有24832種排法.

故選：D

變式13．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排．若男生

甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）

A．36B．42C．48D．60

【答案】C

22

【解析】女生任選兩人捆綁看作A，并與余下女生B排成一排有A3A2種方法，所成排中有

3個(gè)空，

1

若兩男生不相鄰，則男生甲排在A,B之間的位置上，另一男生在A,B兩端任選一個(gè)位置有C2

種；

2

若兩男生相鄰，則有A2種排法，再插入A,B之間的位置上只有一種方法；

2212

綜上，不同排法共有A3A2(C2A2)48種.

故選：C

變式14．（2024·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某校舉行文藝匯演，甲、

乙、丙等6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共

有（）

A．72種B．144種C．288種D．432種

【答案】C

32

【解析】除甲乙丙外的三個(gè)人排一排有A36種排法，此時(shí)將甲乙插空有A4=12種排法，這

時(shí)甲乙包括剩下三個(gè)人形成了6個(gè)空，去掉首尾的，則丙有4種排法，

共有6創(chuàng)124=288，

故選：C

變式15．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京地處中國(guó)北部?華北平原北部，東與天津毗

連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國(guó)務(wù)院批復(fù)確定的中國(guó)政治中心?文化

中心?國(guó)際交往中心?科技創(chuàng)新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學(xué)生決定在高考

后游覽北京，計(jì)劃6天游覽故宮?八達(dá)嶺長(zhǎng)城?頤和園?“水立方”?“鳥(niǎo)巢”?798藝術(shù)區(qū)?首都博

物館7個(gè)景點(diǎn)，如果每天至少游覽一個(gè)景點(diǎn)，且“水立方”和“鳥(niǎo)巢”在同一天游覽，故宮和八

達(dá)嶺長(zhǎng)城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（）

A．120種B．240種C．480種D．960種

【答案】D

【解析】順序排列分2步進(jìn)行，（1）將“水立方”和“鳥(niǎo)巢”看成一個(gè)整體，與頤和園?798藝術(shù)

24

區(qū)?首都博物館全排列，有A2A448種情況，

2

（2）排好后，有5個(gè)空位可用，在其中任選2個(gè)，安排故宮和八達(dá)嶺長(zhǎng)城，有A520種情

況，則有4820960種不同的游覽順序.

故選：D.

變式16．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）一排有8個(gè)座位，有3人各不相鄰而

坐，則不同的坐法共有（）

A．120種B．60種C．40種D．20種

【答案】A

3

【解析】依題意，把3人連同他的座位一起插入另5個(gè)座位形成的6個(gè)空隙中，有A6120

種.

故選：A

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）

*

例16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）滿(mǎn)足xiN(i1,2,3,4)，且x1x2x3x410的有

序數(shù)組x1,x2,x3,x4共有（）個(gè).

4444

A．C9B．A9C．C10D．A10

【答案】A

【解析】∵數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)

4

數(shù)為C9．

故選：A．

例17．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知xi1,0,1,i1,2,,n,nN，則滿(mǎn)足x1x2x3xn2的

有序數(shù)組x1,x2,x3,,xn共有（）個(gè)

n2n

A．2n22nB．2n22nC．D．n2n

2

【答案】A

【解析】xi1,0,1,i1,2,,n,nN所有有序數(shù)組x1,x2,x3,,xn中,滿(mǎn)足x1x2x3xn2的

有序數(shù)組x1,x2,x3,,xn中包含n2個(gè)0，另外兩個(gè)數(shù)在1或1中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，

nn1

由乘法計(jì)數(shù)原理得不同的種數(shù)為C22242n22n

n2

故選：A.

例18．（2024·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校校考期中）五人并排站在一排，如果A，

B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）

A．60種B．48種C．36種D．24種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①A，B必須相鄰且B在A的左邊，將AB看成一個(gè)整體，有1種順序，

4

②將AB整體與C、D、E全排列，有A424種情況，

則有12424種排法；

故選：D．

變式17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線

分子，由稱(chēng)為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿

基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類(lèi)型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA

中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)

出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了

另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和

堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（）

A．20B．40C．60D．120

【答案】C

A6720

6

【解析】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為32160.

A3A2A1621

故選：C

變式18．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三校考期末）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)

代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，

每次取1盞，則不同取法總數(shù)為_(kāi)________

【答案】90

【解析】由題意，對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行取下，

6

先對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有A6種方法，

因?yàn)槿』裘看沃蝗∫槐K，而且只能從下往上取，

所以必須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，

A6

6

故共有取法總數(shù)為：22290.

