2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第68講、曲線的軌跡方程（學(xué)生版）

第68講曲線的軌跡方程

知識梳理

一．直接法求動點的軌跡方程

利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：

（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

（2）設(shè)點：設(shè)軌跡上的任一點Px,y

（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含x,y的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將

其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式化簡

（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)

另外補充檢驗）．簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補充說明．

注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．

二．定義法求動點的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點P和滿足焦點標(biāo)志的

定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點；（2）標(biāo)記為F的點；（3）

圓心；（4）題目提到的定點等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿

足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．

三．相關(guān)點法求動點的軌跡方程

如果動點P的運動是由另外某一點P的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點

坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P(x,y)，用(x,y)表示出相關(guān)點P的坐標(biāo)，然后把

P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程．

四．交軌法求動點的軌跡方程

在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵?/p>

解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)

法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．

五．參數(shù)方程法求動點的軌跡方程

動點M(x,y)的運動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個

xf()

參數(shù)表示動點的坐標(biāo)，即，再消參.

yg()

六．點差法求動點的軌跡方程

圓錐曲線中涉及與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點

的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，

A(x1,y1),B(x2,y2)x1x2y1y2x1x2y1y2

等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率

ABP(x,y)2xx1x22yy1y2AB

y2y1

為，由此可求得弦AB中點的軌跡方程．

x2x1

必考題型全歸納

題型一：直接法

例1．（2024·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）動點P與定點A(1,0),B1,0的連線的斜率之積為1，

則點P的軌跡方程是.

例2．（2024·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A：x2(y3)21，過動點P

作圓A的切線PB（B為切點），使得PB3，則動點P的軌跡方程為.

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條直線l1:2x3y20和l2:3x2y30，有一

動圓與l1及l(fā)2都相交，并且l1、l2被截在圓內(nèi)的兩條弦長分別是26和24，則動圓圓心的軌跡

方程是．

變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中有兩點F12,0,F22,0，且曲

線C1上的任意一點P都滿足PF1PF25．則曲線C1的軌跡方程為.

變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上的動點P到點O(0,0)和A(2,0)的距離之比為

3

，則點P的軌跡方程為.

2

變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x=8，P為該平面上

11

一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(PCPQ)·(PCPQ)=0．則動點P的軌跡方程

22

為；

題型二：定義法

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若F1(0,3)，F(xiàn)2(0,3)，點P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，

則點P的軌跡方程是

例5．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓M與圓O:x2y21內(nèi)切，且圓M與直線

x2相切，則圓M的圓心的軌跡方程為．

2

例6．（2024·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓M:(x1)2y21，圓N:x1y225，

動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，則圓心P的軌跡方程為

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△HMN的周長是18，

M，N是x軸上關(guān)于原點對稱的兩點，若MN6，動點G滿足GMGNGH0.則動點

G的軌跡方程為；

2

變式5．（2024·全國·高三對口高考）已知動圓P過點N2,0，且與圓M:x2y28

外切，則動圓P圓心Px,y的軌跡方程為.

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）ABC中，A為動點，B2,0，C2,0且滿足

sinCsinB2sinA，則A點的軌跡方程為．

22

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個動圓與圓C1:x(y3)1外切，與圓

2

C2:x(y3)81內(nèi)切，則這個動圓圓心的軌跡方程為．

2

112

變式8．（2024·全國·高三對口高考）已知A,0，B是圓F:xy4（F為圓心）

22

上一動點.線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為.

變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知定點R(1,0)，圓S:x2y22x150，過R

點的直線L1交圓于M，N兩點過R點作直線L2//SN交SM于Q點，求Q點的軌跡方程；

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O:x2y21，直線l:xy20，過l上的點

P作圓O的兩條切線，切點分別為A,B，則弦AB中點M的軌跡方程為.

