2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第30講、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（學(xué)生版）

第30講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）在正弦函數(shù)ysinx，x[0，2]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

3

(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)．

22

（2）在余弦函數(shù)ycosx，x[0，2]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

3

(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)．

22

知識(shí)點(diǎn)二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中kZ）

函數(shù)ysinxycosxytanx

圖象

定義域RR{x|xR，xk}

2

值域[1，1][1，1]R

周期性22

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

遞增區(qū)間[2k，2k][2k，2k](k，k)

2222

3

遞減區(qū)間[2k，2k][2k，2k]無(wú)

22

k

對(duì)稱(chēng)中心(k，0)(k，0)(，0)

22

對(duì)稱(chēng)軸方程xkxk無(wú)

2

注：正（余）弦曲線(xiàn)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是T；正（余）弦曲線(xiàn)相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)

2

中心的距離是T；

2

正（余）弦曲線(xiàn)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心距離T；

4

知識(shí)點(diǎn)三：yAsin(wx)與yAcos(wx)(A0,w0)的圖像與性質(zhì)

2

（1）最小正周期：T．

w

（2）定義域與值域：yAsin(wx)，yAcos(wx）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，

A]．

（3）最值

假設(shè)A0，w0．

①對(duì)于yAsin(wx)，

當(dāng)wx2k(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值A(chǔ);

2

當(dāng)wx2k(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值A(chǔ);

2

②對(duì)于yAcos(wx），

當(dāng)wx2k(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值A(chǔ);

當(dāng)wx2k(kZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值A(chǔ);

（4）對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心．

假設(shè)A0，w0．

①對(duì)于yAsin(wx)，

當(dāng)，即

wx0k(kZ)sin(wx0)

2

時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為

1ysin(wx)xx0

當(dāng)wxk(kZ)，即sin(wx)0

00

時(shí)，的對(duì)稱(chēng)中心為

ysin(wx)(x0,0).

②對(duì)于yAcos(wx），

當(dāng)，即

wx0k(kZ)cos(wx0)1

時(shí)，ycos(wx)的對(duì)稱(chēng)軸為xx

0

當(dāng)，即

wx0k(kZ)cos(wx0)

2

時(shí)，的對(duì)稱(chēng)中心為

0ycos(wx)(x0,0).

正、余弦曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫⒂嘞业膶?duì)稱(chēng)中心是相應(yīng)

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的位置．

（5）單調(diào)性．

假設(shè)A0，w0．

①對(duì)于yAsin(wx)，

wx[2k,2k](kZ)增區(qū)間；

22

3

wx[2k,2k](kZ)減區(qū)間.

22

②對(duì)于yAcos(wx），

wx[2k,2k](kZ)增區(qū)間；

wx[2k,2k](kZ)減區(qū)間.

（6）平移與伸縮

由函數(shù)ysinx的圖像變換為函數(shù)y2sin(2x)3的圖像的步驟；

3

方法一：(xx2x)．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧

23

音記憶：我們“想欺負(fù)”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形．

1

向左平移個(gè)單位所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

ysinx的圖像3ysin(x)的圖像2

3縱坐標(biāo)不變

ysin(2x)的圖像所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍y2sin(2x)的圖像

3橫坐標(biāo)不變3

向上平移3個(gè)單位y2sin(2x)3

3

方法二：(xx2x)．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．

23

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1向左平移個(gè)單位

26

ysinx的圖像縱坐標(biāo)不變ysin2x的圖像

ysin2(x)sin(2x)的圖像所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

62橫坐標(biāo)不變

y2sin(2x)的圖像向上平移3各單位y2sin(2x)3

33

注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負(fù)”），但先伸縮

后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每

一個(gè)變換總是對(duì)變量x而言的，即圖像變換要看“變量x”發(fā)生多大變化，而不是“角wx”

變化多少．

【解題方法總結(jié)】

關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)重要結(jié)論；

（1）函數(shù)ysinx的對(duì)稱(chēng)軸為xk(kZ)，對(duì)稱(chēng)中心為(k.0)(kZ)；

2

（2）函數(shù)ycosx的對(duì)稱(chēng)軸為xk(kZ)，對(duì)稱(chēng)中心為(k,0)(kZ)；

2

k

（3）函數(shù)ytanx函數(shù)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為(,0)(kZ)；

2

（4）求函數(shù)yAsin(wx)b(w0)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令wxk(kZ)，得

