2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第61講、圓中的范圍與最值（教師版）

第61講圓中的范圍與最值

知識梳理

1、涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．一般地：

yb

（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．

xa

（2）形如taxby的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．

（3）形如m(xa)2(yb)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點（a，b）的距

離平方的最值問題.

2、解決圓中的范圍與最值問題常用的策略：

（1）數(shù)形結(jié)合

（2）多與圓心聯(lián)系

（3）參數(shù)方程

（4）代數(shù)角度轉(zhuǎn)化成函數(shù)值域問題

必考題型全歸納

題型一：斜率型

224y

例1．（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點Px,y在圓x1y13上運動，則的

x3

最大值為（）

A．630B．630C．630D．630

【答案】C

4y

【解析】看作圓上的點Px,y到點A3,4的直線的斜率的相反數(shù).

x3

當(dāng)經(jīng)過點A3,4的直線與上半圓相切時，切線斜率最小，

2k3

設(shè)切線方程為ykx34，所以圓心到切線的距離等于半徑，故3，解得

1k2

4y

k630,故當(dāng)k630時，切線斜率最小，此時最大，最大值為630，

x3

故選：C

例2．（多選題）（2024·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）已知點Px，y在圓x2(y1)21上

運動，則下列選項正確的是（）

y111

A．的最大值為，最小值為;

x233

y133

B．的最大值為，最小值為；

x233

C．2xy的最大值為15，最小值為15；

D．2xy的最大值為25，最小值為25；

【答案】BC

y1

【解析】（1）設(shè)k，整理得kxy2k10，則k表示點P(x,y)與點(2,1)連線的斜

x2

率．

|2k|3

當(dāng)該直線與圓相切時，k取得最大值與最小值，所以1，解得k，

k213

y133

所以的最大值為，最小值為；

x233

（2）設(shè)m2xy，整理得2xym0，則m表示直線2xym0在y軸上的截距．

|1m|

當(dāng)該直線與圓相切時，m取得最大值與最小值，所以1，解得m15，

5

2xy的最大值為15，最小值為15．

故選：BC.

22

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知Pm,n為圓C：x1y11上任意一點，則

n1

的最大值為.

m1

【答案】3

3

【解析】

n1n1n1

由于，故表示Pm,n和1,1連線的斜率，設(shè)M1,1，如圖所示，

m1m(1)m1

n1

當(dāng)MP與圓相切時，取得最大值，

m1

k1k1

設(shè)此時MP:y1k(x1)，即kxyk10，又圓心1,1，半徑為1，故1，

k21

3

解得k，

3

n13

故的最大值為.

m13

3

故答案為：.

3

變式1．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知Mx,y為圓C：

x2y24x14y450上任意一點，且點Q2,3．

（1）求MQ的最大值和最小值．

y3

（2）求的最大值和最小值．

x2

（3）求yx的最大值和最小值．

22

【解析】（1）圓C：x2y24x14y450x2y78，如圖所示，連接QC交圓

C于AB兩點，當(dāng)M與A重合時MQ取得最小值，

22

即QCr22732222，

與B重合時MQ取得最大值即QCr62，故最大值為62，最小值為22；

y3

（2）易知k，由圖形知當(dāng)MQ與圓C相切時取得最值，如圖所示.

x2MQ

4k4

可設(shè)lMQ:ykx23，則C到其距離為r22，解得k23，

k21

故最大值為23，最小值為23

（3）設(shè)yxz，如圖所示，z即過點M的直線yxz的截距，如圖所示，當(dāng)該直線與

5z

圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為r22，所以z1或9，故最大

2

值為9，最小值為1.

題型二：直線型

例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點P(x,y)是圓x2y212上的動點，則xy的最大值

是.

【答案】26

【解析】由(xy)22(x2y2)24，則26xy26，當(dāng)且僅當(dāng)xy6時等號

成立，

∴xy的最大值是26.

故答案為：26.

