2025年高考數(shù)學必刷題分類：第45講、數(shù)列的綜合應(yīng)用（學生版）

第45講數(shù)列的綜合應(yīng)用

知識梳理

1、解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關(guān)鍵

2、新定義問題的解題思路

遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要

求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決．

3、數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和

公式、求和方法等對式子化簡變形．

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要

注意這一特殊性．

4、數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略

解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比

較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化

為研究最值問題來解決．

利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.

恒成立；

aF(n)aF(n)max

恒成立

aF(n)aF(n)min.

5、現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常

?？紤]用數(shù)列的知識去解決．

（1）數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型

①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定

的數(shù)就是公差；

②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這

個固定的數(shù)就是公比；

③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，

則應(yīng)考慮是第項與第項的遞推關(guān)系還是前項和與前項和之間的

nann1an1nSnn1Sn1

遞推關(guān)系．

在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣

到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率

要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)

列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系．

（2）解決數(shù)列實際應(yīng)用題的3個關(guān)鍵點

①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；

②利用數(shù)列知識準確求解模型；

③問題作答，不要忽視問題的實際意義．

6、在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證

明，我們稱這種方法為放縮法.

放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大（或

縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?

放縮法證不等式的理論依據(jù)是：AB,BCAC；AB,BCAC.

放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標，目標可從要證的結(jié)論中去查

找.

必考題型全歸納

題型一：數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應(yīng)用

例1．（2024·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學?？寄M預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久

便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角

谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，

這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為

annN，若a51，且aii1,2,3,4均不為1，則a0（）

A．5或16B．5或32

C．5或16或4D．5或32或4

例2．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，

就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二

層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則使

得an2n2成立的n的最小值是（）

A．3B．4C．5D．6

例3．（2024·四川成都·石室中學?？寄M預(yù)測）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中

有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，

第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數(shù)為（）

A．561B．595C．630D．666

變式1．（2024·全國·高三專題練習）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式

如下：如圖1將線段AB等分為線段AC,CD,DB，如圖2.以CD為底向外作等邊三角形CMD，

并去掉線段CD，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復上述操作，

當進行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段AB的長度為1，則圖3中曲線的長度為（）

1664

A．2B．C．D．3

927

變式2．（2024·全國·高三專題練習）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》

一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就在“楊輝三角”中，

第n行的所有數(shù)字之和為2n1，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，

10，10，5，...，則此數(shù)列的前34項和為（）

A．959B．964C．1003D．1004

變式3．（2024·全國·高三專題練習）南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差

數(shù)列的問題，即一個數(shù)列an本身不是等差數(shù)列，但從an數(shù)列中的第二項開始，每一項與

前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列bn（則稱數(shù)列an為一階等差數(shù)列），或者bn仍舊不是等差數(shù)

列，但從bn數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列cn（則稱數(shù)列an

為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦

可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項是（）．

A．28B．215C．221D．228

【解題方法總結(jié)】

（1）解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關(guān)鍵

（2）解答數(shù)列應(yīng)用題需過好“四關(guān)”

題型二：數(shù)列中的新定義問題

*

例4．（2024·江西·江西師大附中?？既＃┮阎獢?shù)列an的通項an2n1nN，如果把

數(shù)列an的奇數(shù)項都去掉，余下的項依次排列構(gòu)成新數(shù)列為bn，再把數(shù)列bn的奇數(shù)項又

去掉，余下的項依次排列構(gòu)成新數(shù)列為cn，如此繼續(xù)下去，……，那么得到的數(shù)列（含原

已知數(shù)列）的第一項按先后順序排列，構(gòu)成的數(shù)列記為Pn，則數(shù)列Pn前10項的和為（）

A．1013B．1023C．2036D．2050

例5．（2024·人大附中?？既＃┮阎獢?shù)列an滿足：對任意的nN，總存在mN，使

得Snam，則稱an為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①若an2023n，則an為“回旋數(shù)列”；

