2025年高考數(shù)學必刷題分類：第41講、等差數(shù)列及其前n項和（學生版）

第41講等差數(shù)列及其前n項和

知識梳理

知識點一．等差數(shù)列的有關(guān)概念

（1）等差數(shù)列的定義

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這

個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達式為

（常數(shù)）*，．

anan－1d(nNn2)

（2）等差中項

ab

若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A=．

2

知識點二．等差數(shù)列的有關(guān)公式

（1）等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．

{an}a1dana1(n1)d

（2）等差數(shù)列的前n項和公式

n(n1)n(aa)

設(shè)等差數(shù)列{a}的公差為d，其前n項和Snad1n．

nn122

知識點三．等差數(shù)列的常用性質(zhì)

已知{an}為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項和．

，*

（1）通項公式的推廣：anam(nm)d(nmN)．

（）在等差數(shù)列中，當時，，，，*．

2{an}mnpqamanapaq(mnpqN)

，，*

特別地，若mn2t，則aman2at(mntN)．

（），，，仍是等差數(shù)列，公差為，*．

3akak＋mak＋2m…md(kmN)

（），－，－，也成等差數(shù)列，公差為2．

4SnS2nSnS3nS2n…nd

（）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．

5{an}{bn}{panqbn}

S

（6）若{a}是等差數(shù)列，則{n}也成等差數(shù)列，其首項與{a}首項相同，公差是{a}

nnnn

公差的1．

2

S奇a

（）若項數(shù)為偶數(shù)，則；－＝；n．

72nS2nn(a1a2n)n(anan1)S偶S奇nd

S偶an1

S

（）若項數(shù)為奇數(shù)，則；－=；奇n．

82n1S2n－1(2n1)anS奇S偶an

S偶n1

a

（）在等差數(shù)列中，若，，則滿足m的項數(shù)使得取得最大

9{an}a10d0mSn

am1

a

，m

值Sm；若a10d0，則滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值Sm．

am1

知識點四．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系

dd

Sn2(a)n．數(shù)列{a}是等差數(shù)列SAn2Bn（A、B為常數(shù)）．

n212nn

?

知識點五．等差數(shù)列的前n項和的最值

公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；

d0{an}Sn

公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；

d0{an}Sn

公差為常數(shù)列．

d0{an}

特別地

a0

若1，則有最大值（所有正項或非負項之和）；

Sn

d0

a0

若1，則有最小值（所有負項或非正項之和）．

Sn

d0

知識點六．其他衍生等差數(shù)列．

若已知等差數(shù)列，公差為，前項和為，則：

{an}dnSn

①等間距抽取ap,apt,ap2t,ap(n1)t,為等差數(shù)列，公差為td．

②等長度截取為等差數(shù)列，公差為2．

Sm,S2mSm,S3mS2m,md

SSSd

③算術(shù)平均值1,2,3,為等差數(shù)列，公差為．

1232

【解題方法總結(jié)】

（）等差數(shù)列中，若，則．

1{an}anm,amn(mn,m,nN)amn0

（）等差數(shù)列中，若，則．

2{an}Snm,Smn(mn,m,nN)Smn(mn)

（）等差數(shù)列中，若，則．

3{an}SnSm(mn,m,nN)Smn0

aS

（）若與為等差數(shù)列，且前項和為與，則m2m1．

4{an}{bn}nSnTn

bmT2m1

必考題型全歸納

題型一：等差數(shù)列的基本量運算

例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知數(shù)列an滿足：a11，且滿足

*

anan1n(nN)，則a2023（）

A．1012B．1013C．2022D．2024

例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn,a31,S73a6，則S3

（）

A．1B．1

C．3D．3

例3．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列an中，a2a42，a53，則a9（）．

A．3B．5C．7D．9

變式1．（2024·江西新余·統(tǒng)考二模）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和，若a2S3，

a1a3S4，則數(shù)列an的公差為（）

A．2B．1C．2D．4

變式2．（2024·廣西·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)an為等差數(shù)列，若a32a11,a45，則公差d（）