例5．（2024·江西吉安·寧岡中學(xué)?？家荒＃┮阎cP(x,y)是圓x2y26x4y120上的

動點，則xy的最大值為（）

A．52B．52C．6D．5

【答案】A

x3cos

【解析】由(x3)2(y2)21，令，則xy52sin()，

y2sin4

所以當(dāng)sin()1時，xy的最大值為52.

4

故選：A

2

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點Px,y是圓C：xay23a0上的一動點，

若圓C經(jīng)過點A1,2，則yx的最大值與最小值之和為（）

A．4B．26C．4D．26

【答案】C

2

【解析】因為圓C：xay23a0經(jīng)過點A1,2，

(1a)223．又a0，所以a2，

yx可看成是直線yxb在y軸上的截距.如圖所示，

20b

當(dāng)直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時3，解得

2

b26，

所以yx的最大值為26，最小值為26，故yx的最大值與最小值之和為4.

故選：C．

題型三：距離型

例7．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與

歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，

阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A,B的距離之比為

（0，且1），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2，

PA22

動點P滿足3，則PAPB的最大值為

PB

【答案】1683/8316

PA

【解析】由題可知AB2,3

PB

不妨設(shè)：A0,0,B2,0,Px,y

222

所以有PAx2y2，PBx2y2

PA

因為3

PB

x2y2

2222

得23，整理得x3y3，得y3x3，

x2y2

2

顯然y20，得3x30，解得：33x33

222222222

有PAPB=xyx2yxx223x38x8

因為33x33，

22

所以當(dāng)x33時，PAPB有最大值為83381683

故答案為：1683

例8．（2024·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知M為圓C：x2y24x14y450上

任意一點，且Q2,3．

(1)求MQ的最大值和最小值；

(2)若Mm,n，求2m3n1的最大值和最小值；

(3)若Mm,n，求m2n24m6n的最大值和最小值．

【解析】（1）因為494214345240，即Q在圓C外，

22

圓C：x2y78的圓心C2,7，半徑R22，

22

QC227342，

因為QCRMQQCR，即4222MQ4222，

所以MQ的最大值為62，最小值為22；

22

（2）圓C：x2y78的圓心C2,7，半徑R22，

令t2m3n1可得2m3n1t0，即圓和直線2m3n1t0總有公共點

求t的最大值和最小值，

22371t

即22，解得26226t26226，

49

所以2m3n1的最大值為26226，最小值為26226；

22

（3）m2n24m6nm2n313，

22

令t2m2n3，

22

當(dāng)m20,n30即m2,n3時2237320，

此時點2,3在圓外，所以t0，求m2n24m6n的最大值和最小值轉(zhuǎn)化為求

2222

圓m2n3t2與圓C：m2m78總有公共點求t213的最大

值和最小值，而

22

兩圓心的距離為227342，

當(dāng)兩圓外切時t2242，解得t22，此時t2138135，

22

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，兩圓心的距離4222，所以只能圓C在圓m2n3t2的

內(nèi)部，

所以t2242，解得t62，此時t213721359，

所以m2n24m6n的最大值為59，最小值為5．

22

例9．（2024·高一課時練習(xí)）已知點Px，y在直線xy1＝0上運動，求x－1y－1的

最小值及取得最小值時點P的坐標(biāo)．

2

2222

【解析】因為x－1y－1x－1y－1，可看作定點M1,1與直線上任意一點

距離的平方，所以距離最小值即是點M1,1到直線xy1＝0的距離，

2

1119

由點到直線的距離公式可得最小值為d2；

12122

此時直線PM與直線xy1＝0垂直，所以直線PM的方程為y1x1，即yx，

xy1＝0111

由得yx，即P,.

yx222

22911

故x－1y－1的最小值為，此時點P的坐標(biāo)為,.