②設(shè)an為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則an為“回旋數(shù)列”；

③設(shè)an為等差數(shù)列，當a11，d0時，若an為“回旋數(shù)列”，則d1；

④若an為“回旋數(shù)列”，則對任意nN，總存在mN，使得anSm．

A．1B．2C．3D．4

例6．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將1,2,,n按照某種順序排成一列得到數(shù)列an，對任意

1ijn，如果aiaj，那么稱數(shù)對ai,aj構(gòu)成數(shù)列an的一個逆序?qū)?若n4，則恰有

2個逆序?qū)Φ臄?shù)列an的個數(shù)為（）

A．4B．5C．6D．7

變式4．（2024·全國·高三專題練習）記數(shù)列an的前n項和為Sn，若存在實數(shù)M0，使得

對任意的nN*，都有SnM，則稱數(shù)列an為“和有界數(shù)列”．下列命題正確的是（）

A．若an是等差數(shù)列，且首項a10，則an是“和有界數(shù)列”

B．若an是等差數(shù)列，且公差d0，則an是“和有界數(shù)列”

C．若an是等比數(shù)列，且公比q1，則an是“和有界數(shù)列”

D．若an是等比數(shù)列，且an是“和有界數(shù)列”，則an的公比q1

變式5．（2024·全國·高三專題練習）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多?

斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如

下定義：用an表示斐波那契數(shù)列的第n項，則數(shù)列an滿足：a1a21,an2an1an.，

n

記aia1a2an，則下列結(jié)論不正確的是（）

i1

A．a(chǎn)1055B．3anan2an2(n3)

20192021

2

C．a(chǎn)ia2021D．a(chǎn)ia2021a2022

i1i1

變式6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變

本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列．其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列、

如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)

列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)

列an，其前七項分別為2，2，3，5，8，12，17．則該數(shù)列的第20項為（）

A．173B．171C．155D．151

【解題方法總結(jié)】

（1）新定義數(shù)列問題的特點

通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問

題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實

現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的．

（2）新定義問題的解題思路

遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要

求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決．

題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題

例7．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列an滿足：a1a220，a2a380.數(shù)列bn

b

n

滿足bnlog2annN，其前n項和為Sn，若恒成立，則的最小值為.

Sn8

例8．（2024·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項和為

1

Sn,a34，且an11an，若2Sn12kan恒成立，則k的最大值是.

n1

an

例9．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列a滿足a8，aa4n，則的最小值

n1n1nn

為．

2023

變式7．（2024·上海楊浦·高三復旦附中?？茧A段練習）已知數(shù)列a滿足a，且對

n12020

a1n

n11

于任意的正整數(shù)n，都有an．若正整數(shù)k使得k對任意的正整數(shù)成立，則整

an1i1ai

數(shù)k的最小值為．

【解題方法總結(jié)】

（1）數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略

①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．

②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和

公式、求和方法等對式子化簡變形．

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要

注意這一特殊性．

（2）數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略

解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比

較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化

為研究最值問題來解決．

利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.

aF(n)恒成立aF(n)max；

aF(n)恒成立aF(n)min.

題型四：數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用

例10．（2024·全國·高三專題練習）根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n

n2

個月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足關(guān)系式Sn21nn5n1,2,,12，按

90

此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是.

例11．（2024·高三課時練習）某研究所計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝

修費和設(shè)備費，且每個實驗室的裝修費都一樣，設(shè)備費從第一到第十實驗室依次構(gòu)成等比數(shù)

列.已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費

用高168萬元，并要求每個實驗室改建費用不能超過1700萬元，則該研究所改建這十個實

驗室投入的總費用最多需要萬元.

例12．（2024·全國·高三專題練習）冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦

店售賣冰墩墩運動造型多功能徽章，若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出

10000件，第21天售出15000件；價格每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21

天每件60元，則該店第天收入達到最高.