2

k

k

x2(kZ)；對(duì)稱(chēng)中心的求取方法；令wxk(kZ)，得x，即對(duì)

ww

k

稱(chēng)中心為(，b)．

w

（5）求函數(shù)yAcos(wx)b(w0)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令wxk(kZ)得

kk

x2，即對(duì)稱(chēng)中心為(2,b)(kZ)

ww

必考題型全歸納

題型一：五點(diǎn)作圖法

2π

例1．（2024·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）要得到函數(shù)f(x)2sin2x的圖象，可

3

以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過(guò)圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連

線(xiàn)得到．

(1)由ysinx圖象變換得到函數(shù)fx的圖象，寫(xiě)出變換的步驟和函數(shù)；

π7π

(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)f(x)在區(qū)間,上的簡(jiǎn)圖．

66

(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)fx在0,6上的圖像；

(2)求yfx，xR的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)當(dāng)x0,m時(shí)，fx的取值范圍為1,2，直接寫(xiě)出m的取值范圍.

例3．（2024·廣東東莞·高一東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)fxsinx2sinx.

(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)fx在0,2π上的圖象；（先列表，再畫(huà)圖）

(2)設(shè)Fxfx2m，x0,2π，當(dāng)m0時(shí)，試研究函數(shù)Fx的零點(diǎn)的情況.

【解題方法總結(jié)】

（1）在正弦函數(shù)ysinx，x[0，2]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

3

(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)．

22

（2）在余弦函數(shù)ycosx，x[0，2]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

3

(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)．

22

題型二：函數(shù)的奇偶性

例4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fxcosxasinxb，則（）

π

A．若ab0，則fx為奇函數(shù)B．若ab，則fx為偶函數(shù)

2

π

C．若ba，則fx為偶函數(shù)D．若abπ，則fx為奇函數(shù)

2

例5．（2024·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)fx3sin2xcos2x為偶函數(shù)，

則的一個(gè)值可以是（）

πππ7π

A．B．C．D．

3636

π

例6．（2024·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)sin(2x)的圖像向左平移

3

個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖像，若函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，則tan（）

33

A．3B．3C．D．

33

變式1．（2024·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的f(x)sinx3cosx圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)

度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則||的最小值為（）

πππ5π

A．B．C．D．

126312

變式2．（2024·浙江·高三期末）將函數(shù)f(x)cos(2x)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)

12

奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（）

2

A．B．C．D．

6323

π

變式3．（2024·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)f(x)sin4x是（）

2

A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)

ππ

C．最小正周期為的奇函數(shù)D．最小正周期為的偶函數(shù)

22

x4tanx2

變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為

x42

m，則Mm的值為（）

A．0B．2C．4D．6

變式5．（2024·山東·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxax3btanxc3x2x21，如果

f210，則f2的值是（）

A．-10B．8C．-8D．-7

【解題方法總結(jié)】

由ysinx是奇函數(shù)和ycosx是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：

（1）若yAsin(x)為奇函數(shù)，則k(kZ)；

（2）若yAsin(x)為偶函數(shù)，則k(kZ)；

2

（3）若yAcos(x)為奇函數(shù)，則k(kZ)；

2

（4）若yAcos(x)為偶函數(shù)，則k(kZ)；

k

若yAtan(x)為奇函數(shù)，則(kZ)，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．

2

題型三：函數(shù)的周期性

例7．（2024·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知x1，x2，是函數(shù)

fxtanx0,0的兩個(gè)零點(diǎn)，且xx的最小值為，若將函數(shù)fx的

123

圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（）

12

37

A．B．C．D．

4488

例8．（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）將函數(shù)f(x)cos2x的圖象向右平移

π

0個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對(duì)滿(mǎn)足fx1gx22的x1,x2，總有

2

π

xx的最小值等于，則（）

126

πππ5π

A．B．C．D．

126312

例9．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)f(x)|sinx||cosx|的最小正周期為（）

3πππ

A．πB．C．D．

224

變式6．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)f(x)tanx（0）的圖像的相鄰兩支截直線(xiàn)y2所

ππ

得線(xiàn)段長(zhǎng)為，則f的值是______.

26

變式7．（2024·河北衡水·高三河北深州市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為

的奇函數(shù)是（）

A．ysinxB．ysinxcosx

4

22

C．ycosxcosxD．ysin2x

2

變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)f(x)2cosx對(duì)于xR，都有f(x1)f(x)f(x2)，

則|x1x2|的最小值為（）.

A．B．C．D．2

42

變式9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)cosx(sinx3cosx)(0)，如果

存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x0)f(x)f(x02016)成立，則的最小值

為

1111

A．B．C．D．

4032201640322016

π

變式10．（2024·北京·北京市第一六一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)f(x)cosx在

6

[π,π]的圖象大致如圖所示，則f(x)的最小正周期為（）

4π10π

A．B．

39

410

C．D．

39

變式11．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)f(x)|sinxcosx|的最小正周期是__________.