A2A2A2

故答案為：90

變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人事

先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最

下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被

選中的所有不同順序方法數(shù)為_(kāi)___________.（用數(shù)字作答）

【答案】25200

10

【解析】一共有10條燈謎，共有A10種方法，由題意可知而其中按2，3，3，2組成的4列

A10

10

相對(duì)位置不變，所以結(jié)合倍縮法可知共有233225200種，也即是這10條燈謎依次被

A2A3A3A2

選中的所有不同順序方法有25200種

故答案為：25200.

變式20．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的

排法.

【答案】840

【解析】根據(jù)題意，假設(shè)有7個(gè)位置，對(duì)應(yīng)7個(gè)人，

4

先在7個(gè)位置中任取4個(gè)，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A7840種情況，

由于甲、乙、丙3人順序一定，在剩余3個(gè)位置安排3人即可，有1種情況，

則共有8401840種不同的排法；

故答案為：840.

題型七：列舉法

例19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格

朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的

平方和，例如正整數(shù)123212121222222202．設(shè)25a2b2c2d2，其中a，

b，c，d均為自然數(shù)，則滿(mǎn)足條件的有序數(shù)組a,b,c,d的個(gè)數(shù)是（）

A．28B．24C．20D．16

【答案】A

【解析】顯然a，b，c，d均為不超過(guò)5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．

最大數(shù)為5的情況：

22221

①255000，此時(shí)共有A44種情況；

最大數(shù)為4的情況：

22222

②254300，此時(shí)共有A412種情況；

22222

③254221，此時(shí)共有A412種情況．

當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，323222222532322212，故沒(méi)有滿(mǎn)足題意的情況．

綜上，滿(mǎn)足條件的有序數(shù)組a,b,c,d的個(gè)數(shù)是4121228．

故選：A

例20．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）已知字母x，y，z各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字

母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如xxyzyz），則不同的排法共有（）種

A．36B．30C．24D．16

【答案】A

【解析】有且僅有一組字母相鄰，這組字母有三種情況：xx,yy,zz.

當(dāng)相鄰的這組字母為xx時(shí)，將6個(gè)位置編成1-6號(hào)，

若xx在1號(hào)和2號(hào)，則3號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法；

若xx在2號(hào)和3號(hào)，則1號(hào)和5號(hào)字母相同，4號(hào)和6號(hào)字母相同，有2種排法；

若xx在3號(hào)和4號(hào)，則1號(hào)和2號(hào)字母不相同，5號(hào)和6號(hào)字母不相同，有224種排法；

若xx在4號(hào)和5號(hào)，則2號(hào)和6號(hào)字母相同，1號(hào)和3號(hào)字母相同，有2種排法；

若xx在5號(hào)和6號(hào)，則1號(hào)和3號(hào)字母相同，2號(hào)和4號(hào)字母相同，有2種排法，

即相鄰的字母為xx時(shí)，共有2242212種排法.

同理，相鄰的字母為yy,zz時(shí)，也都有12種排法，故共有12336種排法.

故選：A.

例21．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在

如圖所示正方形ABCD（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正

方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶吡藥讉€(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為ii1,2,,6，則棋子就按逆時(shí)

針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的所有

不同走法共有（）

A．21種B．22種C．25種D．27種

【答案】D

【解析】由題意，正方形ABCD的周長(zhǎng)為8，拋擲三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為8或16，

①點(diǎn)數(shù)之和為8的情況有：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3，排列方法共有

13311

C3A3A3C3C321種；

11

②點(diǎn)數(shù)之和為16的情況有：4,6,6；5,5,6，排列方法共有C3C36種.

所以，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的所有不同走法共有21627種.

故選：D.

變式21．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱(chēng)為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)

字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復(fù)的

五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為

A．20B．18C．16D．11

【答案】C

【解析】此“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字必有5、另一數(shù)是3或4；

23

是4時(shí)“波浪數(shù)”有A2A312；

另一數(shù)3時(shí)4、5必須相鄰即45132；45231；13254；23154四種．

則由1，2，3，4，5可構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”個(gè)數(shù)為16，

故選C．

變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所

示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不．能．連．續(xù)．固定相鄰的2個(gè)螺栓.則

不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．

【答案】60

【解析】根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相

等的，若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)臅r(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10

種方法，所以總共有10660種方法，故答案是60.

題型八：多面手問(wèn)題

例22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交

流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6

人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法．

A．675B．575C．512D．545

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類(lèi)處理．

第一類(lèi)2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，則從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇3人來(lái)跳舞，接著從剩

33

余的5人中選擇3人唱歌，故有C5C5100種；

1

第二類(lèi)2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有C2種，再?gòu)膹募饶艹栌帜芴璧?人中選擇2人來(lái)

23123

跳舞，有C5種，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇3人唱歌，有C6種，故有C2C5C6400種；

2

第三類(lèi)2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有C2種，再?gòu)膹募饶艹栌帜芴璧?人中選擇1人來(lái)跳

13213

舞，有C5種，再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選擇3人唱歌，有