高考數學大一輪復習 第十一章 算法初步-人教版高三數學試題

第十一章算法初步、推理證明、復數

第一節(jié)算法與程序框圖

［考情展望］1.考查算法的邏輯結構，重點考查循環(huán)結構與條件結構，考查寫出程序的

運行結果、指明算法的功能、補充程序框圖等基礎知識.2.題型以選擇題和填空題為主要考

查形式，題型靈活多樣，難度中低檔.

抓住2個基礎知識點

一、算法與程序框圖

1.算法

(1)算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.

(2)應用：算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.

2.程序框圖

程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.

二、三種基本邏輯結構

\2稱

內人順序結構條件結構循環(huán)結構

由依次執(zhí)行的步驟組算法的流程根據條件是

從某處開始，按照一定的條件

成，這是任何一個算否成立有不同的流向,

定義反復執(zhí)好某些步驟的情況，反

法都離不開的基本結條件結構就是處理這種

復執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體

構過程的結構

應用循環(huán)結構應注意的三個問題

①確定循環(huán)變量和初始值；

②確定算法中反復執(zhí)行的部分，即循環(huán)體;

③確定循環(huán)的終止條件.

I【基礎自測】I

1.閱讀如圖11—1—1的程序框圖，若輸入x=2,則輸出的y值為（)

A.0B.1C.2D.3

圖11-1-1

【答案】B

2.①算法可以無限的操作下去：

②算法的每一步操作必須是明確的、可行的；

③一個程序框圖一定包含順序結構；

④一個程序框圖不一定包含條件結構和循環(huán)結構.

以上說法正確的個數是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

3.閱讀如圖11—1一2所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是（）

A.3B.4

C.5D.6

圖11-1-2

【答案】B

4.如圖11—1—3所示的程序框圖輸出的S是126,則①應為

()

A.〃W5?B.〃W6?

C.啟7?D.〃W8?

n=l,S=O

圖11-1-3

【答案】B

感悟高考

5.（2013?山東高考）執(zhí)行兩次如圖11—1—4所示的程序框圖，若第一次輸入的a的值

為-1.2,第二次輸入的a的值為1.2,則第一次，第二次輸出的〃的值分別為（）

A.0.2,0.2B.0.2,0.8

C.0.8,0.2D.0.8,0.8

【答案】C

（結束〕

I

/輸入力/

Z輸啊/

圖11-1-4圖11-1-5

6.（2013?課標全國卷I）執(zhí)行程序框圖11—1一5,如果輸入的￡￡[-1,3],則輸出的

S屬于()

A.[-3,4]B.[-5,2]

C.[-4,3]D.[-2,5]

【答案】A

突破掌握3個核心考向

考向一[194]利用程序框圖求值

(1)(2013?安徽高考)如圖11-1-6所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結果是

)

c25

A.7B，24

b

c.|D-T1

開始

S=0,i=1

S=2S+i

i=i+1

是I

/輸出j/

I

1結束〕

圖11—1—6圖11-1-7

(2)(2014?浙江高考)若某程序框圖如圖11—1—7所示，當輸入50時，則該程序運行

后輸出的結果是

【答案】(DD(2)6

規(guī)律方法1L對條件結構，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個分支中的

一個，不能同時執(zhí)行兩個分支.

2.利用循環(huán)結構表示算法，第?要確定是利用當型還是直到型循環(huán)結構：第二準確表

示累計變量；第三要注意從哪?步開始循環(huán).

對點訓練(1)(2013?北京高考)執(zhí)行如圖11—1—8所示的程序框圖，輸出的S值為

)

D則

A.1

987

/輸出s/

J]

(5?

圖11-1-8

(2)(2013?浙江高考)若某程序框圖如圖11—1一9所示，則該程序運行后輸出的值等于

9

【答案】⑴C(2)-

考向二［195］程序框圖的補充與完善

已知數列｛a｝中，石1=1,&+i=&+〃，利用如圖11—1—10所示的程序框圖計算該數

列的第10項，則判斷框中應填的語句是()

A./?>10B.〃W10

C.〃<9D.

出加/

圖11-1-10

【答案】D

規(guī)律方法21.熟悉框圖的結構與功能是解決此類問題的關鍵.

2.解答此題可以采用類比歸納的方式求解，如通過計算該數列的第1項，第2項，第

3項，探尋〃與乩的關系，從而得出正確答案.

對點訓練（1）（2014?重慶高考）執(zhí)行如圖11—1—11所示的程序框圖，若輸出左的值

為6,則判斷框內可填入的條件是（）

k=9,s=l

k=k-l

圖11-1-11

374

A.s>"B.s>=C.s>77I).s>[

□1U□

（2）（2013?江西高考）閱讀如下程序框圖11—1—12,如果輸出/=4,那么空白的判斷

框中應填入的條件是（）

圖11-1-12

A.S<8B.S<9C.S<10D.S<11

【答案】（DC（2）B

考向三［196］基本算法語句

運行如下所示的程序,輸出的結果是

a=\

b=2

a=a+b

PRINTa

END

【答案】3

規(guī)律方法31.本例主要考查程序框圖中的賦值語句，輸出語句.要注意賦值語句一般

格式中的“=”不同于等式中的“="，其實質是計算“=”右邊表達式的值，并將該值賦

給“=”左邊的變量.

