2025年高考數(shù)學必刷題分類：第69講、直線與圓錐曲線的位置關系（學生版）

第69講直線與圓錐曲線的位置關系

知識梳理

知識點一、直線和曲線聯(lián)立

x2y2

（1）橢圓1(ab0)與直線l:ykxm相交于AB兩點，設A(x，y)，

a2b211

，

B(x2y2)

x2y2

1222222222

a2b2，(bka)x2akmxamab0

ykxm

x2y2

橢圓1(a0，b0)與過定點(m，0)的直線l相交于AB兩點，設為xtym，

a2b2

x2y2

1222222222

如此消去x，保留y，構造的方程如下：a2b2，(atb)y2btmybmab0

xtym

注意：

①如果直線沒有過橢圓內部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都

需要擺出0，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關系．

②焦點在y軸上的橢圓與直線的關系，雙曲線與直線的關系和上述形式類似，不在贅述．

2，

（2）拋物線y2px(p0)與直線xtym相交于A、B兩點，設A(x1y1)，

，

B(x2y2)

y1y22pt

聯(lián)立可得y22p(tym)，0時，

y1y22pm

py2y21

特殊地，當直線AB過焦點的時候，即m，yy2pmp2，xx12p2，

212122p2p4

因為AB為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標來記憶．

拋物線2與直線相交于兩點，設，，，

x2py(p0)ykxmC、DC(x1y1)D(x2y2)

x1x22pk

聯(lián)立可得x22p(kxm)，0時，

x1x22pm

注意：在直線與拋物線的問題中，設直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計

算量．開口向上選擇正設；開口向右，選擇反設；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分

析．

總結：韋達定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積

問題，三點共線問題，角度問題等?？純热莸臅r候，要把題目中的核心信息，轉化為坐標表

達，轉化為可以使用韋達定理的形式，這也是目前考試最常考的方式．

知識點二、根的判別式和韋達定理

x2y2

1(ab0)與ykxm聯(lián)立，兩邊同時乘上a2b2即可得到

a2b2

(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0，為了方便敘述，將上式簡記為Ax2BxC0．該

式可以看成一個關于x的一元二次方程，判別式為4a2b2(a2k2b2m2)可簡單記

4a2b2(Am2)．

x2y2

同理1(ab0)和xtym聯(lián)立(a2t2b2)y22b2tmyb2m2a2b20，為了

a2b2

方便敘述，將上式簡記為Ay2ByC0，4a2b2(a2t2b2m2)，可簡記4a2b2(Am2)．

l與C相離0；l與C相切0；l與C相交0．

BC

注意：（1）由韋達定理寫出xx，xx，注意隱含條件0．

12A12A

（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．

（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把a2，b2互換位置即可．

（4）直線和雙曲線聯(lián)立結果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把b2換成b2即可；

焦點在y軸的雙曲線，把a2換成b2即可，b2換成a2即可．

（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關系，

因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范

圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，

真正算出具體坐標．

知識點三、弦長公式

設，，，根據(jù)兩點距離公式22．

M(x1y1)N(x2y2)|MN|(x1x2)(y1y2)