變式8．（2024·全國·高三專題練習）沈陽京東MALL于2022年國慶節(jié)盛大開業(yè)，商場為了

滿足廣大數(shù)碼狂熱愛好者的需求，開展商品分期付款活動.現(xiàn)計劃某商品一次性付款的金額

為a元，以分期付款的形式等額分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，

則愛好者每期需要付款x．

變式9．（2024·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預(yù)測）一件家用電器，現(xiàn)價2000

元，實行分期付款，一年后還清，購買后一個月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款

數(shù)相同，共付12次，月利率為0.8%，并按復利計息，那么每期應(yīng)付款元．（參考數(shù)

據(jù)：1.008111.092，1.008121.100，1.08112.332，1.08122.518）

變式10．（2024·全國·高三專題練習）在第七十五屆聯(lián)合國大會一般性辯論上，習近平主席

表示，中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于

2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張，

其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張，從2021年起，每年發(fā)放的電動型汽車牌

照按前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時規(guī)定，若某年發(fā)放的

汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.那么從

2021年至2030年這十年累計發(fā)放的汽車牌照數(shù)為萬張．

【解題方法總結(jié)】

現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常?？?/p>

慮用數(shù)列的知識去解決．

（1）數(shù)列實際應(yīng)用中的常見模型

①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定

的數(shù)就是公差；

②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這

個固定的數(shù)就是公比；

③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化，

則應(yīng)考慮是第項與第項的遞推關(guān)系還是前項和與前項和之間的

nann1an1nSnn1Sn1

遞推關(guān)系．

在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣

到一般結(jié)論；二是從一般入手，找到遞推關(guān)系，再進行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率

要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)

列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系．

（2）解決數(shù)列實際應(yīng)用題的3個關(guān)鍵點

①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；

②利用數(shù)列知識準確求解模型；

③問題作答，不要忽視問題的實際意義．

題型五：數(shù)列不等式的證明

aaaa2n3

例13．（2024·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列a滿足3123n.

n222232n2n

(1)求數(shù)列an的通項公式；

11

(2)記數(shù)列的前n項和為Sn，證明：Sn.

anan12

1112

例14．（2024·全國·高三專題練習）證明不等式．

2232(n1)23

n

111

例．（全國高三專題練習）已知，c，c的前項和為

152024··annnn

31an1an1

1

T，證明：T2n．

nn3

變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，

an1*

an1nN．

12an

(1)證明：a2n1a2n1．

1

(2)證明：a1．

6n

(3)記Sn為數(shù)列an1an的前n項和，證明∶Sn6．

n111n

變式12．（2024·全國·高三專題練習）證明：kk．（注：aka1a2an．）

k12(1)12k1

變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an，Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足a11，

3Snn2an．

(1)求an的通項公式；

11111

(2)證明：．

a2a4a8a2n2

112

變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知各項為正的數(shù)列a滿足a，a2a2a，

n12n13n3n

nN*．證明：

(1)anan11；

9

(2)aaan．

12n4

2*

變式15．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)數(shù)列an滿足a1a，an1anan1nN．

5

(1)若a，求實數(shù)a的值；

32

an3

(2)設(shè)bn，若a1，證明：2b(n2)．

nn2

1π*

變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)an滿足a1，an1sinan，nN．

22

1

(1)證明：aa1．

2nn1

3

(2)設(shè)S是數(shù)列a的前n項和，證明：Sn．

nnn2

【解題方法總結(jié)】

（1）構(gòu)造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式

（2）放縮法證明不等式

在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，

我們稱這種方法為放縮法.

放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大（或

縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?

放縮法證不等式的理論依據(jù)是：AB,BCAC；AB,BCAC.

放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標，目標可從要證的結(jié)論中去查

找.

方法1：對an進行放縮，然后求和.

n

當既不關(guān)于單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時，就應(yīng)考慮對進行放縮，

aknan

k1

使目標變成可求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧椣嘞驂嚎s等比的數(shù)列.證明時要注意對照求證

的結(jié)論，調(diào)整與控制放縮的度.