A．－2B．－1C．1D．2

變式3．（2024·山西·高三校聯(lián)考階段練習）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若

S3a5,a3a18，則a7（）

A．30B．28C．26D．13

【解題方法總結(jié)】

等差數(shù)列基本運算的常見類型及解題策略：

（1）求公差d或項數(shù)n．在求解時，一般要運用方程思想．

（2）求通項．a(chǎn)1和d是等差數(shù)列的兩個基本元素．

（3）求特定項．利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解．

（4）求前n項和．利用等差數(shù)列的前n項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．

【注意】在求解數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意使用公式時的準確性

與合理性，更要注意運算的準確性．在遇到一些較復雜的方程組時，要注意運用整體代換思

想，使運算更加便捷．

題型二：等差數(shù)列的判定與證明

例4．（2024·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知數(shù)列an的前n項和為

1

S,Sn2a，且a1.

nn3n1

a

(1)求證：數(shù)列n是等差數(shù)列；

n

1

(2)求數(shù)列的前n項和Tn.

an

例5．（2024·江蘇南京·高二南京師范大學附屬中學江寧分校?？计谀┯汼n為數(shù)列{an}的前

n項和．

(1)從下面兩個條件中選一個，證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；

Sna1

①數(shù)列n是等差數(shù)列；②n*

SnnN

n2

n

(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a11，a35，求數(shù)列的前n項和Tn．

(n2)Sn

a2

2n*

例6．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an滿足a1，an1nN．

32an3

1

(1)證明：是等差數(shù)列，并求出an的通項an．

an1

1

(2)證明：a1a2a3an．

n1

變式4．（2024·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知數(shù)列an滿足，

an1,n2k1

an1,kN，a1=1.

an2,n2k

(1)若數(shù)列bn為數(shù)列an的奇數(shù)項組成的數(shù)列，證明：數(shù)列bn為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列an的前50項和.

變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an的前n項和為SnSn0，數(shù)列Sn的前

*

n項積為Tn，且滿足SnTnSnTnnN．

1

(1)求證：為等差數(shù)列；

Sn1

1

(2)記bn2，求數(shù)列bn的前2024項的和M．

nSn

變式6．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an中，a11，當n2時，

2

其前n項和Sn滿足：SnanSn1，且Sn0，數(shù)列bn滿足：對任意nN*有

bbbn1

12nn122.

S1S2Sn

1

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

Sn

(2)求數(shù)列bn的通項公式；

2n13

(3)設(shè)Tn是數(shù)列的前n項和，求證：Tn.

b2nbn2

【解題方法總結(jié)】

判斷數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法

an

（）定義法：對任意*是周一常數(shù)．

1nN,an1an

*

（2）等差中項法：對任意n2,nN，湍足2anan1an1．

*

（3）通項公式法：對任意nN，都滿足anpnq(p,q為常數(shù)）．

（）前項和公式法：對任意*，都湍足2為常數(shù)）．

4nnNSnAnBn(A,B

題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)

例7．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列{an}滿足a2a4a6π，則

cosa1a7（）

1123

A．B．C．D．

2222

例8．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S21105，則a11

（）

A．5B．6C．7D．8

例9．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an滿足2an1anan2，其前n項和為Sn，若

S918，則a5（）

A．2B．0C．2D．4

變式7．（2024·全國·高三專題練習）如果等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么

a1a2a7（）

A．14B．12C．28D．36

變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1a9a177，則a3a15

等于（）

A．7B．14C．21D．7(n-1)

變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列an中，a2a46，則a1a2a3a4a5

（）

A．30B．15C．56D．106

【解題方法總結(jié)】

，，，*

如果{an}為等差數(shù)列，當mnpq時，amanapaq(mnpqN)．因此，出

現(xiàn)，，等項時，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與（或其他項）有關(guān)的條件；

am－namam＋nam

1

若求a項，可由a=(a－a＋)轉(zhuǎn)化為求am－n＋an＋m的值．

mm2mnmn

題型四：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

例10．（2024·全國·高三專題練習）兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn和Tn，已

S7n2a7

知n，則______．

Tnn3b7

例11．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，且

S3n1a

n，則8______.