變式11．（2024·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)2,0，

點A是直線x2上一個動點，連接AF并作AF的垂直平分線l，過點A作y軸的垂線交l

于點P，則點P的軌跡方程為．

22

變式12．（2024·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A1:x1y16，直線l1過點A21,0

且與圓A1交于點B，C，線段BC的中點為D，過A2C的中點E且平行于A1D的直線交A1C于

點P．

(1)求動點P的軌跡方程；

題型三：相關(guān)點法

x2y2

例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P為橢圓1上的任意一點，O為原點，M

2516

1

滿足OMOP，則點M的軌跡方程為．

2

例8．（2024·福建泉州·高三校考開學(xué)考試）M是圓C:x2y21上的動點，點N2,0，則

線段MN的中點P的軌跡方程是.

例9．（2024·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定點A(4,2)和曲線

x2y24上的動點B，則線段AB的中點P的軌跡方程為．

x2

變式13．（2024·全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線y21上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為

4

線段OP的中點，則點M的軌跡方程為．

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的頂點B3,0，C1,0，頂點A在拋物

線y=x2上運動，則ABC的重心G的軌跡方程為．

變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)過點Px,y的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正

半軸交于A、B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點．若BP2PA，且OQAB1，

則點P的軌跡方程是．

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，

ABAC

，GPGA，∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，

GAGBGC0

ABAC

存在非零實數(shù)，使得GIAB，則頂點C的軌跡方程為．

題型四：交軌法

例10．（2024·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線l1:ym(x2)，l2:xmym20，

當(dāng)任意的實數(shù)m變化時，直線l1與l2的交點的軌跡方程是．

例11．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線C:x22py(p0)的焦點F到準(zhǔn)線的距離

為2，直線l:ykx4與拋物線C交于P,Q兩點，過點P,Q作拋物線C的切線l1,l2，若l1,l2

交于點M，則點M的軌跡方程為.

x2y2

例12．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知A，B分別為橢圓1的左

43

?右頂點，點M，N為橢圓上的兩個動點，滿足線段MN與x軸垂直，則直線MA與NB交

點的軌跡方程為.

x2y2

變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知MN是橢圓1ab0中垂直于長軸的

a2b2

動弦，A,B是橢圓長軸的兩個端點，則直線AM和NB的交點P的軌跡方程為．

變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l在x軸上的截距為aa0且交拋物線

2

y2pxp0于A、B兩點，點O為拋物線的頂點，過點A、B分別作拋物線對稱軸的平

行線與直線xa交于C、D兩點．分別過點A、B作拋物線的切線，則兩條切線的交點的

軌跡方程為．

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：x28y，焦點為F，過F的直線l交

C于A，B兩點，分別作拋物線C在A，B處的切線，且兩切線交于點P，則點P的軌跡方

程為：．

變式20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，動圓C與直線MN

切于點B，分別過點M,N且與圓C相切的兩條直線相交于點P，則點P的軌跡方程

為.

變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，兩根桿分別繞著定點A和B（AB＝2a）在

平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點P的軌跡方程是.

變式22．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸

上，且經(jīng)過A4,0?B4,0?C2,3三點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若過右焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓E交于M?N兩點，求直線AM與直線BN的

交點的軌跡方程.

x2y23

變式23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1ab0的離心率為，

a2b22

3

且經(jīng)過M1,，經(jīng)過定點T1,0斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點，A，B分別為橢

2

圓C的左，右兩頂點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線AE與BF的交點為P，求P點的軌跡方程.

變式24．（2024·山西陽泉·高三統(tǒng)考期末）已知過點H8,0的直線交拋物線E:y28x于A,B

兩點，O為坐標(biāo)原點．

(1)證明：OAOB；

(2)設(shè)F為拋物線的焦點，直線AB與直線x4交于點M，直線MF交拋物線與C,D兩點

（A,C在x軸的同側(cè)），求直線AC與直線BD交點的軌跡方程．

變式25．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線l在x軸上的截距

為aa0且交拋物線y22pxp0于A，B兩點，點O為拋物線的頂點，過點A，B分

別作拋物線對稱軸的平行線與直線xa交于C，D兩點．

(1)當(dāng)a2p時，求AOB的大??；

(2)試探究直線AD與直線BC的交點是否為定點，若是，請求出該定點并證明；若不是，請

說明理由；

(3)分別過點A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點的軌跡方程．

變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y22px(p0)過點(1,2)，直線

l:xmy20與拋物線C交于A，B兩點.