222

22

變式2．（2024·高二課時練習(xí)）已知點Px，y在直線xy1＝0上運動，則x－1y－1

取得最小值時點P的坐標(biāo)為．

11

【答案】,

22

22

【解析】x－1y－1轉(zhuǎn)化為直線xy1＝0上的點x,y到點1,1的距離的平方，

又點1,1到直線xy1＝0的距離最小，

過點1,1且與直線xy1＝0垂直的直線為yx

1

x

xy102

因此兩直線聯(lián)立，，解得

yx1

y

2

11

故點P的坐標(biāo)為,

22

變式3．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知M(m,n)為圓C：x2y24x4y40上任意一

點．則(m1)2(n1)2的最大值為

【答案】102/210

【解析】圓C：x2y24x4y40即(x2)2(y2)24，

故圓心C(2,2)，半徑為r2，

又(m1)2(n1)2表示圓C上的點M到點(1,1)的距離，

故其最大值為(21)2(21)22102，

故答案為：102.

1

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足xR,axbab，

abc4

a2,ab4，acb2c6，則ac的最小值為（）

2662

A．1B．C．3D．

32

【答案】A

1

【解析】因為xR,axbab，a2,ab4，

4

2212212

所以4+xb8x4b2,b0,xb8x+20，

1616

212

所以bx28x+2b0對任意x都恒成立，

16

111

所以64+|b|48|b|20,(|b|28)20,|b|2=8，|b|=4.

422

不妨設(shè)a=(2,0)，b(m,n),2m4,m2,又|b|=4，4+n216,n23.

當(dāng)b（2,23)，設(shè)c(x,y)，

所以ac=(2x,y),b2c(22x,232y)，

所以(2x)(22x)(y)(232y)6，

33

所以（x)2(y)24，

22

33

所以c對應(yīng)的點的軌跡是以(,)為圓心，以2為半徑的圓，

22

所以ac(x2)2(y0)2可以看成是(x,y)到(2,0)的距離，

33

所以ac的最小值為2（2)2(0)2211.

22

當(dāng)b（2,23)時，同理可得ac的最小值為1.

故選：A

變式5．（2024·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點A(1,1),B(1,3),C(2,1)，

點P在圓x2y21上運動，則|PA|2|PB|22|PC|2的最大值為（）

A．22B．26C．30D．32

【答案】C

【解析】設(shè)點P（a，b）,點P在圓x2y21上運動,滿足a2b21,且

a、b[1，1],|PA|2|PB|22|PC|2

=(a+1)2+(b+1)2+(a+1)2+(b-3)22(a-2)2+2(b+1)2

4a24a104b212

44a22

264a

當(dāng)a1時,|PA|2|PB|22|PC|2取得最大值是30;

故選:C.

題型四：周長面積型

2

例10．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點A1,0，B0,2，點P是圓x1y21上

任意一點，則PAB面積的最大值為，最小值為.

【答案】4+545

22

【解析】因為兩點A1,0，B0,2，

xy22

所以直線AB的方程為：1，即2xy20，AB1025，

12

2

圓x1y21，其圓心為1,0，半徑r1，

2245

d1

圓心1,0到直線2xy20的距離2，

2215

455455

點P到直線AB的距離最大值為dr，距離最小值為dr，

55

145+54+5

所以PAB面積的最大值5=；

252

145545

PAB面積的最小值5=.

252

4+545

故答案為：；.

22

例11．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知圓C:(x2)2(y6)24，點M為直線l:xy80

上一個動點，過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形CAMB周長的最小值

為（）

A．8B．62C．52D．242

【答案】A

【解析】圓C:(x2)2(y6)24的圓心坐標(biāo)為C(2,6)，半徑為2，

因為過點M作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，

所以有MAMB，MACA,MBCB，

因此有MAMBMC2CA2MC24，

要想四邊形CAMB周長最小，只需MC最小，即當(dāng)MCl時，

268

此時MC22，此時MAMB842，

12(1)2

即最小值為22228，

故選：A

例12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線l：yx1與圓E：x2y22x2y10相交于不

同兩點A，C，位于直線l異側(cè)兩點B，D都在圓E上運動，則四邊形ABCD面積的最大值

為（）

A．30B．230C．51D．251

【答案】A

【解析】圓E：x2y22x2y10可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x1)2(y1)23，

則其圓心為1,1，半徑r3，

1112

則直線l與圓心的距離d，

22

2

AC2

故由勾股定理可得半弦長為22210，

rd3

222

所以AC10.

