2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第44講、數(shù)列求和（學(xué)生版）

第44講數(shù)列求和

知識(shí)梳理

一．公式法

n(aa)n(n1)

（1）等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和S1nnad，推導(dǎo)方法：倒序相加

nn212

法．

，

na1q1

（）等比數(shù)列的前項(xiàng)和n，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減

2annSna1(1q)

，q1

1q

法．

（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：

n1n

①k123nn(n1)；2k2462nn(n1)

k12k1

n

②(2k1)135(2n1)n2；

k1

n1

③k2122232n2n(n1)(2n1)；

k16

nn(n1)

④k3132333n3[]2

k12

二．幾種數(shù)列求和的常用方法

（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組

成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．

（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，

從而求得前n項(xiàng)和．

（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之

積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．

（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同

一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．

【解題方法總結(jié)】

常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧

積累裂項(xiàng)模型1：等差型

111

（1）

n(n1)nn1

1111

（2）()

n(nk)knnk

1111

（3）()

4n2122n12n1

1111

（4）

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

11111

（5）()

n(n21)n(n1)(n1)2(n1)nn(n1)

n211

（）

621

4n14(2n1)(2n1)

3n14(n1)(n3)1111

（7）4()()

(n1)(n2)(n3)(n1)(n2)(n3)n2n3n1n2

1

（8）n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1).

3

1

（9）n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)

4

1111

（10）

n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)(n1)(n2)(n3)

2n111

（11）

n2(n1)2n2(n1)2

n1111

（）

122222

n(n2)4n(n2)

積累裂項(xiàng)模型2：根式型

1

（1）n1n

n1n

11

（2）(nkn)

nknk

11

（3）(2n12n1)

2n12n12

11n(n1)111

（4）11

n2(n1)2n(n1)nn1

1

（5）

3n22n13n213n22n1

3n13n

3n13n1(3n22n13n213n22n1)

2

1(n1)nnn1(n1)nnn111

（）

62

(n1)nnn12n(n1)nn1

(n1)n(nn1)

積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型

2n(2n11)(2n1)11

（1）

(2n11)(2n1)(2n11)(2n1)2n12n11

3n111

（2）()

(3n1)(3n11)23n13n11

（）n22(n1)n21111

3

n(n1)2nn(n1)2nnn12nn2n1(n1)2n

n1n1n1

(4n1)3191n1133

（4）3

n(n2)2(n2)n2n2n

(2n1)(1)n(1)n(1)n1

（5）

n(n1)nn1

11

（6）an3n1，設(shè)a(anb)3n[a(n1)b]3n1，易得a,b，

nn24

11

于是a(2n1)3n(2n3)3n1

n44

n2

(1)n(n24n2)2n(1)n(n24n2)(1)nn2(n1)n

（7）

n2n(n1)2n1n(n1)2n1n(n1)2n1

(1)n1111(1)n(1)n1

nn

n1(1)nn1()nn1

2n2(n1)222n2(n1)2

積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型

an1an1

logalogalogaan

an

積累裂項(xiàng)模型5：三角型

11

（1）(tantan)

coscossin()

11

（2）tan(n1)tann

cosncos(n1)sin1

1

（3）tantan(tantan)1

tan()

tanntan(n1)

（4）atantan(n1);tan1tann(n1)，

n1tanntan(n1)

tanntan(n1)tanntan(n1)

則tanntan(n1)1,a1

tan1ntan1

積累裂項(xiàng)模型6：階乘

n11

（1）

(n1)!n!(n1)!

n2n21n111

（2）=-

n!(n1)!(n2)!n!(n2)2n!(n2)(n2)!(n1)!(n2)!

