2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第40講、數(shù)列的基本知識與概念（學(xué)生版）

第40講數(shù)列的基本知識與概念

知識梳理

知識點(diǎn)一、數(shù)列的概念

（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)

數(shù)列的項(xiàng)．

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子

集，，，）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)

{12n}anf(n)

的一列函數(shù)值．

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．

知識點(diǎn)二、數(shù)列的分類

（1）按照項(xiàng)數(shù)有限和無限分：

遞增數(shù)列：

an1an

遞減數(shù)列：aa

（2）按單調(diào)性來分：n1n，

常數(shù)列：常數(shù)

an1anC()

擺動數(shù)列

知識點(diǎn)三、數(shù)列的兩種常用的表示方法

（）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，

1{an}nn

那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（）遞推公式：如果已知數(shù)列的第項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開

2{an}1

始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫

做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．

【解題方法總結(jié)】

，

S1n1

（1）若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，通項(xiàng)公式為a，則a

nnnn，，

SnSn1n2nN

注意：根據(jù)求時(shí)，不要忽視對的驗(yàn)證．

Snann1

anan1anan1

（2）在數(shù)列{a}中，若a最大，則，若a最小，則.

nnn

anan1anan1

必考題型全歸納

題型一：數(shù)列的周期性

1

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中，已知an0，a11，an2，且a100a96，

an1

則a2022a3（）

51515

A．B．C．5D．

2222

例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a17,a224，對所有的正整數(shù)n都有

an1anan2，則a2024（）

A．7B．24C．13D．25

例3．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列an可以用如下方法定義：

an2an1an，且a1a21，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列bn，則數(shù)

列bn的第100項(xiàng)為（）

A．0B．1C．2D．3

11

變式1．（2024·全國·高三對口高考）已知數(shù)列an中，a1,an11(n2)，則a2014（）

2an

1

A．B．1C．2D．1

2

變式2．（2024·全國·高三對口高考）設(shè)函數(shù)f定義如下，數(shù)列xn滿足x05，且對任意自

然數(shù)均有xn1fxn，則x2005的值為（）

x12345

fx41352

A．1B．2C．4D．5

變式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列an中，已知a12,a23，

當(dāng)n2時(shí)，an1是anan1的個(gè)位數(shù)，則a2023（）

A．4B．3C．2D．1

，，

變式4．（2024·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列an中，a12a24an1an1an(n2)，則a2023

（）

11

A．B．C．2D．4

42

【解題方法總結(jié)】

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

*

例4．（2024·北京密云·統(tǒng)考三模）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則“對任意nN，an0”

是“數(shù)列Sn為遞增數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不是充分也不是

必要條件

2*

例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1a0,an1antannN，若

存在實(shí)數(shù)t，使an單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足

a1a2an*2

nnN,bnan1n4n，若數(shù)列bn為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取

2222n

值范圍是（）

3131

A．,B．,C．,D．,

8282

變式5．（2024·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）數(shù)列an的通項(xiàng)公

1

式為akn2n1，則“k”是“a為遞增數(shù)列”的（）

n3n

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．既不充分也不必要條件D．充要條件

2

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann3n，則“1”是

“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3tn8,n6

變式．（江蘇南通高三期末）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，

72024··{an}ann6

t,n6

則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）

10

A．2,3B．2,3C．,3D．1,3

7

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an1log2an1，若an是遞增數(shù)

列，則a1的取值范圍是（）

A．0,1B．0,2C．1,0D．1,

變式9．（2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列an為遞減數(shù)列，其前n

2

項(xiàng)和Snn2nm，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）．

A．2,B．,2C．2,D．,2

【解題方法總結(jié)】

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

根據(jù)－的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

作差比較法an＋1anan

a

根據(jù)n1或與的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

作商比較法(an>0an<0)1

an

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)

例7．（2024·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列2n1和數(shù)列3n2的公共項(xiàng)

an

從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列a，數(shù)列b滿足：bn，則數(shù)列b的最大項(xiàng)等于______.