變式12．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)

π

f(x)(cosxsinx)cosx的最小正周期是______．

2

變式13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)sinπx1.則

135720212023

ffffff__________.

222222

π

變式14．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxsinxcosx0，

6

的最小值為

fx10，fx23，且x1x2π，則=_____

變式15．（2024·上海寶山·上海交大附中?？既＃┮阎瘮?shù)fxsin2x23cos2x，則函

數(shù)fx的最小正周期是__________．

變式16．（2024·上?！ど虾Ｖ袑W(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)sinxsin(x)(0)的

3

最小正周期是，則______.

2

變式17．（2024·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)

ππ

fxAsinxA0,0相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，fA，則的最

23

小值為_(kāi)_________．

變式18．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）函數(shù)y2cos2x1(xR)的

最小正周期為_(kāi)__________.

變式19．（2024·內(nèi)蒙古·高三霍林郭勒市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)Acos(x)

ππ

（A，，是常數(shù)，A0，0）．若f(x)在區(qū)間,上具有單調(diào)性，且

42

π2ππ

fff，則f(x)的最小正周期為_(kāi)______．

234

變式20．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列6個(gè)函數(shù)：①ysinx，②ysinx，③ycosx，

④ycosx，⑤ytanx，⑥ytanx，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為_(kāi)__________.

【解題方法總結(jié)】

關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：

（1）函數(shù)yAsin(wx)b,yAcos(wx)b,yAtan(wx)b的周期分別為

2

T，T．

ww

（2）函數(shù)yAsin(wx),yAcos(wx)，yAtan(wx)的周期均為T(mén)

w

2

（3）函數(shù)yAsin(wx)b(b0),yAcos(wx)b(b0)的周期均T．

w

題型四：函數(shù)的單調(diào)性

例10．（2024·河北石家莊·正定中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

xx

fxsin2023πxsin2cos2，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

22

A．fx的值域?yàn)?,2

π3π

B．fx的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ,2kπkZ

44

5π

C．yfx為奇函數(shù)，

4

27ππ

D．不等式fx的解集為kπ,kπkZ

21212

1ππ

例11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx3sinx的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單

31212

位長(zhǎng)度得函數(shù)gx的圖象，則gx的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

5π22π5π4π

A．2kπ,2kπ,kZB．4kπ,4kπ,kZ

3333

5π4π

C．6kπ,6kπ,kZD．4π,9π

33

π

例12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx3sinxxR,0,的部分圖象

2

如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

1π

A．fx3sinx

312

3π3

B．f

42

3π9π

C．不等式fx的解集為6kπ,6kπkZ

244

π

D．將fx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在6π,8π上單調(diào)遞增

12

ππ

變式21．（2024·四川瀘州·統(tǒng)考三模）將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

312

所得圖象的函數(shù)（）

π3π3π

A．在區(qū)間,上單調(diào)遞減B．在區(qū)間π,上單調(diào)遞減

222

3π5π

C．在區(qū)間π,2π上單調(diào)遞增D．在區(qū)間,上單調(diào)遞增

44

xx

變式22．（2024·北京密云·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)cos2sin2，則（）

22

ππππ

A．fx在,上單調(diào)遞減B．fx在,上單調(diào)遞增

26412

ππ7π

C．fx在0,上單調(diào)遞減D．fx在,上單調(diào)遞增

3412

變式23．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

fxAcosxA0,0,||，若函數(shù)fx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得

26

到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式fx1的解集為（）

7

A．k,kkZ

124

7

B．2k,2kkZ

312

5

C．k,kkZ

412

D．k,kkZ

312

變式24．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）ycosx的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減

區(qū)間為（）

1717

A．2k,2k,kZB．k,k,kZ

12121212

1717

C．2kπ,2kπ,kZD．kπ,kπ,kZ

12121212

1π1

變式25．（2024·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)ytan2x的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

362

πππ5π

A．kπ,kπkZB．kπ,kπkZ

63612

kππkππkππkπ5π

C．,kZD．,kZ

262326212

【解題方法總結(jié)】

三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)yAsin(wx)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合

函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．

如函數(shù)yAsin(wx)(A0,w0)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧wx看做是一

個(gè)整體，

如由2kwx2kx(kZ)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；

22

3

由2kwx2kx(kZ)解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．

22

若函數(shù)yAsin(wx)中A0,w0，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)閥Asin(wx)，

則yAsin(wx)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．

對(duì)于函數(shù)yAcos(wx),yAtan(wx)的單調(diào)性的討論與以上類(lèi)似處理即可．

題型五：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）

5π

例13．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)cosx1，若

24

將yfx的圖像向右平移mm0個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)m的最小值

為（）

π3π

A．B．

1010

7π11π

C．D．

1010

π

例14．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）已知fxsinx0，

4

π

函數(shù)yfx，xR的最小正周期為π，將yfx的圖像向左平移0個(gè)單位

2

長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的值是______．

例15．（2024·上海松江·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)yfx的對(duì)稱(chēng)中心為0,1，若函數(shù)

y1sinx的圖象與函數(shù)yfx的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為x1,y1，x2,y2，…，

6

x6,y6，則xiyi__________.

i1

π

變式26．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)ysin2x的圖象關(guān)于點(diǎn)Px0,0成中心對(duì)

3

π

稱(chēng)，若x,0，則x______.

020

π

變式27．（2024·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)y2sinx0向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度之

3

π

后關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_____.

6

π

變式28．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx2sinx0,，若

2

π

f03，且直線(xiàn)x為fx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為_(kāi)_____．

6

4π

變式29．（2024·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)2cos(3x)的圖象關(guān)于點(diǎn),0

3

對(duì)稱(chēng)，那么的最小值為_(kāi)_______．

ππ

變式30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fxcosx0的圖象向左平移個(gè)單

69

π

位長(zhǎng)度得到函數(shù)gx的圖象.若函數(shù)gx的圖象關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱(chēng)，則的最小值為

3

______.

π

變式31．（2024·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）記函數(shù)fxcosx（0）的最小正周

3

πT

期為T(mén)，且yfx的圖象關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，當(dāng)取最小值時(shí)，f_______.

62

π

變式32．（2024·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出滿(mǎn)足條件“函數(shù)f(x)cosx的圖

3

象關(guān)于直線(xiàn)x2對(duì)稱(chēng)”的的一個(gè)值________．

變式33．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx2cos2x圖象的一條對(duì)稱(chēng)

π

軸為x．若04π,則的最大______．

8

sinxcosx

變式34．（2024·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線(xiàn)fx的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為

sinxcosx

______（答案不唯一）.

變式35．（2024·甘肅武威·甘肅省武威第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx3tan2x圖

3

象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是______．

【解題方法總結(jié)】

關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)重要結(jié)論；

（1）函數(shù)ysinx的對(duì)稱(chēng)軸為xk(kZ)，對(duì)稱(chēng)中心為(k.0)(kZ)；

2

（2）函數(shù)ycosx的對(duì)稱(chēng)軸為xk(kZ)，對(duì)稱(chēng)中心為(k,0)(kZ)；

2

k

（3）函數(shù)ytanx函數(shù)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為(,0)(kZ)；

2

（4）求函數(shù)yAsin(wx)b(w0)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令wxk(kZ)，得

2

k

x2(kZ)；對(duì)稱(chēng)中心的求取方法；令wxk(kZ)，得

w

kk

x，即對(duì)稱(chēng)中心為(，b)．

ww

（5）求函數(shù)yAcos(wx)b(w0)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令wxk(kZ)得

kk

x2，即對(duì)稱(chēng)中心為(2,b)(kZ)

ww

題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）

例16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2xyy21，則x2y的范圍是

___________.

xxxx

例17．（2024·河北·校聯(lián)考一模）函數(shù)f(x)sin3cossincos3的最小值為_(kāi)_________.

2222

例18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)sinxcos(x)的最小值為3，

則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)__________.（寫(xiě)出一個(gè)即可）

變式36．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）f(x)cos2x23sinxcosx的最小值為_(kāi)_________.

π

變式37．（2024·上海嘉定·?？既＃┤絷P(guān)于x的方程2sin2x3sin2xm10在,π上

2

有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.

變式38．（2024·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)2sin2xcos2x的值

域?yàn)開(kāi)_________．

1πππ

變式39．（2024·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxsin2x，x,，則函數(shù)

2344

fx的值域?yàn)開(kāi)_____．

變式40．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)sinx，xR，則

22

ππ

yfxfx的最小值為_(kāi)_______.

124

變式41．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a0，則fx2asinxcosxsinxcosx2a2的

最小值為_(kāi)_________.

1

變式42．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)sin2xcosx，該函數(shù)的最大值為

2

__________．

變式43．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則

sinsincos的范圍是______________．

變式44．（2024·陜西咸陽(yáng)·陜西咸陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fxcos2xcosx的值域是

___________.

變式45．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)x、yR且3x22y26x，求x2y2的取值范圍

是________.

sinxcosx

變