2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第14講、導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算（學(xué)生版）

[在此處鍵入]

第14講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、概念

yf(x0x)f(x0)

函數(shù)f(x)在xx0處瞬時(shí)變化率是limlim，我們稱它為函數(shù)

x0xx0x

yfx在xx處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或y．

00xx0

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

①增量x可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．x0的意義：x與0之間

距離要多近有

多近，即|x0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)x0時(shí)，y在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在

一個(gè)常數(shù)與

yf(xx)f(x)

00無限接近；

xx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是

位移在這一時(shí)

yf(xx)f(x)

刻的瞬間變化率，即00．

f(x0)limlim

x0xx0x

2、幾何意義

，

函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義即為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)P(x0y0)處

的切線的斜率．

3、物理意義

函數(shù)ss(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s(t0)是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v，即vs(t0)；vv(t)

在點(diǎn)t0的導(dǎo)數(shù)v(t0)是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a，即av(t0)．

知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

f(x)c（c為常數(shù)）f(x)0

f(x)xa(aQ)f(x)axa1

f(x)ax(a0，a1)f(x)axlna

1

f(x)logx(a0，a1)f(x)

axlna

f(x)exf(x)ex

1

f(x)lnxf(x)

x

f(x)sinxf(x)cosx

f(x)cosxf(x)sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：[f(x)g(x)]f(x)g(x)；

（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)0，則[]．

g(x)g2(x)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：

yf[g(x)]yf(u)ug(x)yxyuux

【解題方法總結(jié)】

1、在點(diǎn)的切線方程

切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方

yf(x0)f(x0)(xx0)yf(x)A(x0f(x0))

y0f(x0)

程為yf(x)f(x)(xx)，抓住關(guān)鍵．

000

kf(x0)

2、過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為，，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，

P(x0y0)kf(x0)yy0f(x0)(xx0)

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾

A(m，n)ny0f(x0)(mx0)x0x0

個(gè)值，就有幾條切線）

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

必考題型全歸納

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義

【例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)yfx的圖象如圖所示，函數(shù)yfx的

導(dǎo)數(shù)為yfx，則（）

A．f(2)f(3)f(3)f(2)B．f(3)f(2)f(3)f(2)

C．f(2)f(3)f(2)f(3)D．f(3)f(3)f(2)f(2)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器

1

內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時(shí)間（t單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為ht3t2，

3

當(dāng)tt0時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s，則當(dāng)tt01時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變

化率為（）

A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)是fx，

1

f(xx)f(x)

若fx2，則00（）

0lim2

x0x

1

A．B．1C．2D．4

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx在x0處可導(dǎo)，且

fx02xfx0

lim1，則fx0（）

x02x

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

1

A．1B．1C．2D．

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·高三課時(shí)練習(xí)）若fx在x0處可導(dǎo)，則fx0可以等于（）．

fxfxxfxxfxx

A．lim00B．lim00

x0xx0x

fx2xfxxfxxfx2x

C．lim00D．lim00

x0xx0x

【解題方法總結(jié)】

對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接

寫出．

題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

2

(1)fx2x1；

(2)fxln4x1；

(3)fx23x2

(4)fx5x4；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·高三課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)y3x22x1cosx；

3x2xx5x1

(2)y；

x

(3)yx18sinxlnx；

x

(4)y2cosx3xlog3x；

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

x

(5)y3sinx3log3x；

(6)yexcosxtanx．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列an中，a32，函數(shù)

1

fxxxaxaLxa，則f0__________．

2125

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎蓪?dǎo)函數(shù)fx，gx定義域

211

均為R，對(duì)任意x滿足fx2xgxx1，且f11，求f1g__________.

22

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為fx，且

fxx2f1x2，則f1______．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)f(0)e2xex，則

f(0)__________.

【解題方法總結(jié)】

對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本

函數(shù)求導(dǎo)問題．

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1、在點(diǎn)P處切線

3

【例3】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線y2x1在點(diǎn)1,1處的切線方程為

__________．

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國·高三專題練習(xí)）曲線f(x)ln(x2)在點(diǎn)0,f0處的切

2

線方程為______．

132π

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)xbxcosx，fx

32

為fx的導(dǎo)函數(shù).若fx的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則曲線yfx在點(diǎn)2,f2處的切

線方程為______

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fxx32x2xR是奇

函數(shù)，則曲線yfx在點(diǎn),f處的切線方程為______．

方向2、過點(diǎn)P的切線

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知過原點(diǎn)的直線與曲線ylnx相切，則

該直線的方程是______．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxx3ax1，過點(diǎn)P2,0

存在3條直線與曲線yfx相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn),0作曲線yx3的切線，寫

3

出一條切線方程：__________.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）過x軸上一點(diǎn)Pt,0作曲線

C:yx3ex的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)t的一個(gè)可能值為_________．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線yx2ex的切線，則切點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為___________.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)P1,aaR有n條直

線與函數(shù)fxx2ex的圖象相切，則當(dāng)n取最大值時(shí)，a的取值范圍為__________.