(1)若|AB|46，求直線l的方程；

(2)過點(2,0)作直線l1和l2，其中l(wèi)1交C于M，N兩點，l2交C于P，Q兩點，M，P位于x

軸的同側(cè)，Q，N位于x軸的同側(cè)，求直線MP與直線QN交點的軌跡方程.

變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y22pxp0的內(nèi)接等邊三角形AOB

的面積為33（其中O為坐標(biāo)原點）．

（1）試求拋物線C的方程；

（2）已知點M1,1,P,Q兩點在拋物線C上，MPQ是以點M為直角頂點的直角三角形．

①求證：直線PQ恒過定點；

②過點M作直線PQ的垂線交PQ于點N，試求點N的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．

題型五：參數(shù)法

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程x2y24tx2ty3t240(t為參數(shù))所表示的圓

的圓心軌跡方程是(結(jié)果化為普通方程)

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A2cos,4sin，B2sin,4cos，當(dāng)R時，

線段AB的中點軌跡方程為．

例15．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，

2222

O1:xy4,O2:xy1，A是O1上的動點，連接OA，線段OA交O2于點B，

過A作x軸的垂線交x軸于點C，過B作AC的垂線交AC于點D，則點D的軌跡方程

為．

變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在PAB中，AB＝8，以AB的中點為原點O，AB

所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)PAB，PBA，若

2222

cos()cossinsincos，則點P的軌跡方程

2222

為．

題型六：點差法

x2

例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓y21．

2

(1)過橢圓的左焦點F引橢圓的割線，求截得的弦的中點P的軌跡方程；

(2)求斜率為2的平行弦的中點Q的軌跡方程；

11

(3)求過點M,且被M平分的弦所在直線的方程．

22

x2

例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓y21，求斜率為2的平行弦中點的軌跡方

2

程.

x2y2

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知：橢圓1，求：

164

（1）以P2,1為中點的弦所在直線的方程；

（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．

變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線x2y21所得弦的中點

的軌跡方程是．

x2y23

變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓1，一組平行直線的斜率是，當(dāng)

492

它們與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點軌跡方程是．

x2

變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓y21交于A，B兩點，已知直線l的

4

斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．

2

x1

變式32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓y21，則該橢圓所有斜率為的弦的中點

42

的軌跡方程為．

題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡

例19．（2024·北京·高三強基計劃）在正方體ABCDA1B1C1D1中，動點M在底面ABCD內(nèi)

運動且滿足DD1ADD1M，則動點M在底面ABCD內(nèi)的軌跡為（）

A．圓的一部分B．橢圓的一部分

C．雙曲線一支的一部分D．前三個答案都不對

例20．（2024·全國·高三對口高考）如圖，定點A和B都在平面內(nèi)，定點P,PB，

C是內(nèi)異于A和B的動點，且PCAC．那么，動點C在平面內(nèi)的軌跡是（）

A．一條線段，但要去掉兩個點B．一個圓，但要去掉兩個點

C．一個橢圓，但要去掉兩個點D．半圓，但要去掉兩個點

例21．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）已知正方體ABCDA1B1C1D1，Q為上底面A1B1C1D1所在

平面內(nèi)的動點，當(dāng)直線DQ與DA1的所成角為45°時，點Q的軌跡為（）

A．圓B．直線C．拋物線D．橢圓

變式33．（2024·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

，，為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌

AB1AA14EDD1PC1PB1EP

跡的長為（）

A．52B．222C．252D．132

變式34．（2024·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知空間中兩條直線l1、l2異面且垂直，平