2.解決此類問題關鍵要理解各語句的含義，以及基本算法語句與算法結構的對應關系.

對點訓練運行如下所示的程序，當輸入小人分別為2,3時，最后輸出的勿的值為

INPUTa,b

IFa>bTHEN

m=a

ELSE

m=b

ENDIF

PRINTm

【答案】3

技能挖掘1大技法

易錯易誤之十八循環(huán)結構的兩個關鍵點一一計數變量與累加變量

-------------[1個示范例]-------------------------------

執(zhí)行如圖11—1—13所示的程序框圖，若輸入x=3,則輸出左的值是（）

A.3B.4C.5D.6

圖11-1-13

【解析】第一次循環(huán)：x=3+5=8,k=\

第二次循環(huán)：x=8+5=13,k=2

第三次循環(huán)：x=13+5=18,k=3

第四次循環(huán)：/=18+5=23,仁4

第五次循環(huán)：＞=23+5=28,々=5；

此時滿足條件輸出k=5.

在確定最后輸出的左值時，易出現認為4=4而出錯.

---------------[1個防錯練]-------------------

【防范措施】1.在解決循環(huán)結構問題時:一定要弄明白計數變量和累加變量.

2.讀程序框圖時，要注意循環(huán)結構的終止條件.

執(zhí)行如圖所給的程序框圖，則運行后輸出的結果是（)

A.3B.-3C.-2D.2

【解析】開始條件：s=0,了=1,(/W6)

i=l?/是奇數，可得s=O+l=l,

7=2,，是偶數，可得s=l—2=—1,

7=3,可得s=—1+3=2,

7=4,s=2-4=-2,

7=5,s=-2+5=3.

7=6,s=3—6=—3,7=7,輸出s=-3.

【答案】B

課時限時檢測（六十六）算法與程序框圖

（時間：60分鐘滿分：80分）一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.（2013?廣東高考）執(zhí)行如圖11—1—15所示的程序框圖，若輸入〃的值為3,則輸

出s的值是（）

l=lyS=l

i=i+l束,

圖11-1-15

A.1B.2C.4D.7

【答案】C

2.某程序框圖如圖11—1一16所示，若輸出的S=57,則判斷框內為（）

圖11-1-16

A.Q4?B.A->5?

C.A>6?D.Q7?

【答案】A

3.閱讀如圖所示的程序框圖，如果輸出的函數值在區(qū)間?萬內，則輸入

的實數x的取值范圍是（）

A.（—8,—2]B.[—2,—1]

C.[—1,2]D.[2,+8)

/輸出/(%)/

（結束）

1結束）

圖11-1-17圖11-1-18

【答案】B

4.（2013?天津高考）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出

〃的值為（）

A.7B.6C.5I）.4

【答案】D

5.某班有24名男生和26名女生，數據"，出，…,張是該班50名學生在一次數學學

業(yè)水平模擬考試的成績，下面的程序用來同時統(tǒng)計全班成績的平均數：兒男生平均分：M

女生平均分：倏為了便于區(qū)別性別，輸入時，男生的成績用正數，女生的成績用其成績的

相反數，那么在圖11-1-19里空白的判斷框和處理框中，應分別填入下列四個選項中的

/輸出陰A/

SB

圖11-1-19

，什H?什/

A->0?"FB.7<0?,J="50-

J/-fl,If

C-7<0?,力=丁D.7>0?,J=~50~

【答案】D

6.（2013?福建高考）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，如果輸

入某個正整數〃后，輸出的S￡（1（）,20）,那么〃的值為（）

A.3B.4

C.5D.6

圖11—1一20圖11—1一21

【答案】B

二、填空題（每小題E分，共15分）

7.（2013?湖北高考）閱讀如圖11—1—21所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入

加的值為2,則輸出的結果＞=________.

【答案】4

8.下列程序執(zhí)行后輸出的結果是.

i=ll

S=1

DO

S=S*i

i=i-l

LOOPUNTILi<9

PRINTS

END

【答案】990

9.（2013?陜西高考）根據下列算法語句，當輸入x為6（）時，輸出y的值為

【答案】31

三、解答題（本大題共3小題，共35分）

10.（1。分）設計算法求與+/+/+…+赤焉;的值，并畫出程序框圖.

?人乙zAaj入qyyAiuu

【解】算法步驟：

第一步，令S=0,7=1.

第二步，若fW99成立，則執(zhí)行第三步；否則，輸出S,結束算法.

第三步，S=S+j3?

第四步，/=i+l,返I可第二步.

程序框圖：

法一當型循環(huán)程序框圖：

法二直到型循環(huán)程序框圖:

/輸出s/

x+2'xVO,

11.(12分)已知函數〃x)=?4x=O,

x~2'x>0.

(1)若F(x)=16,求相應x的值；

⑵畫程序框圖，對于輸入的x值，輸出相應的人力值.