（）若、在直線上，代入化簡，得2

1MNykxm|MN|1kx1x2；

（）若、所在直線方程為，代入化簡，得2

2MNxtym|MN|1ty1y2

|xx||yy|

（3）構造直角三角形求解弦長，|MN|2121．其中k為直線MN斜率，

|cos||sin|

為直線傾斜角．

注意：（1）上述表達式中，當為k0，m0時，mk1；

（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．

（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為Ax2BxC0(A0)，判別式為

BCB24AC

B24AC，0時，xx(xx)24xx()24，

121212AAAA

利用求根公式推導也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．

（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關系求解弦長會

更加簡單．

（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式．

知識點四、已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程

x2y2b2x

（）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為0，

1AB221ab.0Mx0,y0AB2

abay0

運用點差法求AB的斜率；設Ax1,y1，Bx2,y2x1x2，A，B都在橢圓上，

22

x1y1

12222

a2b2xxyy

所以，兩式相減得12120

2222

x2y2ab

1

a2b2

xxxxyyyy

所以121212120

a2b2

yyb2xxb2xb2x

即12120，故0

22kAB2

x1x2ay1y2ay0ay0

x2y2

（2）運用類似的方法可以推出；若AB是雙曲線1ab.0的弦，中點

a2b2

b2xp

，則0；若曲線是拋物線2，則．

Mx0,y0kAB2y2pxp0kAB

ay0y0

必考題型全歸納

題型一：直線與圓錐曲線的位置關系

x2

例1．（2024·全國·高三對口高考）已知橢圓C:y21的兩焦點為F，F(xiàn)，點P(x,y)滿

21200

2

x02x0x

足0y1，則直線y0y1與橢圓C的公共點個數(shù)為（）

202

A．0B．1C．2D．不確定，與P點的

位置有關

例2．（2024·全國·高三對口高考）若直線l被圓C:x2y22所截的弦長不小于2，則l與下

列曲線一定有公共點的是（）

2

2x

A．x1y21B．y21

2

C．y=x2D．x2y21

y2

例3．（2024·重慶·統(tǒng)考二模）已知點P1,2和雙曲線C:x21，過點P且與雙曲線C只

4

有一個公共點的直線有（）

A．2條B．3條C．4條D．無數(shù)條

變式1．（1999·全國·高考真題）給出下列曲線方程：

①4x2y10；

②x2y23；

x2

③y21；

2

x2

④y21．

2

其中與直線y2x3有交點的所有曲線方程是（）

A．①③B．②④C．①②③D．②③④

變式2．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）命題p：直線ykxb與拋物線x22py有且僅有一個

公共點，命題q：直線ykxb與拋物線x22py相切，則命題p是命題q的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．非充分非必要條件

變式3．（2024·全國·高三專題練習）過點(1,2)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共

點，這樣的直線有（）

A．1條B．2條C．3條D．4條

【解題方法總結】

（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程

聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中0；另一方面就是數(shù)形結合，如直線與雙曲線

有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到．

（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋

物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切．

題型二：中點弦問題

方向1：求中點弦所在直線方程問題；

x2y2

例4．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓1內一點P(1,1)引一條恰好被P點平

54

分的弦，則這條弦所在直線的方程是

x2y2

例5．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：1，圓O：x2y24，直線l與

124

圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若PBQA，

則直線l的方程為．

y2

例6．（2024·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知A,B為雙曲線x21上兩點，且線段AB的中

9

點坐標為1,4，則直線AB的斜率為.

變式4．（2024·全國·高二專題練習）雙曲線9x216y2144的一條弦的中點為A8,3，則此

弦所在的直線方程為.

變式5．（2024·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）拋物線C：y26x與直線l交于A，B兩點，且

AB的中點為m,2，則l的斜率為.

變式6．（2024·高二課時練習）已知拋物線C的頂點為坐標原點，準線為x=1，直線l與拋

物線C交于M,N兩點，若線段MN的中點為1,1，則直線l的方程為．

方向2：求弦中點的軌跡方程問題；

x2

變式7．（2024·全國·高三專題練習）直線l與橢圓y21交于A，B兩點，已知直線l的

4

斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．

變式8．（2024·上海浦東新·高二上海市實驗學校?？计谀┮阎獧E圓x24y216內有一點

A(1,1)，弦PQ過點A，則弦PQ中點M的軌跡方程是.

變式9．（2024·全國·高一專題練習）斜率為2的平行直線截雙曲線x2y21所得弦的中點

的軌跡方程是．

變式10．（2024·全國·高三專題練習）直線l:axya50（a是參數(shù)）與拋物線

2

f:yx1的相交弦是AB，則弦AB的中點軌跡方程是.