面∥l1且l2，若點P到l1、l2距離相等，則點P在平面內(nèi)的軌跡為（）

A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線

變式35．（2024·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，點P滿足

AA14AP，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點，點Q在正方體ABCDA1B1C1D1的表面上運

動，滿足A1Q//面EFP，則點Q的軌跡所構(gòu)成的周長為（）

537737837

A．B．237C．D．

333

題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡

例22．（2024·遼寧朝陽·統(tǒng)考二模）已知z5iz5i6，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)

點Px,y的軌跡方程為．

例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zizi4，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

x,y，則z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡方程為．

例24．（2024·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)zabi(a,bR,i為虛數(shù)單位),z2為純虛

數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點Z的軌跡為（）

A．圓B．一條線段C．兩條直線D．不含端點的4條射

線

變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)平面中有動點Z，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z3||zi|，

則動點Z的軌跡為（）

A．直線B．線段C．兩條射線D．圓

變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足zizi2，則z的軌跡為（）

A．線段B．直線

C．橢圓D．橢圓的一部分

變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z1i3，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡圍

成圖形的面積等于（）

A．3B．9C．6πD．9π

變式39．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）滿足條件z134i的復(fù)數(shù)z

在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡是（）

A．直線B．圓C．橢圓D．拋物線

變式40．（2024·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)z滿足zi1.則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點

的軌跡為（）

A．直線B．橢圓C．圓D．拋物線

題型九：向量與圓錐曲線的軌跡

例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個

點，動點P滿足OP=OA+(AB+AC)，(0，)，則P的軌跡一定通過ABC的（）

A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心

例26．（2024·全國·高三對口高考）O是平面內(nèi)一定點，A，B，C是平面內(nèi)不共線三點，動

點P滿足OP=OA+(AB+AC)，[0,)，則P的軌跡一定通過ABC的（）

A．外心B．垂心C．內(nèi)心D．重心

22

例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，設(shè)ACAB2AMACAB，那么動

點M的軌跡必通過ABC的（）

A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心

變式41．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）ABC中，AH為BC邊上的高且BH3HC，動點P滿

12

足APBCBC，則點P的軌跡一定過ABC的（）

4

A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心

變式42．（2024·四川成都·成都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┰谄矫鎯?nèi)，A,B是兩個定點，C是

動點，若CACBAB，則點C的軌跡為（）

A．圓B．橢圓C．拋物線D．直線

變式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，AB=1，AC3，

33

S△，角A是銳角，O為ABC的外心．若OPmOBnOC，其中m,n0,1，

ABC4

則點P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是（）

737377

A．B．C．D．

612612

變式44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足OCOAOB，

且221，則點C的軌跡是（）

A．線段B．直線C．射線D．圓

變式45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線

OBOCABAC

的三個點，動點P滿足OP，(0，)，則動點P的

2

ABcosBACcosC

軌跡一定通過ABC的（）

A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心

題型十：利用韋達定理求軌跡方程

x2y22

例28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1(ab0)的離心率為，點

a2b22

A0,1在C上．過C的右焦點F的直線交C于M，N兩點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若動點P滿足kPMkPN2kPF，求動點P的軌跡方程．

例29．（2024·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知過右焦點F3,0的直線交雙曲

x2y2

線C:1(a,b0)于M,N兩點，曲線C的左右頂點分別為A1,A2，虛軸長與實軸長的

a2b2

比值為5．

2

(1)求曲線C的方程；

(2)如圖，點M關(guān)于原點O的對稱點為點P，直線A1P與直線A2N交于點S，直線OS與直線

MN交于點T，求T的軌跡方程．

y2

例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為x21，過點M(0,1)的直線l交橢圓于

4

1

點A，B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足OP(OAOB)，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌

2

跡方