方法2：添舍放縮

方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含的式子看作是一個

數(shù)列的前項的和或者積，求出該數(shù)列通項后再左、右兩邊一對一地比較?大小，這種思路非

常有效，還?可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不

是含有的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標不等式的加強不等式，再予以證明.

方?法4：單調(diào)放縮

題型六：公共項問題

例16．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學?？既＃┮阎猲N，n1，將數(shù)列2n1

1001

2

與數(shù)列n1的公共項從小到大排列得到新數(shù)列an，則.

n1an

例17．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預(yù)測）數(shù)列2n1和數(shù)列3n2的公共

an

項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列a，數(shù)列b滿足：bn，則數(shù)列b的最大項等于.

nn2nn

2

例18．（2024·全國·高三專題練習）已知nN，將數(shù)列2n1與數(shù)列n1的公共項從小

111

到大排列得到新數(shù)列an，則.

a1a2a10

變式17．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）將數(shù)列2n與3n2的公共項由

小到大排列得到數(shù)列an，則數(shù)列an的前n項的和為．

變式18．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列{2n}與{3n1}的所有公共項由小到大構(gòu)成一個新

的數(shù)列{an}，則a10.

變式19．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）有兩個等差數(shù)列2，6，10,,190及2,8,14,,200,由這兩

個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和

為.

題型七：插項問題

例19．（2024·全國·高三對口高考）在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n2個數(shù)構(gòu)成

遞增的等比數(shù)列，將這n2個數(shù)的乘積記作Tn，再令anlgTn,n1.則數(shù)列an的通項公式

為.

例20．（2024·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an中，a24,a616，若

在數(shù)列an每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43

項為.

4

例21．（2024·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列a的首項a，

n15

4a

n*

an1，nN.

3an1

a

n

(1)設(shè)bn，求數(shù)列bn的通項公式；

1an

*k

(2)在bk與bk1（其中kN）之間插入2個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列cn.

記Sn為數(shù)列cn的前n項和，求S36.

a1a2ann*

變式20．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足nN.

3323n3

(1)求an的通項公式；

(2)在an相鄰兩項中間插入這兩項的等差中項，求所得新數(shù)列bn的前2n項和T2n.

變式21．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預(yù)測）Sn為數(shù)列an的前n項和，已

2

知6Snan3an4，且an0.

(1)求數(shù)列an的通項公式an；

2345678910

(2)數(shù)列bn依次為：a1,3,a2,3,3,a3,3,3,3,a4,3,3,3,3，規(guī)律是在ak和ak1中間插入

*

kkN項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前100

項的和.

變式22．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)等比數(shù)列an的首項為a12，公比為q（q為正整

3

數(shù)），且滿足3a是8a與a的等差中項；數(shù)列b滿足2n2tbnb0（tR，

315nn2n

nN*）.

(1)求數(shù)列an的通項公式；

(2)試確定t的值，使得數(shù)列bn為等差數(shù)列；

(3)當bn為等差數(shù)列時，對每個正整數(shù)k，在ak與ak1之間插入bk個2，得到一個新數(shù)列cn.

設(shè)Tn是數(shù)列cn的前n項和，試求T100.

變式23．（2024·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且

*

Snan12nN.

(1)求數(shù)列an的通項公式；

1

(2)在an與an1之間插入n個數(shù)，使這n2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列

dn

的前n項和Tn．

題型八：蛛網(wǎng)圖問題

t3

例22．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列bn若b2，bb（nN且

1n4n14

n2，tR），若bn2對任意nN恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是.