常見(jiàn)放縮公式：

1111

（1）n2；

n2n1nn1n

1111

（2）；

n2nn1nn1

14411

（3）2；

n24n24n212n12n1

1n!11111

（4）TCrr2；

r1nnrr!nr!nrr!rr1r1r

n

1111

（5）1113；

n1223n1n

122

（6）2n1nn2；

nnnn1n

122

（7）2nn1；

nnnnn1

12222

（8）22n12n1；

nnn112n12n1

nn

22

（9）

2n2n2n2n111

n2；

2nnnnnn1n1n

2n12121212221212121

111n1n11

（10）

n3nn2n1nn1n1nn1n1n1

11111n1n1

2

n1nnn1n1n1n1n12n

11

2n2；

n1n1

1222

（11）

n3n2nnn2nn1n1nn1nnn1

2n1n22

n2；

n1nn1n

111222

（）；

12nn012

21111CnCnCn1nn1nn1

12n111

（13）n2．

2n12n112n12n112n1

212

（14）2(n1n)2(nn1)．

n1nnnn1

必考題型全歸納

題型一：通項(xiàng)分析法

例1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）求和

22nn1n22n

Sn323322332322．

例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前n項(xiàng)和為()

101010

A．(10n1)nB．10n1C．(10n1)D．(10n1)n

999

例3．求數(shù)列1，(12)，(1222)，，(12222n1)，的前n項(xiàng)之和．

變式1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列

1,(12),1222,122223,,122n1,的前n項(xiàng)和為.

5

變式2．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列5,55,555,5555,,10n1,的前n項(xiàng)和

9

Sn.

變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多-斐波那契以兔子繁

殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱(chēng)斐波那契數(shù)列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，該數(shù)列中的數(shù)字被

人們稱(chēng)為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余

數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列an，則數(shù)列an的前2022項(xiàng)的和為.

【解題方法總結(jié)】

先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題應(yīng)該強(qiáng)化的意

識(shí)．

題型二：公式法

例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn

*

為等比數(shù)列，且bnN，若a1b22,a1a2a3b1b2b3b415．

(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)由an，bn的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為cn，求數(shù)列cn的前5項(xiàng)之和S5．

例5．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，2Snnan，a23．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)若bn16an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

例6．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前四項(xiàng)和為10，且

a2,a3,a7成等比數(shù)列

(1)求通項(xiàng)公式an

an

(2)設(shè)bn2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn

【解題方法總結(jié)】

針對(duì)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類(lèi)型，符合等差或等比數(shù)列時(shí)，直接利用等差、等比

數(shù)列相應(yīng)公式求解．

題型三：錯(cuò)位相減法

例7．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足

n

an2an121n2且a15

a

(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列n為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；

2n

(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn．

例8．（2024·四川綿陽(yáng)·高三鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列bn?的前n?項(xiàng)和為Sn?，

，

且bn22Sn?;數(shù)列an?為等差數(shù)列，且a514a720?.

(1)求數(shù)列bn?的通項(xiàng)公式.

*

(2)若cnanbnnN?，求數(shù)列cn?的前n?項(xiàng)和Tn?.

例9．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列xn的首項(xiàng)為1，且

xxxnx

x2n1nn1.

122n22n12n

(1)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；

1

(2)若b2n1xx,S為b前n項(xiàng)的和，求Sn.

n2n1nnn

變式4．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且

a12a23a3nann1Sn2n.

(1)求a1,a2，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)若bnanlog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

11

變式5．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數(shù)列an和bn，a12，1，an12bn.

bnan

1

(1)求證數(shù)列1是等比數(shù)列；

an

n

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

bn

變式6．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和

2Sn1

為Sn，已知a11，且數(shù)列3是公比為的等比數(shù)列.

an3

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

n1

(2)若bn2n13，求其前n項(xiàng)和Tn

【解題方法總結(jié)】

錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和

{an}n

（1）適用條件

若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列

{an}d(d0){bn}q(q1){an·bn}

的前項(xiàng)和．

nSn

（2）基本步驟

（3）注意事項(xiàng)

①在寫(xiě)出與的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式錯(cuò)位對(duì)齊，以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出

SnqSn“”