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxx3f1x21，其導(dǎo)函數(shù)為fx，

3

則曲線fx過點(diǎn)P3,1的切線方程為______．

方向3、公切線

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）若函數(shù)fx4lnx1與函數(shù)

1

gxx22xa0的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

a

11

A．0,B．,

33

212

C．,1D．,

333

x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┤糁本€yk1(x1)1與曲線ye相

切，直線yk2(x1)1與曲線ylnx相切，則k1k2的值為___________.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2024·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若曲線yex與圓(xa)2y22有三條公切

線，則a的取值范圍是____．

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2024·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若曲線C1:f(x)xa和

曲線C2:g(x)2lnx恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線C1:f(x)x與

x1

曲線C2:gxae(a0)有且只有一條公切線，則a________．

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線yalnx和曲線y=x2有唯一

公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線l，則l的方程為________．

方向4、已知切線求參數(shù)問題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線yxlnx有兩條過e,a的切線，

則a的范圍是______.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）若直線yxb與曲線yexax相切，

則b的最大值為（）

A．0B．1C．2D．e

a

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線yx相切，則實(shí)

x

數(shù)a＝（）

143

A．0B．C．D．

252

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)fxa1x23bxcd1

ab

在點(diǎn)1,f1處的切線方程為xy10，則（）

cd

A．1B．0C．1D．2

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知M是曲線ylnxx2ax上的任一點(diǎn)，

2

π

若曲線在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

4

A．2,B．1,C．,2D．,1

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知m0，n0，直線yxm1與曲

e

11

線ylnxn2相切，則的最小值是（）

mn

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

A．16B．12C．8D．4

方向5、切線的條數(shù)問題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過點(diǎn)(m,n)可以作曲線ylog2x的

兩條切線，則（）

A．mlog2nB．nlog2mC．mlog2nD．nlog2m

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線ylnx的兩條切線，

則（）

A．a(chǎn)lnbB．blnaC．lnbaD．lnab

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2024·湖南·校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)a,b可以且僅可以作曲線ylnx的

一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A．a(chǎn)0B．blnaC．a(chǎn)lnbD．a(chǎn)0或blna

方向6、切線平行、垂直、重合問題

2xm

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)lnxx與g(x)的圖

x1

象有一條公共切線，且該公共切線與直線y2x1平行，則實(shí)數(shù)m（）

17171717

A．B．C．D．

8642

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線x9y80與曲線C:yx3px23x

相交于A,B，且曲線C在A,B處的切線平行，則實(shí)數(shù)p的值為（）

A．4B．4或-3C．-3或-1D．-3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2024·江西撫州·高三金溪一中?？奸_學(xué)考試）已知曲線

x

fxe1(x1)在點(diǎn)Ax1,fx1,Bx2,fx2x1x2處的切線l1,l2互相垂直，且切線

l1,l2與y軸分別交于點(diǎn)D,E，記點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)之差為t，則（）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

A．2t0B．22et0

e

2

C．t2D．t2e2

e

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練38】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fxaxsinx的圖象上存在兩條相

互垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的值是（）

A．2B．1C．0D．1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練39】（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)yf(x)的圖像

上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱f(x)為“切線重合函數(shù)”，下

列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（）

A．yx4x21B．ysinx

C．yxcosxD．yx2sinx

x2xa,x0

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練40】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B是函數(shù)fx，

xlnxa,x0

圖象上不同的兩點(diǎn)，若函數(shù)yfx在點(diǎn)A、B處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

111

A．,B．,C．0,D．,

222

方向7、最值問題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練41】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線yex1上，點(diǎn)Q在曲線y1lnx

上，則|PQ|最小值為（）

A．2B．22

C．2(1ln2)D．2(1ln2)

1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練42】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線ye2x上，點(diǎn)Q在曲線ylnx

2

上，則|PQ|的最小值為（）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

A．(1ln2)B．2(1ln2)

2

2

C．2(1ln2)D．(1ln2)

2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練43】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線y2ex上，點(diǎn)Q在曲線

ylnxln2上，則|PQ|的最小值為（）

A．1ln2B．2(1ln2)

C．2(1ln2)D．2(1ln2)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練44】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足

|ln(a1)b||cd2|0，則(ac)2(bd)2的最小值為（）

A．22B．8C．4D．16

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練45】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)(xa)24(lnxa)2，其中x0，

4

aR．若存在正數(shù)x，使得f(x)成立，則實(shí)數(shù)a的值是（）

005

121

A．B．C．D．1

552

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練46】（2024·寧夏銀川·銀川二中?？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)x,y滿足2x25lnxy0，

mR，則x2y22mx2my2m2的最小值為（）

93221

A．B．C．D．

2222

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若點(diǎn)P是曲線ylnxx2上任意一

點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l:xy40距離的最小值為（）

2

A．B．2C．22D．42

2

方向8、牛頓迭代法

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練48】（2024·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求

方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)r是fx0

的根，選取x0作為r的初始近似值，過點(diǎn)x0,fx0做曲線yfx的切線l：

fx

0

yfx0fx0xx0，則l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1x0fx00，稱x1是r

fx0

fx

n

的一次近似值；重復(fù)以上過程，得r的近似值序列，其中xn1xnfxn0，稱xn1

fxn

是r的n1次近似值.運(yùn)用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點(diǎn)大小，則函數(shù)

fxlnxx3的零點(diǎn)一次近似值為（）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù)：ln20.693）

A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練49】（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，

給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)r是函數(shù)yfx的一個(gè)零點(diǎn)，任意選

取x0作為r的初始近似值，過點(diǎn)x0fx0作曲線yfx的切線l1，設(shè)l1與x軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為x1，并稱x1為r的1次近似值；過點(diǎn)x1fx1作曲線yfx的切線l2，設(shè)l2與x軸交

*

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱x2為r的2次近似值.一般地，過點(diǎn)xnfxn（nN）作曲線yfx

的切線ln1，記ln1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn1，并稱xn1為r的n1次近似值.對(duì)于方程

3

xx10，記方程的根為r，取初始近似值為x01，下列說法正確的是（）

A．r2,1B．切線l2：23x4y310

3

12xn1

C．x3x2D．xn12

83xn1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練50】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高

次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個(gè)起始點(diǎn)x0，如圖，在xx0處作fx圖

象的切線，切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作x1：用x1替代x0重復(fù)上面的過程可得x2；一直繼

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)x0，x1，x2，…，xn，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，

*