y2

變式11．（2024·全國·高三專題練習）設橢圓方程為x21，過點M0,1的直線l交橢圓

4

1

于點A、B，O是坐標原點，點P滿足OPOAOB，當l繞點M旋轉時，求動點P的

2

軌跡方程．

方向3：對稱問題

x2y2

變式12．（2024·江蘇·高二專題練習）已知橢圓E:1(ab0)的焦距為2c，左右焦

a2b2

2222

點分別為F1、F2，圓F1:(xc)y1與圓F2:(xc)y9相交，且交點在橢圓E上，

1

直線l:yxm與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．

4

(1)求橢圓E的方程；

(2)若m1，試問E上是否存在P、Q兩點關于l對稱，若存在，求出直線PQ的方程，若

不存在，請說明理由．

x2y2

變式13．（2024·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:1ab0的離心率為e，

a2b2

23

且過點1,e和,．

22

(1)求橢圓C的方程；

1

(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關于直線yx對稱，求AB．

2

6

變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知O為坐標原點，點1,在橢圓C：

2

x2y2

1ab0上，直線l：y=x+m與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直

a2b2

1

線OM的斜率為．

2

(1)求C的方程；

(2)若m=1，試問C上是否存在P，Q兩點關于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存

在，請說明理由．

變式15．（2024·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谥校┮阎€C的方程是

22222

1axya10，其中a0，a1，直線l的方程是yxa．

2

(1)請根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；

(2)若直線l交曲線C于兩點M，N，且線段MN中點的橫坐標是2，求a的值；

(3)若a2，試問曲線C上是否存在不同的兩點A，B，使得A，B關于直線l對稱，并說

明理由．

x2y2

變式16．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）雙曲線C的離心率為5，且與橢圓1有公共

294

焦點．

（1）求雙曲線C的方程．

（2）雙曲線C上是否存在兩點A，B關于點（4，1）對稱？若存在，求出直線AB的方程；

若不存在，說明理由．

變式17．（2024·高二課時練習）已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點，且線段AB恰

好被點P(2,2)平分.

(1)求直線l的方程；

(2)拋物線上是否存在點C和D，使得C，D關于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；

若不存在，請說明理由.

變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線l：y2xa

與拋物線C交于A，B兩點.

(1)若a1，求FAB的面積；

(2)若拋物線C上存在兩個不同的點M，N關于直線l對稱，求a的取值范圍.

方向4：斜率之積問題

2

2y

變式19．（2024·云南昭通·高二?？计谥校┮阎甭蕿閗1k10的直線l與橢圓x1交

16

于A,B兩點，線段AB的中點為C，直線OC（O為坐標原點）的斜率為k2，則k1k2（）

11

A．4B．C．D．16

416

x2y2

變式20．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線l1:y2x2過橢圓C；1(ab0)

a2b2

的一個焦點，與C交于A，B兩點，與l1平行的直線l2與C交于M，N兩點，若AB的中點

4

為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）

9

x2y2x2y2

A．1B．1

4395

x2y25x25y2

C．+=1D．1

983616

x2y2

變式21．（2024·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）橢圓1，M，N是橢圓上關于原點對稱的

94

兩動點，P為橢圓上任意一點，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k2的最小值

為（）

4324

A．B．C．D．

3239

變式22．（2024·山西晉中·高二?？茧A段練習）過點M2,0的直線與橢圓x22y22相交

于P1，P2兩點，設線段P1P2的中點為P，若直線P1P2的斜率為k1k10，直線OP（O為原

點）的斜率為k2，則k1k2等于（）.

11

A．2B．2C．D．

22

y2x2

變式23．（2024·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）過雙曲線C:1(a0,b0)內一點