又B，D兩點位于直線l異側(cè)且都在圓E上運動，

所以四邊形ABCD的面積可以看作是ABC和ACD的面積之和，

則當(dāng)BD為弦AC的垂直平分線（即為圓的直徑）時，兩三角形的面積之和最大，

即四邊形ABCD的面積最大，

1

最大面積SACBD30.

2

故選：A.

變式6．（2024·甘肅慶陽·高二?？计谀┮阎獔AC的方程為x2y22，點P是直線

x2y50上的一個動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，A、B為切點，則四邊形

PACB的面積的最小值為

【答案】6

【解析】由圓x2y22，得到圓心C(0,0)，半徑r2

由題意可得：PAPB，PACA，PBCB，

1

S2S2|PA||AC|2|PA|，

PACBPAC2

在Rt△PAC中，由勾股定理可得：|PA|2|PC|2r2|PC|22，

當(dāng)|PC|最小時，|PA|最小，此時所求的面積也最小，

點P是直線x2y50上的動點，

|5|

d5

當(dāng)PCl時，|PC|有最小值2，此時|PA|3，

122

所求四邊形PACB的面積的最小值為236；

故答案為：6

變式7．（2024·高二課時練習(xí)）已知A0,2，B2,0，點P為圓x2y22x8y130上

任意一點，則PAB面積的最大值為（）

5

A．5B．522C．D．522

2

【答案】D

【解析】圓x2y22x8y130的圓心C(1,4)，半徑r2，直線AB的方程為：yx2，

|142|52

于是點C到直線AB：xy20的距離d，而點P在圓C上，

12(1)22

52

因此點P到直線AB距離的最大值為2，又AB222222，

2

152

所以PAB面積的最大值為S22(2)522.

22

故選：D

題型五：數(shù)量積型

x2y2

例13．（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點M為橢圓1上任意一點，A,B是

1615

22

圓(x1)y1上兩點，且AB2，則MAMB的最大值是.

【答案】24

【解析】設(shè)圓的圓心為N，則N1,0，橢圓的右焦點坐標(biāo)也為N1,0，

且AB是圓N的一條直徑，因此

222

MAMBMNNAMNNBMNNAMNNAMNNAMN1，

因為點N是橢圓的右焦點，點M在橢圓上，

所以acMNac，所以3MN5，

即8MAMB24，所以MAMB的最大值為24.

故答案為：24.

2

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l:yx2a與圓C:xay2r2r0相切

于點M1,y0，設(shè)直線l與x軸的交點為A，點P為圓C上的動點，則PAPM的最大值

為．

【答案】36185

2

【解析】圓C:xay2r2r0的圓心的為a,0，因為直線l與圓C相切于點

M1,y0則y02a1

3a

r,

所以2得a24a40，所以a2，r32，

222

a12a1r

2

所以直線方程為yx4，圓的方程為x2y218，所以A4,0，M1,3，

53

AM的中點Q,，

22

212212

則PAPMPQQAPQQMPQAMQCrAM

44

22

5331022

因為QC2，AM3332

222

212212

所以QCrAM＝QC2rQCr2AM36185

44

故PAPM36185，所以PAPM的最大值為36185

故答案為：36185

例15．（2024·江蘇南京·高一校考期中）已知點A1,0,B1,0，點P為圓

22

C:xy6x8y170上的動點，則ABAP的最大值為.