Tnn3b5b11

例12．（2024·全國·高三專題練習）若兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和分別是Sn，Tn，

S3n1a

已知n，則3______.

Tn2n3b3

變式10．（2024·高三課時練習）已知數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn與

S3n2a

n5

Tn，若，則______．

Tnn1b5

變式11．（2024·寧夏·高三六盤山高級中學?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若

S39，S636，則a4a5a6_________

變式12．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列an的前

n項和為Sn，若S1020，S3090，則S20___________

變式13．（2024·全國·高三專題練習）等差數(shù)列an中，a12020，前n項和為Sn，若

S12S10

2，則S2022______.

1210

1

變式14．（2024·全國·高三對口高考）已知等差數(shù)列a的前n項和為Sn，若公差d，

n2

S100145；則a1a3a5a99的值為__________.

變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，

偶數(shù)項的和為32，則a5______.

變式16．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第一中學校考二模）在等差數(shù)列an中，前m項（m

為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項之和為30，且a1am12，則an的通項公式為an______.

【解題方法總結(jié)】

S

在等差數(shù)列中，S，S－S，S－S，…仍成等差數(shù)列；{n}也成等差數(shù)列．

n2nn3n2nn

題型五：等差數(shù)列前n項和的最值

例13．（2024·全國·高三專題練習）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且S235，

a2a3a439，則當Sn取最大值時，n的值為___________.

例14．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S120，S130，

則以下選項中，最大的是（）

A．S12B．S7C．S6D．S1

2

例15．（2024·四川·模擬預測）在數(shù)列an中，若a121，前n項和Sn2nbn，則Sn的

最大值為______．

變式17．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┮阎炔顢?shù)列an的各項

均為正整數(shù)，且a92020，則a1的最小值是________

><

變式18．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S250，S260，

S

則數(shù)列nnN,n25中的最大項是第______項.

an

an

變式19．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列a滿足a21,aa2n，則

n1n1nn

的最小值為_______.

變式20．（2024·全國·高三專題練習）等差數(shù)列an中，S6S7，S7S8，給出下列命題：

①d0，②S9S6，③a7是各項中最大的項，④S7是Sn中最大的值，⑤an為遞增數(shù)列.

其中正確命題的序號是______.

變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列an的通項公式為an31tntZ，

當且僅當n10時，數(shù)列an的前n項和Sn最大.則滿足Sk0的k的最大值為__________.

變式22．（2024·高三課時練習）記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a10，a2a20230，

則當Sn取得最大值時，n＝______．

變式23．（2024·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若僅當n5

時Sn取到最小值，且|a5||a6|，則滿足Sn0的n的最小值為__________.

變式24．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和.

若S160，a7a90，則當Sn取最小值時，n的值為________.

變式25．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9a120，a10a110，

且數(shù)列{an}的前n項和Sn有最大值，那么當Sn0時，n的最大值為__．

【解題方法總結(jié)】

求等差數(shù)列前項和最值的種方法

nSn2

2＋

（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Snanbn，通過配方或借助圖象

求二次函數(shù)最值的方法求解．

a

（）鄰項變號法：①若，，則滿足m的項數(shù)使得取得最大值；

2a10d0mSnSm

am1

a

②若，，則滿足m的項數(shù)使得取得最小值．

a10d0mSnSm

am1

題型六：等差數(shù)列的實際應(yīng)用

例16．（2024·全國·高三專題練習）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、

清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春

分這三個節(jié)氣的日影長度之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為85.5尺，則谷雨這一

天的日影長度為（）

A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺

例17．（2024·河北唐山·唐山市第十中學?？寄M預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆

世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之

后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀念本

次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編

號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以

獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），

則獲得精品足球的人數(shù)為（）

A．102B．103C．104D．105

例18．（2024·全國·高三專題練習）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨

第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，

已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個

座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（）

A．12B．26C．42D．50

變式26．（2024·全國·高三專題練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十

二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、

卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相

配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，

第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開

始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2024年是

癸卯年，請問：在100年后的2123年為（）

A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年

變式27．（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）家庭農(nóng)場是指以農(nóng)戶家庭成員為主要勞動力的新型