a2b2

1

M1,1且斜率為的直線交雙曲線于A,B兩點，弦AB恰好被M平分，則雙曲線C的離心

2

率為（）

65

A．B．C．3D．5

22

x2y2

變式24．（2024·福建泉州·高二?？计谥校┻^雙曲線C：1（a0，b0）的焦點

a2b2

1

且斜率不為0的直線交C于A，B兩點，D為AB中點，若kk，則C的離心率為（）

ABOD2

6

A．6B．2C．3D．

2

x2y2

變式25．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：1a0,b0的左，右焦

a2b2

點分別是F1，F(xiàn)2，其中F1F22c，過右焦點F2的直線l與雙曲線的右支交與A，B兩點，則

下列說法中錯誤的是（）

2b2

A．弦AB的最小值為

a

B．若ABm，則三角形F1AB的周長2m4a

b2

C．若AB的中點為M，且AB的斜率為k，則kk

OMa2

D．若直線AB的斜率為3，則雙曲線的離心率e2,

【解題方法總結】

直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何的重要內容之一，也是高考的一個熱

點問題．這類問題一般有以下3種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的

軌跡方程問題；（3）對稱問題，但凡涉及到弦的中點斜率的問題．首先要考慮是點差法．

即設出弦的端點坐標，根據(jù)端點在曲線上，結合中點坐標公式，尋找中點坐標與弦的斜

率之間的聯(lián)系．除此之外，最好也記住如下結論：

x2y2b2

在橢圓1(ab0)中，中點弦的斜率為k，滿足kk．

a2b20a2

x2y2b2

在雙曲線1(a,b0)中，中點弦的斜率為k，滿足kk．（其中k為原點

a2b20a20

與弦中點連線的斜率）．

2

在拋物線y2px(p0)中，中點弦的斜率為k，滿足ky0p（y0為中點縱坐標）．

題型三：弦長問題

例7．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知直線l與圓O:x2y21相切，

x2y26

且交橢圓C:1于Ax1,y1,Bx2,y2兩點，若y1y2，則|AB|．

437

x2π

例8．（2024·全國·高三對口高考）已知橢圓y21，過左焦點F作傾斜角為的直線交

96

橢圓于A、B兩點，則弦AB的長為．

x2

例9．（2024·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C：y21的左焦點為F，過點F且

2

傾斜角為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，則AB．

4

y2x2

變式26．（2024·安徽滁州·?？寄M預測）已知直線l與橢圓1在第二象限交于A,B

63

兩點，且l與x軸、y軸分別交于M,N兩點，若MANB，MN23，則l的方程為．

變式27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，

比如放在太陽底下的籃球，在地面上的影子就可能是一個橢圓.已知影子橢圓

22

xy1

C:1(ab0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為．過F1且垂直

a2b22

11

于AF2的直線與C交于D，E兩點，DE6，則的最小值是．

2DF1AD

2

x2

變式28．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學?？既＃┤鐖D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓y1

4

的左、右焦點，A，C在橢圓上且關于原點對稱（點A在第一象限），延長CF2交橢圓于點B，

49

若AFBF，則直線AC的方程為.

1213

x2y2

變式29．（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線C:1a0，過其右焦點F的

a212

直線l與雙曲線C交于A、B兩點，已知AB16，若這樣的直線l有4條，則實數(shù)a的取值

范圍是.

變式30．（2024·貴州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線C:x2my21m0的左、右焦點分別為

F1，F(xiàn)2，點A，B分別在雙曲線C的左支與右支上，且點A，B與點F2共線，若

AB:AF1:BF12:2:3，則AB.

x2y2

變式31．（2024·全國·高三專題練習）過雙曲線1的右焦點作傾斜角為30°的直線l，

36

直線l與雙曲線交于不同的兩點A，B，則AB的長為．

變式32．（2024·湖南長沙·周南中學?？级＃└鶕?jù)拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)

出的光，經(jīng)拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線y22x，若從點Q（3，2）

發(fā)射平行于x軸的光射向拋物線的A點，經(jīng)A點反射后交拋物線于B點，則AB.

變式33．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線y22px(p0)的準線l與x軸的交點為

M，過焦點F的直線AB分別與拋物線交于A,B兩點（A點在第一象限），AFBFAB，

3

直線AB的傾斜角為銳角，且滿足sinAMFsin，則AB.

2

變式34．（2024·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€y22px(p0)的焦點為F，過點F的直線

與該拋物線交于A，B兩點，AB10，AB的中點橫坐標為4，則p．

【解題方法總結】

在弦長有關的問題中，一般有三類問題：

（1）弦長公式：AB1k2xx1k2．

12a

（2）與焦點相關的弦長計算，利用定義；

（3）涉及到面積的計算問題．

題型四：面積問題

方向1：三角形問題

x2y2

例10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）設橢圓C:1ab0的左?右頂點分別為A,B，

a2b2

3

且焦距為2.點P在橢圓上且異于A,B兩點，若直線PA與PB的斜率之積為.