；

SnqSn

②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．

n

等差乘等比數(shù)列求和，令cnAnBq，可以用錯(cuò)位相減法．

23n

Tn(AB)q(2AB)q(3AB)q...(AnB)q①

234n1

qTn(AB)q(2AB)q(3AB)q...(AnB)q②

①②得：n123n．

(1q)Tn(AB)q(AnB)qA(qq...q)

AnBAn1BA

整理得：Tn()q()q．

q1q1(q1)2q1(q1)2

題型四：分組求和法

例10．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？计谀┮阎獢?shù)列an和bn滿(mǎn)足：a11，b12，

2121

an1anbn，bn1bnan，其中nN．

3333

1

(1)求證：aa；

n1n3n

(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn．

例11．（2024·廣東深圳·高三北師大南山附屬學(xué)校校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)

*

和為Sn，且滿(mǎn)足a11，2Snnan1，nN.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

，*

(2)設(shè)數(shù)列bn滿(mǎn)足b11b22，bn22bn，nN，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列cn：

a1,b2,a3,b4,a5,b6,a7,b8,，求數(shù)列cn的前2n項(xiàng)和.

n

例12．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，且滿(mǎn)足an1an32.

n

(1)求證：an2是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列an的前項(xiàng)和Sn.

變式7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n

項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，滿(mǎn)足a1b22,S530,b42是b3與b5的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)cn(1)anbn，求數(shù)列cn的前20項(xiàng)和T20.

*

變式8．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a14，an12an2(nN)．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

(2)若bnanan1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn．

變式9．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，

2

已知6Snan3an4，且an0.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；

2345678910

(2)數(shù)列bn依次為：a1,3,a2,3,3,a3,3,3,3,a4,3,3,3,3，規(guī)律是在ak和ak1中間插入

*

kkN項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前100

項(xiàng)的和.

4

變式10．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列a的首項(xiàng)a，

n15

4a

n*

an1，nN.

3an1

a

n

(1)設(shè)bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；

1an

*k

(2)在bk與bk1（其中kN）之間插入2個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列cn.

記Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求S36.

變式11．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列

22

{an}中，a1=1且滿(mǎn)足an1an2an2an1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足2Sn+1=3bn.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn；

若在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，

(3)bkbk+1{an}kcnb1a1b2a2a3b3

a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項(xiàng)的和T50.

【解題方法總結(jié)】

（1）分組轉(zhuǎn)化求和

數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)

列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．

（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型

題型五：裂項(xiàng)相消法

例13．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和

2

Snanbna,bR，且a23,a611.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

an1

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

SnSn1

n1*

例14．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn22nN．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

2n

(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

an1an11

例15．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S540，

S9126.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

11

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，并證明：Tn.

anan16

111

變式12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列an中，已知，a14．

an12an2

(1)求an；

2

(2)若bnanan，Sn為bn的前n項(xiàng)和，證明：12Sn15．

變式13．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且

2Sn3an1．

(1)求an的通項(xiàng)公式；

3n

(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

an1an11

變式14．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列an的前

n項(xiàng)和為Sn,a23，且a1,a3,2a63成等比數(shù)列.

(1)求an和Sn.

1

(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

SnSn1

變式15．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a12,Snan13n2．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；

2n1

(2)設(shè)bn，記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn．

anan15

a

n

變式16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11,12an．

an1

1

(1)證明為等差數(shù)列，并an的通項(xiàng)公式；

an

2

(2)設(shè)cn4nanan1，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn．

變式17．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，

2S

nn1.

an

(1)求an的通項(xiàng)公式；

a

n1*

(2)記數(shù)列l(wèi)og2的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求集合kTk10,kN中元素的個(gè)數(shù).

an

變式18．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且

n6a

Sn,a12.

n24

(1)求an；

1

(2)記bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.

nan

變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an,a11,nan1n1an1．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

π

(2)若數(shù)列bn滿(mǎn)足bnsinan1cosπan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n

2

變式20．（2024·江西南昌·江西師大附中校考三模）已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足

1

SSnn1a，且a.

nn1n112

(1)求Sn；

2

(2)若bn2n1an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.