例．（虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，an*，

232024?{an}a10an1ln(e1)an(nN)

前n項和為Sn，則下列選項錯誤的是()（參考數(shù)據(jù)：ln20.693，ln31.099)

A．{a2n1}是單調(diào)遞增數(shù)列，{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列

B．a(chǎn)nan1ln3

C．S2020670

D．a(chǎn)2n1a2n

例．（浙江模擬）數(shù)列滿足，3，*，表示數(shù)列1

242024?{an}a10an1anan1nNSn

an

前n項和，則下列選項中錯誤的是()

2

A．若0a，則a1

13n

2

B．若a1，則{a}遞減

31n

．若1，則1

Ca1Sn4(2)

2an1

2

D．若a2，則S

120003

變式．（浙江模擬）已知數(shù)列滿足：，an，前

242024?{an}a10an1ln(e1)an(nN*)n

項和為Sn（參考數(shù)據(jù)：ln20.693，ln31.099)，則下列選項中錯誤的是()

A．{a2n1}是單調(diào)遞增數(shù)列，{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列

B．a(chǎn)nan1ln3

C．S2020666

D．a(chǎn)2n1a2n

變式．（下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：，且22*，

252024?{an}an0an3an12an1(nN)

下列說法正確的是()

13

A．若a，則aaB．若a2，則a1()n1

12nn11n7

3

C．a(chǎn)a2aD．|aa||aa|

153n2n13n1n

題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）

例25．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an的前n項和是Sn，且Sn2ann．

(1)證明：an1為等比數(shù)列；

111

(2)證明：1

a2a1a3a2an1an

2

(3)Tn為數(shù)列bn的前n項和，設(shè)bnlog2an1，是否存在正整數(shù)m，k，使bk12Tm19成

立，若存在，求出m，k；若不存在，說明理由．

例26．（2024·全國·高三專題練習）設(shè)a1,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為dd0的等差數(shù)

列

(1)證明：2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比數(shù)列；

234

(2)是否存在a1,d，使得a1,a2,a3,a4依次成等比數(shù)列，并說明理由；

nnkn2kn3k

(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k，使得a1,a2,a3,a4依次成等比數(shù)列，并說明理由．

例27．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）數(shù)列an的前n項和為

n

Sn,a12,a24且當n2時，3Sn1,2Sn,Sn12成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列an的通項公式；

(2)在an和an1之間插入n個數(shù)，使這n2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列dn中

是否存在3項dm,dk,dp（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若

不存在，請說明理由.

變式26．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a12，對任意的正整

數(shù)n，點an1,Sn均在函數(shù)fxx圖象上.

(1)證明：數(shù)列Sn是等比數(shù)列；

(2)問an中是否存在不同的三項能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.

變式27．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，

*

an13Sn1nN．

(1)求an通項公式；

an

(2)設(shè)b，在數(shù)列b中是否存在三項bm,bk,bp（其中2kmp）成等比數(shù)列？若存

nn1n

在，求出這三項；若不存在，說明理由．

22*

變式28．（2024·全國·高三專題練習）在①a12，an1an3an0,nN，②

2*

Snn2n3nN，Sn為an的前n項和，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題

中，并解答下列問題．

已知數(shù)列an滿足______．

(1)求數(shù)列an的通項公式；

(2)對大于1的正整數(shù)n，是否存在正整數(shù)m，使得a1，an，am成等比數(shù)列？若存在，求m

的最小值；若不存在，請說明理由．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

變式29．（2024·安徽六安·六安一中?？寄M預(yù)測）設(shè)正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，

若S37，a34．

(1)求數(shù)列an的通項公式；

(2)在數(shù)列Sn中是否存在不同的三項構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由．

題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題

例73．（2022?龍泉驛區(qū)校級一模）已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且滿足

3

f(x)f(x)，f(2)3，數(shù)列{a}是等差數(shù)列，若a3，a13，則

2n27

f(a1)f(a2)f(a3)f(a2015)()

A．2B．3C．2D．3

100

例74．（2022?日照模擬）已知數(shù)列{a}的通項公式an，則

nnn

|a1a2||a2a3||a99a100|()

A．150B．162C．180D．210

例．（秋仁壽縣月考）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知3，

762022?{an}nSn(a41)2012(a41)1

3

(a20091)2012(a20091)1，則下列結(jié)論中正確的是()