nn2nn

n1

例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若an2，則

2

n3nlog2Sn1的最小值為______．

an

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列a滿足a18，aa3n，則的最小值

n1n1nn

為_________

2

變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，a264，anan2kan1，

若a5是an唯一的最大項(xiàng)，則k的取值范圍為______．

2n1,n4,

變式．（高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式為若是

112024·anan2a5an

n(a1)n,n5,

中的最大項(xiàng)，則a的取值范圍是______．

2*

變式12．（2024·北京·高三北京八中校考階段練習(xí)）數(shù)列an中，ann11nnN，則

此數(shù)列最大項(xiàng)的值是__________．

2

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知anntn2022nN,tR，若數(shù)列an中

最小項(xiàng)為第3項(xiàng)，則t______．

變式．（全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為2，則a的

142024··anannn2n

最小值為___________.

【解題方法總結(jié)】

求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)f(x)當(dāng)x∈N*時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相

應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出f(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。?/p>

項(xiàng)．

aa

（）通過通項(xiàng)公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用nn1，確定最大項(xiàng)，利用

2an(n2)

anan1

anan1

，(n2)確定最小項(xiàng)．

anan1

a

（）比較法：若有或時(shí)n1，則＞，則數(shù)

3an＋1anf(n1)f(n)0an01an＋1an

an

anan

列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為a1f(1)；若有an＋1anf(n1)f(n)0

an1

或時(shí)，則，則數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以數(shù)列an的最大項(xiàng)為

an01an＋1an

an

．

a1f(1)

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何

學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”．按照如圖1所示

的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，則a7（）

A．110B．128C．144D．89

例11．（2024·云南保山·統(tǒng)考二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一

書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看

做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列

2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（）

A．11B．12C．13D．14

例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如

n(n1)11

三角形數(shù)1，3，6，10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n.記第n個(gè)k邊形數(shù)為

222

11

Nn,k(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：N(n,3)n2n；

22

31

正方形數(shù)：N(n,4)n2；五邊形數(shù)：N(n,5)n2n；六邊形數(shù)：N(n,6)2n2n，可

22

以推測Nn,k的表達(dá)式，由此計(jì)算N20,23（）

A．4020B．4010C．4210D．4120

變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，

若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，

如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三

角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列an類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫做

正方形數(shù)，則在三角數(shù)列an中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）

A．28B．36C．45D．55

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開始用數(shù)字來

表達(dá)這個(gè)世界．在《乾坤譜》中，作者對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論，用來解釋

中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖．該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，

24，32，40，50，60，72，…，若記該數(shù)列為an，則a2021a2020（）

A．2018B．2020C．2022D．2024

變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）觀察下列各式：

ab1；

a2b23；

a3b34；

a4b47；

a5b511；

L

則a10b10（）

A．28B．76C．123D．10

變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯對“形數(shù)”進(jìn)行了深入的研究，

若一定數(shù)目的點(diǎn)或圓在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，則這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)，

如1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的點(diǎn)都可以排成等邊三角形，∴都是三角形數(shù)，把三

角形數(shù)按照由小到大的順序排成的數(shù)列叫做三角數(shù)列an．類似地，數(shù)1，4，9，16，…叫

做正方形數(shù)，則在三角數(shù)列an中，第二個(gè)正方形數(shù)是（）

A．36B．25C．49D．64

【解題方法總結(jié)】

特殊值法、列舉法找規(guī)律

題型五：數(shù)列的恒成立問題

n

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an10n2，前n項(xiàng)和是Sn，

*

對于nN，都有SnSk，則k＝______．

111

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列a滿足a，若ka恒成

nnnn12nn

立，則實(shí)數(shù)k的最小值為______．

1

例15．（2024·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列an滿足anan1(n2，且

n(n1)

**

nN)，a12，對于任意nN有an恒成立，則的取值范圍是___________.

2

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an滿足annkn2，若不等式ana4恒成立，

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A．9,8B．9,7C．9,8D．9,7

1

1

變式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考階段練習(xí)）數(shù)列{an}滿足a1，an1，

444an

aaa

若不等式23n2n，對任何正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為

a1a2an1

7373