4

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點F1,0作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M,N兩點，直線m的方程為：

x2a，過點M作ME垂直于直線m，交m于點E.求OEN面積的最大值.

例11．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C：y22pxp0上一點

5

Aa,aa0到焦點F的距離為．

2

(1)求拋物線C的方程；

2

(2)過點F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點，直線OP,OQ與圓E：x2y24的另一

交點分別為M,N,O為坐標原點，求△OPQ與OMN面積之比的最小值．

x2y2

例12．（2024·河南·高三校聯(lián)考開學考試）橢圓1(ab0)的左右頂點分別為

a2b2

1

A,B,M(2,1)是栯圓上一點，kMAkMB．

2

(1)求橢圓方程；

(2)動直線xm交橢圓于P,Q兩點，求PQM面積取最大時的m的值．

變式35．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）已知O為坐標原點，A(1,0)，B(1,0)，直線AM，

BM的斜率之積為4，記動點M的軌跡為E.

(1)求E的方程；

3

(2)直線l經(jīng)過點0,3，與E交于P，Q兩點，線段PQ中點D為第一象限，且縱坐?為，

2

求△OPQ的面積.

變式36．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？奸_學考試）已知點2,0在橢圓C：

x2y21

1(ab0)上，點Mm,m0在橢圓C內.設點A，B為C的短軸的上、下端

a2b22

1

點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.

4

(1)求橢圓C的方程；

S1

△AMF

(2)記S△BME，SAMF分別為BME，AMF的面積，若，求m的值.

S△BME4

x2y2

變式37．（2024·河南開封·統(tǒng)考模擬預測）已知點A(3,1)在橢圓C:1上，直線l交

a2a28

C于M，N兩點，直線AM，AN的斜率之和為0．

(1)求直線l的斜率；

(2)求OMN的面積的最大值（O為坐標原點）．

變式38．（2024·廣東佛山·高三統(tǒng)考開學考試）設動點M與定點Fc,0c0的距離和M

4c

到定直線l：x的距離的比是．

c2

(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；

(2)當c2時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：y24x相切，且與曲線交

于點A，B．求AOB面積的最大值．

方向2：四邊形問題

變式39．（2024·浙江·高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓C：

x2y2

1（ab0）中有如下性質：不過橢圓中心O的一條弦PQ的中點為M，當PQ，

a2b2

b2x2y2

OM斜率均存在時，kk，利用這一結論解決如下問題：已知橢圓E：1，

PQOMa2819

直線OP與橢圓E交于A，B兩點，且OA3OP，其中O為坐標原點.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)過點P作直線CD交橢圓E于C，D兩點，使PCPD0，求四邊形ACBD的面積.

x2y2

變式40．（2024·湖北恩施·?？寄M預測）已知F1,F2是橢圓C:1(ab0)的左右

a2b2

焦點，以F1F2為直徑的圓和橢圓C在第一象限的交點為G，若三角形GF1F2的面積為1，其

內切圓的半徑為23．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A是橢圓C的上頂點，過點P2,1的直線與橢圓C交于不同的兩點D,E，點D在

第二象限，直線AD、AE分別與x軸交于M,N，求四邊形DMEN面積的最大值．

變式41．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）如圖．已知圓

M:(x2)2y281，圓N:(x2)2y21．動圓S與這兩個圓均內切．

(1)求圓心S的軌跡C的方程；

(2)若P2,3、Q2,3是曲線C上的兩點，A、B是曲線C上位于直線PQ兩側的動點．若直

1

線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值．

2

y2x22

變式42．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，

1a2b22

2

拋物線C2:x8y的準線與C1相交，所得弦長為26.

(1)求C1的方程；

(2)若Ax1,y1,Bx2,y2在C2上，且x10x2，分別以A,B為切點，作C2的切線相交于點P，

點P恰好在C1