A．S20122012，a2009a4B．S20122012，a2009a4

C．S20122011，a2009a4D．S20122011，a2009a4

題型十一：數(shù)列與導數(shù)的交匯問題

ax

例79．（2022?全國模擬）函數(shù)f(x)(x0)，曲線yf(x)在點(1，f（1）)處的切

1x

11

線在y軸上的截距為．

2

（1）求a；

（2）討論g(x)x(f(x))2的單調(diào)性；

（）設(shè)，，證明：n2．

3a11an1f(an)2|2lnanln7|1

例80．（2022?棗莊期末）已知函數(shù)f(x)ln(2xa)(x0，a0)，曲線yf(x)在點(1，

2

f（1）)處的切線在y軸上的截距為ln3．

3

（1）求a；

2x

（2）討論函數(shù)g(x)f(x)2x(x0)和h(x)f(x)(x0)的單調(diào)性；

2x1

252n11

（）設(shè)，，求證：．

3a1an1f(an)n20(n2)

52an

題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題

例28．（2024·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）甲、乙兩選手進行一場體育競技比賽，

采用2n1局n勝制nN*的比賽規(guī)則，即先贏下n局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲

p*

勝的概率為，乙獲勝的概率為1p，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率為PnnN.

1

(1)若p,n2，結(jié)束比賽時，比賽的局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；

2

(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即P3P2.

(i)求p的取值范圍；

(ii)證明數(shù)列Pn單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實際含義.

例29．（2024·全國·高三專題練習）馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學家安德烈·馬爾可夫得名，其過

程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第n1次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第

n1,n2,n3,次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、

質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行nnN*次操

作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為Xn，甲盒中恰有1個黑球的概率為an，恰有2個黑球的概率

為bn.

(1)求X1的分布列；

(2)求數(shù)列an的通項公式；

(3)求Xn的期望.

例30．（2024·全國·高三專題練習）雅禮中學是三湘名校，學校每年一屆的社團節(jié)是雅禮很

有特色的學生活動，幾十個社團在一個月內(nèi)先后開展豐富多彩的社團活動，充分體現(xiàn)了雅禮

中學為學生終身發(fā)展奠基的育人理念.2022年雅禮文學社舉辦了詩詞大會，在選拔賽階段，

共設(shè)兩輪比賽.第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的

題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手正確回答出下句可得10分，

若不能正確回答出下可得0分.

(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學期望；

(2)已知恰有甲?乙?丙?丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答

問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團體有相同的機會搶

答下一問題.記第n次回答的是甲的概率是Pn，若P11.

①求P3和P4；

1

②證明：數(shù)列P為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性

n4

的大小.

變式30．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考階段練習）一對夫妻計劃進行為期60

天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,

1

另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概

4

31

率為;③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．

42

(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學期望;

(2)設(shè)在第n天時,由丈夫駕車的概率為pn,求數(shù)列pn的通項公式．

變式31．（2024·全國·高三專題練習）某中學舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一

輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽

取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能

在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．

(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學期望；

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個

回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機

會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為Pn，若P11．

①求P2，P3；

1

②證明：數(shù)列P為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性

n4

的大小．

變式32．（2024·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預(yù)測）某校為減輕暑假家長的負擔，開

展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽．比賽規(guī)則如下：在A，B兩個不同的地點投

籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次

投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學準備參賽，他目前的水

3

平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學每次投籃的結(jié)

5

果相互獨立．

9

(1)若小明同學完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；

20

3

(2)若p，記小明同學一次比賽結(jié)束時的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．

4

變式33．（2024·全國·高三專題練習）現(xiàn)有甲、乙、丙三個人相互傳接球，第一次從甲開始

傳球，甲隨機地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進行第二

次傳球，隨機地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類推，假設(shè)傳

接球無失誤．

(1)設(shè)乙接到球的次數(shù)為X，通過三次傳球，求X的分布列與期望；

(2)設(shè)第n次傳球后，甲接到球的概率為an，

1

（i）試證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

3

（