2*

變式21．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足an1an,nN,a15.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；

2a

n1

(2)設(shè)bn2,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證Sn．

an12

變式22．（2024·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知

Sn23Sn4Sn12an，a11，a23．

(1)證明：數(shù)列an12an是等差數(shù)列；

n2

(2)記(a1)b，T為數(shù)列b的前n項(xiàng)和，求T．

nnn2nnnn

變式23．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿(mǎn)足

n

an2an2an12,a11,a23．

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

n1n

n1222

(2)求(1)的前n項(xiàng)和Tn．

an1an

【解題方法總結(jié)】

裂（1）基本步驟

裂

項(xiàng)

相

消

（2）裂項(xiàng)原則

法

一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．

求

和（3）消項(xiàng)規(guī)律

消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．

題型六：倒序相加法

例16．（2024·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列ai的項(xiàng)數(shù)為nnN，

i

且aiani1Cn(i1,2,n)，則ai的前n項(xiàng)和Sn為．

例17．（2024·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxexex，若函數(shù)hxfx4x，

數(shù)列an為等差數(shù)列，a1a2a3a1144，則ha1ha2ha11．

2

例18．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的

2x1

方法，求得f(5)f(4)f(0)f(4)f(5)的值為.

1x2cosx2021i

變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知fx，則f.

2cosxi12022

變式25．（2024·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)

屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖

之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)123100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的

原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)之為高

2x

斯算法，現(xiàn)有函數(shù)f(x)，設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足

2x2

12n1n1

anf(0)ffff(1)nN，若b2a，則bn的前n項(xiàng)和

nnnnn

Sn．

變式26．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx2ln1x，a1，

x1

123n1*

anffffnN,n2．則數(shù)列an的前n項(xiàng)和

nnnn

Sn．

變式27．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且

1112n1

，設(shè)函數(shù)fxcosπx，則

S1S2Snn12

a1a2a3a2021

ffff．

2022202220222022

變式28．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)

研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二

2x

乘法?每一個(gè)n階代數(shù)方程必有n個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)fxlog，設(shè)

21x

123n1

a11,anffffnN,n2，則

nnnn

a1a2a10.

【解題方法總結(jié)】

將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣

的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．

題型七：并項(xiàng)求和

n

例19．（2024·北京海淀·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,an1(1)an2n1，

則S8．

nn1

例20．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知an的前n項(xiàng)和為Sn，2，S50600，

an21ann

則a1a2.

例21．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2a38，

S525.

(1)求an的通項(xiàng)公式；

n

(2)記bn1Sn，求數(shù)列bn的前30項(xiàng)的和T30.

1

變式29．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列a中，a78a4，且a，a4，

n223

a412成等差數(shù)列．

(1)求an的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)bn1log2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求滿(mǎn)足Tk20的k的值．

變式30．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足

an2Sn1.

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

2nπ

(2)若bacos，求數(shù)列b的前3n1項(xiàng)和T.

nn3n3n1

變式31．（2024·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，

225

若a2a,S．

343103

(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

22nπ

(2)若ba1cos，求數(shù)列b的前18項(xiàng)和T．

nn3n18

【解題方法總結(jié)】

兩兩并項(xiàng)或者四四并項(xiàng)

題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和

例22．（2024·天津·一模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為An，a715，A763；

*

數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Bn，2Bn3bn3nN.

(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；

1

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；

An

na

(3)求證：k2.

k1Bk

例23．（2024·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為SnnN,bn

是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312,b3a42a1,S1111b4．

(1)an和bn的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列a2nbn的前8項(xiàng)和T8；

nb25

i

(3)證明：2．

i1bi19

例24．（2024·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)

222*

足Snnn3Sn3nn0,nN.

(1)求a1的值：

(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式：

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有

11122211

.

a1a12a2a22anan244nn1

*

變式32．（2024·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，3an2Sn2nnN.

(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn；