2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第34講、三角形中最值與范圍（學(xué)生版）

第34講三角形中最值與范圍

知識梳理

1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點、難點．解

決這類問題，通常有下列五種解題技巧：

（1）利用基本不等式求范圍或最值；

（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；

（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；

（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；

（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．

要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）

的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中

的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找

完善，避免結(jié)果的范圍過大．

2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：

（1）求角的最值；

（2）求邊和周長的最值及范圍；

（3）求面積的最值和范圍．

必考題型全歸納

題型一：周長問題

例1．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

a2b2c2acosBbcosAabc．

(1)求C；

(2)若ABC為銳角三角形，c2，求ABC周長范圍．

例2．（2024·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，a23，

(2bc)cosAacosC，

（1）求角A；

（2）求△ABC的周長l的范圍.

BC

例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在①2S3ABAC；②2cos21cos2A；③

2

c3asinCccosA；在這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．

在銳角ABC中，內(nèi)角A、B、C，的對邊分別是a、b、c，且______

(1)求角A的大??；

(2)若a3，求ABC周長的范圍．

變式1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，

c，且cbacosBbcosA.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a1，求ABC周長的范圍.

變式2．（2024·陜西西安·高三西安中學(xué)校考階段練習(xí)）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別

為a，b，c且滿足a2，acosB2cbcosA．

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求ABC周長的范圍．

題型二：面積問題

例4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

且m2sinx,3，ncosx,cos2x，fxmn，fBC0．

(1)求角A的值；

(2)若b1，求ABC面積的范圍．

例5．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形

ABCD內(nèi)種植了兩種花卉，其中△ABD區(qū)域內(nèi)種植蘭花，△BCD區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對角

線BD是一條觀賞小道．測量可知邊界AB60m，BC20m，ADCD40m．

（1）求觀賞小道BD的長及種植區(qū)域ABCD的面積；

（2）因地理條件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，

使得種植蘭花的面積有所增加，請在BAD上設(shè)計一點P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四

邊形PBCD）的面積最大，并求出這個面積的最大值．

例6．（2024·山東青島·高三青島三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2這

三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求△ABC的面積的值（或最大值）．已知△ABC

的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關(guān)系式：4Sb2c2a2，

且______，求△ABC的面積的值（或最大值）．

變式3．（2024·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)一側(cè)有一塊三

角形空地ABO，其中OA3km，OB33km，AOB90．物業(yè)管理部門擬在中間開挖

一個三角形人工湖OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N均不與AB重合，M在A，N

之間），且MON30．

(1)若M在距離A點1km處，求點M，N之間的距離；

(2)設(shè)BON，

①求出OMN的面積S關(guān)于的表達式；

②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖OMN的面積要盡可能小，試確定的值，使OMN得面

積最小，并求出這個最小面積．

3

變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，SBABC,BC3．

ABC2

（1）D為線段BC上一點，且CD2BD,AD1，求AC長度；

（2）若ABC為銳角三角形，求ABC面積的范圍．

變式5．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為

asinB

a，b，c，且3.

bcosA

（1）若a25，b2，求c的大?。?/p>

（2）若b2，且C是鈍角，求ABC面積的大小范圍.

題型三：長度問題

例7．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知銳角ABC內(nèi)角A，B，C的對

邊分別為a，b，c.若bsinBcsinCbasinA.

(1)求C；

(2)若c3，求ab的范圍.

例8．（2024·福建莆田·高三?？计谥校┰贏BC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，

sinB

b23，2casinCb2c2a2

b

(1)求角B﹔

(2)求2ac的范圍．

例9．（2024·重慶江北·高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，

2C2A3

c，且acosccos(acb)ac.

222

（1）求角B的大??；

（2）若b23，cx(x0)，當(dāng)ABC僅有一解時，寫出x的范圍，并求ac的取值范圍.

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

滿足條件；a4，sin2AsinBsinCsin2Bsin2C．

（I）求角A的值；

（Ⅱ）求2bc的范圍．

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊

(abc)(abc)3ab.

（1）求角C的值；

（2）若c2，且ABC為銳角三角形，求2ab的范圍.

變式8．（2024·山西運城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.

sin(AB)ab

（1）求證：；

sinAsinBc

（2）若ABC是銳角三角形，AB,ab2，求c的范圍.

3

變式9．（2024·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，

c，已知asinCccosA.

6

（1）求角A的大小；

（2）設(shè)H為ABC的垂心，且AH1，求BHCH的范圍.

題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問題

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

c，且(ab)(sinAsinB)(cb)sinC.

(1)求A；

(2)求cosBcosC的取值范圍.

例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

且abccosBcosA．

(1)判斷ABC的形狀并給出證明；

(2)若a1b，求sinAsinBsinC的取值范圍．

例12．（2024·河北保定·高一定州一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

1sinA1cos2B

a,b,c，已知．

cosAsin2B

(1)判斷ABC的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；

4a25b2

(2)求的最小值．

c2

變式10．（2024·廣東佛山·高一大瀝高中?？茧A段練習(xí)）已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C的

對邊分別為a，b，c，且ABACBABC2CACB；

cosAcosB

(1)若，判斷ABC的形狀并說明理由；

ba

(2)若ABC是銳角三角形，求cosC的取值范圍.

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已

知a1,b2.

π

(1)若B，求角A的大??；

4

π

(2)求cosAcosA的取值范圍.

6

變式12．（2024·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在銳角ABC中，角A，B，

C所對的邊分別是a,b,c，b2c2a22bcsin(A)．

6

（1）求角A的大??；

（2）求sinBsinC的取值范圍．

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，

211

c．若c2bca20，則4sinCcosC的取值范圍為（）

tanCtanA

83

A．42,9B．8,9C．4,9D．234,9

3

題型五：倍角問題

例13．（2024·浙江紹興·高一諸暨中學(xué)校考期中）在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊

分別為a，b，c，已知bc2acosB．

(1)證明：A2B；

(2)若b1，求a的取值范圍；

(3)若ABC的三邊邊長為連續(xù)的正整數(shù)，求ABC的面積．

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若

c1

A2B，且A為銳角，則的最小值為（）

bcosA

A．221B．3C．222D．4

例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）銳角ABC的角A，B，C所對的邊為a，b，c，A2B，

a

則的范圍是_________．

b

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，

2S

c，ABC的面積為5，若sinAC，則tanA的取值范圍為______．

b2a2

變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

ac2b2

若A2B，則的取值范圍為__________．

ab

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角ABC中A2B，B，C的對邊長分別是b，c，

b

則的取值范圍是（）

bc

11111223

A．,B．,C．,D．,

43322334

變式17．（2024·福建三明·高一三明市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角ABC中，A2B，

bc

B，C的對邊分別是b，c，則的范圍是（）

2b

34431

A．1,B．1,C．,D．,2

23322

變式18．（2024·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別

2

c2b

為a，b，C，若A＝2B，則的最小值為（）

ba

710

A．－1B．C．3D．

33

題型六：角平分線問題

例16．（2024·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)校考階段練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對

asinB3cosB

邊分別為a,b,c，且AB.

bsinA3cosA

(1)求角C的大小；

(2)若角C的平分線交AB于點D，且CD23，求a2b的最小值.

例17．（2024·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）如圖，ABC中，AB2AC，BAC的平分線AD

交BC于D．

(1)若ADBC，求BAC的余弦值；

(2)若AC3，求AD的取值范圍．

例18．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）在①aacosC3csinA，②

abcabc3ab，③absinBCbsinBcsinC．這三個條件中任選一個，

補充在下面問題中，并解答．

已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．

(1)求角C的值；

(2)若角C的平分線交AB于點D，且CD23，求2ab的最小值．

變式19．（2024·河北滄州·校考模擬預(yù)測）已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，

且acosC2bccosA0，角A的平分線與邊BC交于點D.

(1)求角A；

(2)若AD2，求b4c的最小值.

變式20．（2024·山東泰安·?？寄M預(yù)測）在銳角ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，

sinAsin2Asin2C

滿足1，且A1C．

sinCsin2B

(1)求證：B2C；

(2)已知BD是ABC的平分線，若a6，求線段BD長度的取值范圍．

變式21．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

且滿足2asinAcosBbsin2A23acosC．

(1)求角C的大?。?/p>

(2)若c23，ABC與BAC的平分線交于點I，求△ABI周長的最大值．

變式22．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為

BC

a,b,c，且3bsinasinB，邊BC上有一動點D.

2

(1)當(dāng)D為邊BC中點時，若AD3,b2，求c的長度；

(2)當(dāng)AD為BAC的平分線時，若a4，求AD的最大值.

題型七：中線問題

例19．（2024·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考期中）在銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別是a，

2cbcosB

b，c，若

acosA

(1)求角A的大??；

(2)若a2，求中線AD長的范圍（點D是邊BC中點）.

例20．（2024·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，

π2cb

c，已知sinB．

22a

(1)求A；

(2)若bc3，求BC邊中線AM的取值范圍．

例21．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，

b，c，已知asinAbsinBcsinC2bsinA．

(1)求角C的大小；

(2)若c2，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．

變式23．（2024·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）在ABC中，角A，B，C的對邊分別是

2cbcosB

a，b，c，若

acosA

(1)求角A的大??；

(2)若a2，求中線AD長的最大值（點D是邊BC中點）．

變式24．（2024·廣東廣州·高二廣州六中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別

為a，b，c，已知3acosCasinC3b．

(1)求角A的大??；

(2)若a2，求BC邊上的中線AD長度的最小值．

題型八：四心問題

例22．（2024·四川涼山·校聯(lián)考一模）設(shè)ABO（O是坐標(biāo)原點）的重心、內(nèi)心分別是G,I，

且BO//GI，若B(0,4)，則cosOAB的最小值是__________．

例23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且

acosCccosAtanA3b.

（1）求角A的大??；

（2）若a3，O為ABC的內(nèi)心，求OBOC的最大值.

例24．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且

(c-b)sinC=(acosC-b)sinB+acosBsinC.

(1)求角A；

(2)若H為ABC的垂心，a2，求HBC面積的最大值.

變式25．（2024·江蘇無錫·高一錫東高中校考期中）在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對

邊，2acosAbcosCccosB．

(1)求角A的大小；

3

(2)若ABC為銳角三角形，且其面積為，點G為ABC重心，點M為線段AC的中點，

2

點N在線段AB上，且AN2NB，線段BM與線段CN相交于點P，求GP的取值范圍.

變式26．（2024·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

22

已知23(cosCcosA)(ab)sinB，且ABC外接圓的半徑為3．

(1)求C的大小；

(2)若G是ABC的重心，求ACG面積的最大值．

變式27．（2024·遼寧撫順·高一撫順一中校考階段練習(xí)）如圖，記銳角ABC的內(nèi)角A，B，

C的對邊分別為a，b，c，c2b4，A的角平分線交BC于點D，O為ABC的重心，過O

作OP∥BC，交AD于點P，過P作PEAB于點E.

(1)求a的取值范圍；

(2)若四邊形BDPE與ABC的面積之比為，求的取值范圍.

變式28．（2024·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）若O是ABC的外心，且

22

ACAB52

，則的最大值是（）

2ABAO2ACAOAOsinB2sinC

ABAC2

235

A．3B．2C．D．22

222

變式29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知O是三角形ABC的外心，若

ACAB2

ABAOACAOmAO，且sinBsinC3，則實數(shù)m的最大值為（）

ABAC

614

A．6B．C．D．3

55

題型九：坐標(biāo)法

例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在Rt△ABC中，BAC，ABAC2，點M在ABC

2

3

內(nèi)部，cosAMC，則MB2MA2的最小值為______．

5

例26．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在ABC中，AB2，AC32，BAC135，M是ABC

所在平面上的動點，則wMAMBMBMCMCMA的最小值為________．

例27．（2024·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已

知B，C為圓x2y29上兩點，點A(1,1)，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍是

___________.

變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，ABAC3，且ABC所在平面內(nèi)存

在一點P使得PB2PC23PA23，則ABC面積的最大值為（）

22352335335

A．B．C．D．

316416

變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在等邊ABC中，M為ABC內(nèi)一動點，BMC120，

則MA的最小值是（）

MC

333

A．1B．C．D．

423

變式32．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之

和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所

在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則

F(x,y)(x23)2y2(x13)2(y13)2x2(y2)2的最小值為（）

A．4B．223C．323D．423

題型十：隱圓問題

例28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，連接對角線BD，已知CD9，

4

BD16，BDC=90，sinA，則對角線AC的最大值為（）

5

A．27B．16C．10D．25

例29．（2024·江蘇泰州·高三階段練習(xí)）已知ABC中，BC2，G為ABC的重心，且滿

足AGBG，則ABC的面積的最大值為______.

例30．（2024·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知等邊ABC的邊長為2，

點G是ABC內(nèi)的一點，且AGBGCG0，點P在ABC所在的平面內(nèi)且滿足PG1，

則PA的最大值為________.

變式33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，BAD90，AB2，

4

AD1．若ABACBABCCACB，則CB1CD的最小值為____．

32

變式34．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若ABC滿足條件AB4，AC2BC，則ABC面

積的最大值為__.

變式35．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）在ABC中，BC為定長，AB2AC3BC，若ABC

的面積的最大值為2，則邊BC的長為____________．

變式36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）ABC中ABAC2，ABC所在平面內(nèi)存在點P使

得PB2PC24，PA21，則ABC的面積最大值為__________________．

變式37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面內(nèi)存

在點P使得PB2PC23PA23，則ABC面積的最大值為__________．

題型十一：兩邊夾問題

cosAcosBπ

例31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，若2,A,B0,，且ABC

sinBsinA2

的周長為12．

(1)求證：ABC為直角三角形；

(2)求ABC面積的最大值．

例32．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長a，b，c成等比數(shù)列，

1

cosACcosB，延長BC至D，若BD2，則ACD面積的最大值為__________.

2

例33．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c．已知a，b，

1

c依次成等比數(shù)列，且cosACcosB，延長邊BC到D，若BD4，則ACD面積

2

的最大值為______．

題型十二：與正切有關(guān)的最值問題

例34．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，

11

且滿足b2a2ac，則的取值范圍為___________.

tanAtanB

例35．（2024·全國·高一階段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

BC

且bsinasinB.

2

(1)求A角的值；

ac

(2)若ABC為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.

b

例36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

BC

且bsinasinB．求：

2

(1)A；

ac

(2)的取值范圍．

b

變式38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）銳角ABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對

ac

邊分別為a，b，c，且a2b2c24a2cosA2accosB，則的取值范圍是（）

b

33

A．(23,33)B．(3,33)C．,23D．,3

22

變式39．（2024·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)?？计谥校┰阡J角ABC中，角A，B，C的

2b

對邊分別為a，b，c，S為ABC的面積，且2Sa2bc，則的取值范圍為（）

c

1233435

A．,2B．,C．,D．,

2324353

變式40．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在銳角ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，

11

若a2c2bc，則3sinA的取值范圍為（）

tanCtanA

133133

A．(23,)B．(23,4)C．(,4)D．(23,)

66

題型十三：最大角問題

例37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個著名的米勒問題：“設(shè)點M，N是銳角

∠AQB的一邊QA上的兩點，試在QB邊上找一點P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：

點P為過M，N兩點且和射線QB相切的圓與射線QB的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點M(1,2)，N(1,4)，點P在x軸上移動，當(dāng)∠MPN取

最大值時，點P的橫坐標(biāo)是（）

A．1B．－7C．1或－7D．2或－7

例38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

3

且acosBbcosAc，則tan(AB)的最大值為（）

5

3133

A．B．C．D．

5384

例39．（2024·江西上饒·高三上饒中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分

1

別為a，b，c，且acosBbcosAc，當(dāng)tan(A－B)取最大值時，角C的值為

2

A．B．C．D．

2634

變式41．（2024·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家

米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂A離地面12

米，樹上另一點B離地面8米，若在離地面2米的C處看此樹，則tanACB的最大值為（）

5101520

A．B．C．D．

5101520

21

變式42．（2024·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）如圖：已知樹頂A離地面米，樹上另一點B離

2

113

地面米，某人在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹（）米時，看A、B的視角

22

最大.

A．4B．5C．6D．7

題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題

例40．（2024·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）ABC內(nèi)一點O，滿足

OACOBAOCB，則點O稱為三角形的布洛卡點．王聰同學(xué)對布洛卡點產(chǎn)生興趣，

對其進行探索得到許多正確結(jié)論，比如BOCπABCBACACB，請你和他一起

解決如下問題：

(1)若a，b，c分別是A，B，C的對邊，CAOBAOOBAOCB，證明：a2bc；

uuuruuuruuuruuur

(2)在（1）的條件下，若ABC的周長為4，試把ABAC表示為a的函數(shù)f(a)，并求ABAC

的取值范圍．

例41．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬提

出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的

距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120時，所求的點為三角形的正等角

中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角120；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°

時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在ABC中，

2

已知Cπ，AC1，BC2，且點M在AB線段上，且滿足CMBM，若點P為AMC

3

的費馬點，則PAPMPMPCPAPC（）

432

A．1B．C．-D．

555

例42．（2024·全國·高三專題練習(xí)）點P在ABC所在平面內(nèi)一點，當(dāng)PAPBPC取到最

小值時，則稱該點為ABC的“費馬點”.當(dāng)ABC的三個內(nèi)角均小于120o時，費馬點滿足如下

特征：APBBPCCPA120o.如圖，在ABC中，ABAC7，BC3，則

其費馬點到A,B,C三點的距離之和為（）

A．4B．2

C．223D．2+3

變式43．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）拿破侖·波拿巴最早提出了一個幾何定理：“以任意三

角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一

個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點”.在△ABC中，已知ACB30，

且AC3，BC3，現(xiàn)以BC，AC，AB為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次

記為A，B，C，則ABC的邊長為（）

A．3B．2C．3D．2

變式44．（2024·河南·高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造

三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（稱為拿破侖三

π

角形）的頂點．在ABC中，已知C，AC3，外接圓的半徑為3，現(xiàn)以其三邊向外

6

作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A，B，C，則ABC的面積為（）

A．3B．2C．3D．2

題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似

例43．（2024·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，

托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積

等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四

邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式

及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的

四個頂點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，BD43，且ACD為正三角

形，則四邊形ABCD的面積為（）

A．163B．16C．123D．12

例44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密

定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一

組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩

對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系

列的三角恒等式，托勒密定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形ABCD的四個頂

點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，BD42，且ACD為正三角形，則

四邊形ABCD的面積為（）

A．8B．16C．83D．163

例45．（2024·全國·高三專題練習(xí)）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理

學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形

中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對角互補時取等

號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為23的圓，A120，

B45，ABAD，則四邊形ABCD的周長為（）

A．4362B．103C．4342D．4352

變式45．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）凸四邊形就是沒有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊

形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，

如圖，在凸四邊形ABCD中，AB1，BC3，ACCD，AD2AC，當(dāng)ABC變化時，

對角線BD的最大值為（）

A．4B．13C．33D．723

變式46．（2024·江蘇無錫·高一江蘇省江陰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在ABC中，BC2，

AC1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD(B為直角頂點，C，D兩點在直線AB的兩側(cè)).

當(dāng)角C變化時，線段CD長度的最大值是（）

A．3B．4C．5D．9

變式47．（2024·全國·高一專題練習(xí)）在ABC中，BC2，AC1，以AB為邊作等腰直

角三角形ABD（B為直角頂點，C、D兩點在直線AB的兩側(cè)）.當(dāng)C變化時，線段CD

長的最大值為（）

A．1B．2C．3D．4

變式48．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD

為正三角形，則BCD面積的最大值為（）

313

A．232B．C．2D．31

22

題型十六：三角形中的平方問題

例46．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，

則△ABC面積的最大值為（）

525355

A．B．C．D．

5553

例47．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

滿足5a23b23c2，則sinA的取值范圍是___________.

例48．（2024·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的

著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半

之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積．”如果把以

2222

122acb

上這段文字寫成公式就是Sac，其中a，b，c是ABC的內(nèi)角A，

42

B，C的對邊，若sinC2sinAcosB，且b2c24，則ABC面積S的最大值為（）

5253545

A．B．C．D．

5555

變式49．（2024·河南洛陽·高三?？茧A段練習(xí)）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，

2

c，若a2b2c212，A，則ABC面積的最大值為（）

3

233343

A．B．C．D．3

555

變式50．（2024·云南·統(tǒng)考一模）已知ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C.若

sin2C2sin2A3sin2B，則tanB的最大值為（）

511535

A．B．5C．D．

3220