【答案】842

22

【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x3y48，圓心為3,4，半徑為R22，

ABAPABAPcosPAB，

當(dāng)點P動到S點時，APcosPAB取得最大值，即為AS在AB上的投影，

又ABAPABAPcosPABABAT21322842.

故答案為：842.

變式8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1、圓

心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，則APAB的取值范圍是

（）．

A．4,20B．1,5C．0,20D．4,20

【答案】A

【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由數(shù)量積的幾何意義可知：APAB等于AB與AP在AB上的投影的乘積，

故當(dāng)AP在AB上的投影最大時，數(shù)量積最大，此時點P在以C為圓心的圓的最上端P2處，

此時投影為AMABr5，故數(shù)量積為4520，

故當(dāng)AP在AB上的投影最小時，數(shù)量積最小，此時點P在以D為圓心的圓的最下端P1處，

此時投影為ANr1，故數(shù)量積為414,

故APAB4,20，

故選：A

變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習(xí)）在邊長為2的正六邊形ABCDEF

中，動圓Q的半徑為1、圓心在線段CD（含端點）上運動，點P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，

則APAB的取值范圍是（）

A．[2,8].B．[4,8]C．[2,10]D．[4,10]

【答案】A

【解析】由APABABAPcosAP,AB，

可得APAB為AB與AP在AB方向上的投影之積.

正六邊形ABCDEF中，以D為圓心的圓Q與DE交于M，

過M作MMAB于M，設(shè)以C為圓心的圓Q與AB垂直的

切線與圓Q切于點N與AB延長線交點為N，

則AP在AB方向上的投影最小值為AM，最大值為AN,

又AM1，ANABBCcos6014，

則APAB248，APAB212

則APAB的取值范圍是[2,8].

故選：A

變式10．（2024·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎呅蜛BCDEF的邊長為2，

圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的

直徑，則PMPN的取值范圍是（）

33

A．2,4B．2,3C．,4D．,3

22

【答案】B

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

【解析】記圓心為O，則PMPOOM,PNPOON，

因為ON,OM互為相反向量，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur2

所以PMPNPOOMPOONPOPOONOMONOMPO－1，

因為正六邊形ABCDEF的邊長為2，O為正六邊形的中心，

所以當(dāng)P與正六邊形頂點重合時，PO有最大值2，

uuur

22

當(dāng)P在正六邊形邊上的中點處時，PO有最小值，此時PO=2－1=3.

uuuruuuruuur2

所以PMPNPO－12,3.

故選：B

題型六：坐標(biāo)與角度型

22

例16．（2024·浙江麗水·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點P在圓M：x4y24上，

點A2,0，B0,2，則PBA最小和最大時分別為（）

A．0°和60°B．15°和75°C．30°和90°D．45°和135°

【答案】B

【解析】

如圖所示，當(dāng)PB與圓相切時對應(yīng)PBA的最大和最小，設(shè)最小時切于P1，最大時切于P2，

1

由MP2,BM4,MPBP，可得sinMBP，所以MBP30，同理得MBP30

1111212

由點A2,0，B0,2，可知ABO45，

所以ABP190453015，

ABP215303075.

故選：B.

22

例17．（2024·高二單元測試）已知圓C：(x﹣1)+y=1，點P(x0，y0)在直線x﹣y+1=0上運動.

若C上存在點Q，使∠CPQ=30°，則x0的取值范圍是.

【答案】1,1

【解析】

如圖圓C1,0，P在直線xy10上，

若圓存在點Q，使得CPQ30，

當(dāng)P在直線xy10上運動，極端情況，PQ與圓C相切，CPQ30.

在RT△CPQ中，CQ1，所以CP2.

所以以1,0為圓心，2為半徑的圓與直線交于P，P1兩點.

符合條件的點在線段PP1之間.

xy10x1x1

所以或

22.

x1y4y2y0

故x0的取值范圍為1,1.