農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體．某家庭農(nóng)場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相

同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019

年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為（）

A．630萬元B．350萬元C．420萬元D．520萬元

題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項問題的討論

an6,n為奇數(shù)

例19．（2024·全國·高三專題練習）已知a為等差數(shù)列，b，記Sn，Tn分

nn為偶數(shù)

2an,n

別為數(shù)列an，bn的前n項和，S432，T316．

(1)求an的通項公式；

(2)證明：當n5時，TnSn．

例20．（2024·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列an滿足a310，a52a26．

(1)求an；

2n1,n為奇數(shù)

(2)數(shù)列b滿足b，Tn為數(shù)列b的前n項和，求T2n．

nn1為偶數(shù)n

an1,n

2

n

例21．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an滿足：an21an3，a11，a22.

(1)記bna2n1，求數(shù)列bn的通項公式；

(2)記數(shù)列an的前n項和為Sn，求S30.

k*

變式28．（2024·江蘇南京·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an和bn滿足：ank1anbn(nN).

，，n

（1）若k1a11bn2，求數(shù)列an的通項公式；

，，，，，

（2）若k4bn8a14a26a38a,410.

求證：數(shù)列an為等差數(shù)列；

232

記數(shù)列a的前n項和為Sn，求滿足S1a33k的所有正整數(shù)k和n的值.

nn2n

變式29．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列an中，a1a21，前n項和Sn滿足

2*

SnSn1n2nnN．

（1）證明：a2n為等差數(shù)列；

（2）求S101．

【解題方法總結(jié)】

對于奇偶項通項不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從n為奇數(shù)、偶數(shù)進

行分類．

題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題

2Sn

例22．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列a的前n項和為Sn，且n13.

nn

(1)求數(shù)列an的通項公式；

Tn

(2)若數(shù)列a的前n項和為Tn，設(shè)R，求R的最小值.

nnnn

例23．（2024·全國·高三專題練習）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a211,S1040．

(1)求an的通項公式；

(2)求數(shù)列an的前n項和Tn．

例24．（2024·全國·高三專題練習）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S14S818，a2a100．

(1)求數(shù)列an的通項公式；

100

(2)求ak的值．

k1

變式30．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，其中a210，

S642．

(1)求數(shù)列an的通項；

(2)求數(shù)列an的前n項和為Tn．

變式31．（2024·全國·高三專題練習）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a110，且2a1，

1

2a2，5a成等比數(shù)列．

235

(1)求d，an；

(2)若d0，求|a1||a2||a3||an|

【解題方法總結(jié)】

由正項開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：

an

（1）首先找出零值或者符號由正變負的項a

n0

（2）在對n進行討論，當nn時，TS，當nn時，T2SS

0nn0nn0n

題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解

例25．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列an單調(diào)遞增且滿足a1a86，則a6的取

值范圍是（）

A．,3B．3,6C．3，+D．6,

例26．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)an是等差數(shù)列，則“a1a2a3”是“數(shù)列an是遞增

數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

例27．（2024·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列an中，Sn為an的前n項和，a10，a6a70，

則無法判斷正負的是（）

A．S11B．S12C．S13D．S14

變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列an公差不為0，正項等比數(shù)列bn，

a2b2，a10b10，則以下命題中正確的是（）

A．a(chǎn)1b1B．a(chǎn)5b5C．a(chǎn)6b6D．a(chǎn)17b17

變式33．（2024·全國·高三專題練習）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若nN，SnS7，

則數(shù)列an的通項公式可能是（）

A．a(chǎn)n3n15B．a(chǎn)n173nC．a(chǎn)nn7D．a(chǎn)n152n

(3a)x3,x7

變式34．（2024·山西朔州·高二校考階段練習）設(shè)函數(shù)f(x)x6，數(shù)列an滿

a,x7

足anf(n),nN，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）

3

A．(2,3]B．(1,3)C．2,3D．(1,)

2

【解題方