2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第10講、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（學(xué)生版）

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第10講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

知識梳理

1、對數(shù)式的運算

(1)對數(shù)的定義：一般地，如果axN(a0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，

記作xlogaN，讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．

(2)常見對數(shù)：

N

①一般對數(shù)：以a(a0且a1)為底，記為loga，讀作以a為底N的對數(shù)；

②常用對數(shù)：以10為底，記為lgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為lnN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

1a

①loga0；loga1；其中a0且a1；

logN

②aaN(其中a0且a1，N0)；

logcb

③對數(shù)換底公式：logab；

logca

④loga(MN)logaMlogaN；

M

⑤loglogMlogN；

aNaa

nn

⑥logmblogb(m，nR)；

ama

logabb

⑦ab和logaab；

1

⑧l(xiāng)ogab；

logba

2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)．

對數(shù)函數(shù)的圖象

a10a1

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圖象

定義域：(0，)

值域：R

過定點(1，0)，即x1時，y0

性質(zhì)

在(0，)上增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)

當0x1時，y0，當x1時，當0x1時，y0，當x1時，y0

y0

【解題方法總結(jié)】

1、對數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標系內(nèi)，當a1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸；當0a1時，

對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠離x軸．(見下圖)

必考題型全歸納

題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

131

【例1】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）eln3814log______．

312

【對點訓(xùn)練1】（2024·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測）已知lgab2，ab10，則

a______．

【對點訓(xùn)練2】（2024·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）方程lg(2x)lg3x2的解集

為________．

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【對點訓(xùn)練3】（2024·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)p0,q0，滿足log4plog6qlog92pq，

p

則__________.

q

3

【對點訓(xùn)練4】（2024·天津南開·統(tǒng)考二模）計算log32log9loglog6的值為______.

34242

b

【對點訓(xùn)練5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若log142a，145，用a，b表示

log3528____________

11

【對點訓(xùn)練6】（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）若12a3bm，且2，則

ab

m__________．

【對點訓(xùn)練7】（2024·全國·高三專題練習(xí)）

222lg3lg2

log63log622=____________；

lg3lg2

x

【對點訓(xùn)練8】（2024·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式log2(24)x解集為_____．

【對點訓(xùn)練9】（2024·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx

是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，fxlog2x，則fx2的解集是__________.

x

【對點訓(xùn)練10】（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）方程2log4x17

的解為_________．

【解題方法總結(jié)】

對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題

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是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注

意對數(shù)的真數(shù)為正.

題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像

【例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)ylogaxb（a，b為常數(shù)，其中a0且

a1）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)0.5，b2B．a(chǎn)2，b2

C．a(chǎn)0.5，b0.5D．a(chǎn)2，b0.5

【對點訓(xùn)練11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)loga(x1)2的圖象恒過定點（）

A．(2,2)B．(2,1)C．(3,2)D．(2,0)

【對點訓(xùn)練】（·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)2，則不等式

122024fxlog2xx1

f(x)0的解集為（）

A．,12,B．0,12,

C．1,2D．1,

【對點訓(xùn)練13】（2024·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)ylog2x的圖象向上平移1個

單位長度，得到函數(shù)yfx的圖象，則fx（）

A．log2x1B．1log2x

C．log2x1D．1log2x

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【對點訓(xùn)練14】（2024·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測）不等式2log3x(x1)(x2)0

的解集為__________．

1

【對點訓(xùn)練15】（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）當0x時，4xlogx，則a

2a

的值可以為（）

236

A．B．C．D．2

223

【解題方法總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題

是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)log3(1ax)，若f(x)在(,1]上為減

函數(shù)，則a的取值范圍為（）

A．(0,)B．(0,1)C．(1,2)D．(,1)

ab

【對點訓(xùn)練16】（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)a,b滿足24log2blog2a，則a

與2b大小關(guān)系為______．

【對點訓(xùn)練17】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxlogaxa0,a1在1,4上

的最大值是2，則a等于_________

1

【對點訓(xùn)練18】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)logx（a0且a1）在,4

a2

上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)g(x)(32m)x在[0,)上是增函數(shù)，則am的值

是____________．

2

【對點訓(xùn)練19】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)loga(xax1)有最小值，則a

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的取值范圍是______．

【對點訓(xùn)練20】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函

數(shù):f(x)_____.

①fx1x2fx1fx2;②當x(0,)時，f(x)單調(diào)遞減;③f(x)為偶函數(shù).

2

【對點訓(xùn)練21】（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)ylog1xx2

4

的單調(diào)遞區(qū)間為（）

11

A．,B．,1C．,D．2,

22

【對點訓(xùn)練22】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fxlgxlg2x，則（）

A．fx在0,1單調(diào)遞減，在1,2單調(diào)遞增B．fx在0,2單調(diào)遞減

C．fx的圖像關(guān)于直線x1對稱D．fx有最小值，但無最大值

2ax,x1,

【對點訓(xùn)練23】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，

2alogax,x1

則a的取值范圍是（）

1

A．0,1B．[2,)C．0,(2,)D．0,1[2,)

2

【解題方法總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題

是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

9x2

【例4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx，gxlog2xa，若存在

x

x13,4，任意x24,8，使得fx1gx2，則實數(shù)a的取值范圍是___________.

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12x2xlogxax0

【對點訓(xùn)練24】（2024·全國·高三專題練習(xí)）若x,2，不等式1

22

恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為___________.

2

【對點訓(xùn)練25】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x2x3，g(x)log2xm，

對任意的x1，x2[1，4]有f(x1)g(x2)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是___________.

2

【對點訓(xùn)練26】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx2x3,gxlog2xm，

若對x12,4,x216,32，使得fx1gx2，則實數(shù)m的取值范圍為___________.

【對點訓(xùn)練27】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

2

fxlogax2logax3a0,a1.

(1)若f32，求a的值；

(2)若對任意的x8,12，fx6恒成立，求a的取值范圍.

【對點訓(xùn)練28】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)32log2x，g(x)log2x.

（1）當x1,4時，求函數(shù)yf(x)1g(x)的值域；

nn12

（2）對任意x2,2，其中常數(shù)nN，不等式fxf(x)kg(x)恒成立，求實數(shù)k

的取值范圍.

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【解題方法總結(jié)】

（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；

（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

a

【例5】（多選題）（2024·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知a1，b1，2a，

a1

b

logb，則以下結(jié)論正確的是（）

b12

11

．a(chǎn)．1

Aa2blog2bBa

2log2b

C．a(chǎn)b2D．a(chǎn)b4

【對點訓(xùn)練29】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)m，n滿足：nlnnemnlnm，

n

則的最小值為______.

m

【對點訓(xùn)練30】（多選題）（2024·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若6a2,6b3，則（）

b1

A．1B．a(chǎn)b

a4

11

C．