故答案為：1,1

3xy

例18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知x，y滿足x2y24y3，則的最大值

x2y2

為（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】C

2

【解析】點Ax,y在圓x2y21上，B3,1,

3xyOAOB

則OBcosAOB2cosAOB，

x2y2OA

3xy33

如圖，當(dāng)OA與圓相切時，AOB取得最小值，所以3，此時點A,

22.

6xy22

故選：C

22

變式11．（2024·浙江嘉興·高二?？茧A段練習(xí)）若圓M:xcosysin1（02）

與圓N:x2y22x4y0交于A、B兩點，則tan∠ANB的最大值為（）

1344

A．B．C．D．

2453

【答案】D

22

【解析】x2y22x4y0可化為x1y25，

故圓N的圓心為1,2，半徑為5，

由題意可知：AB為圓M與圓N的公共弦，且圓M的半徑為1，

所以AB2且AB25，故AB2，

當(dāng)M的坐標(biāo)為1,0時，AB2，

NA2NB2AB210AB23

在△NAB中，cosANB，

2NANB105

π

又ANB0,π，ycosx在x0,上單調(diào)遞減，

2

3

故ANB為銳角，且當(dāng)cosANB時，ANB最大，

5

ππ

又ytanx在x,上單調(diào)遞增，

22

4

所以當(dāng)ANB最大時，tanANB取得最大值，且最大值為，

3

故選：D

變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）動圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點，且半徑為1，則圓心M的橫縱

坐標(biāo)之和的最大值為（）

A．1B．2C．2D．22

【答案】C

【解析】設(shè)動圓圓心M(x,y)，半徑為1，動圓M經(jīng)過坐標(biāo)原點，可得MO1,即x2+y2=1，

222222

x+y=xy2xy2xy2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時取等號，即x+y2，

2

則圓心M的橫縱坐標(biāo)之和的最大值為2

故選：C

22

變式13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓C:x1y25，圓C是以圓x2y21上

任意一點為圓心，1為半徑的圓．圓C與圓C交于A，B兩點，則sinACB的最大值為（）

1234

A．B．C．D．

2345

【答案】D

【解析】在ABC中，ACBC5．如圖所示：

當(dāng)公共弦AB最大，即AB為圓C的直徑時，

ACB最大，又ACAB可得ACB為銳角，即sinACB取得最大值．

222

ACBCAB34

此時cosACB，則sinACB．

2ACBC55

故選：D

題型七：長度型

2

例19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C:x2y21及點A0,2，點P、Q分別是

直線xy0和圓C上的動點，則PAPQ的最小值為.

【答案】3

【解析】作出點A關(guān)于直線xy0的對稱點A，如圖：

y2

01

x00x02

設(shè)點A(x0,y0)，則有，解得，即A(2,0)，而C(2，0)

x00y02y00

0

22

由圓的性質(zhì)知：圓外點P與圓C上點Q距離|PQ|滿足|PQ||PC|1(當(dāng)且僅當(dāng)Q是線段

PC與圓C的交點時取“=”)，

連接AC交直線xy0于點O，P為直線xy0上任意一點，連PA,PA,PC(線段PC交

圓C于點Q)，

則(|PA||PQ|)min|PA||PC|1|PA||PC|1|AC|13，當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段AC

上，即與點O重合時取“=”，

所以PAPQ的最小值為3.

故答案為：3

例20．（2024·湖北·高二沙市中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線l與圓O:x2y24交于

Ax1,y1,Bx2,y2兩點，且AB2，則x1y14x2y24的最大值為.

【答案】826/268

xy4xy4

【解析】1122的幾何意義為點A,B到直線xy40的距離之和，其最

22

大值是AB的中點M到直線xy40的距離的2倍.

2

22

由題可知，OAB為等邊三角形，則OM23，

2

∴AB中點M的軌跡是以原點O為圓心，3為半徑的圓，

4

故點M到直線xy40的最大距離為3223，

1212

xy4xy4

∴1122的最大值為2223，

22

∴x1y14