【解】(1)當x<0時，f(x)=16,即(X+2)2=16,解得*=-6

當x>0時，/(x)=16,即(x—2尸=16,解得x=6.

(2)程序框圖如圖所示：

CW?

危)=(%+2)2

/輸出加）/

圖11-1-22

12.（13分）已知數列｛4｝的各項均為正數，觀察程序框圖11—1一22,若k=5,k=\0

Rin

時，分別有和$=亓

11乙1

試求數列｛a｝的通項公式.

【解】由程序框圖可知，數列（&｝是等差數列，首項為句，公差為d

$c=1+■.1■.+■■■.+■1=—1（,-1---1-.-1-——―1+,???.+1-------1--）\=一1/（1----1-）、.

&&aa+id3\a?&a3/&+ida&+1

當A=5時，S=（---）-^=—=-j^.

aiad獨國11

/.ai<fc=11,即a(a+5o!)=11①

當衣=10時，5=(1--L)^=—=^Y，

clxcl\\acliZ1

/.aiaii=21,即a(a+10中=21②

由①，②聯立，得a=l,d=2,

因此&=a+(〃-1)d=2〃-1.

第二節(jié)合情推理與演繹推理

［考情展望］1.考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結論.2.考查演

繹推理，主要與立體幾何、解析幾何、函數與導數等結合.

抓住2個基礎知識、

一、合情推理

1.歸納推理

(1)定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全都對象都具有這些

特征的推理，或者由個別事卷概括出一般結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).

(2)特點：由部分到整體、由個別到一般的推理.

2.類比推理

(1)定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類

對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比).

(2)特點：類比推理是由特殊到特繞的推理.

3.合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯

想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.

二、演繹推理

1.演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱

為演繹推理」簡言之，演繹推理是由一般到特縫的推理.

2.“三段論”是演絳推理的一般模式：

(1)大前提一一已知的一般原理；

(2)小前提一一所研究的特殊情況；

(3)結論一一根據一般原理，對特殊情況作出的判斷.

I【基礎自測】I

1.命題“有些有理數是無限循環(huán)小數，整數是有理數，所以整數是無限循環(huán)小數”是

假命題，推理錯誤的原因是

()

A.使用了歸納推理

B.使用了類比推理

C.使用了“三段論”，但推理形式錯誤

D.使用了“三段論”，但小前提錯誤

【答案】C

2.已知數列｛&,｝中,ai=l,時，&=a.-i+2〃-1,依次計算如國后，猜想

見的表達式是()

A.3/7-1B.4.^-3C.n-D.3'一

【答案】C

3.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2,則它們的面積比為1：4.類似地，

在空間中，若兩個正四面體的校長的比為1：2,則它們的體積比為_______.

【答案】1：8

4.觀察下列不等式：

1+懸

1+展+于+/〈下

???

照此規(guī)律，第孔個不等式為.

【答案】1+爐+啜+下+m+m正

感悟高考

55

5.觀察下列各式：a+6=l,/+力2=3,才+6=人」+〃=7,a+^=ll,則

+*()

A.28B.76

C.123D.199

【答案】C

6.(2013?陜西高考)觀察下列等式：

(1+1)=2X1,

(2+1)(2+2)=22XlX3,

(3+1)(3+2)(3+3)=23X1X3X5,

??????

照此規(guī)律，第〃個等式可為.

【答案】(〃+1)(〃+2)???(〃+n)=2〃XlX3X???X(2〃-1)

突破掌握3個核心考向

考向一［197］歸納推理

xX

設函數r(x)=言^(>>°)，且。(%)=/'(4)="7，當且〃22時，，6(x)=/［￡

則E(x)=,猜想￡(x)(〃￡N*)的表達式為.

［曰案］7x+82"-1x+2,

規(guī)律方法11.解答本題的關鍵有兩點：(D利用函數定義，準確求出E5)；(2)

發(fā)現各式中分母x的系數與常數項之間的關系.

2.歸納推理的一般步驟

(1)通過觀察個別情況發(fā)現某些相同本質.

(2)從已知的相同性質中推出一個明確衣述的一般性命題.

對點訓練(2013?陜西高考)觀察下列等式：

12=1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此規(guī)律，第〃個等式可為—

【答案】l2-22+3;-42+-+(-l)rt+1/72=(-l)^|/；

考向二［198］類比推理

八/)^~ma

已知數列｛a｝為等差數列，若%=熱m=6(〃一加21,勿，〃￡N"),則a^-=~----

nn-m

類比等差數列(a)的上述結論,對于等比數列｛4｝(4>0，〃￡")，若比=e,風=d(n一42,

/〃，〃￡N"),則可以得到.

規(guī)律方法21.進行類比推理，應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯想進行對比，

提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關鍵.

2.類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維的類比；等差與等比數列類

比；數的運算與向量運算類比；圓錐曲線間的類比等.

對點訓練在平面上，設兒、尿、兒是三角形力阿三條邊上的面，尸為三角形內任一點,

〃到相應三邊的距離分別為只，A,P,,我們可以得到結論：?+?+?=1.把它類比到空間,

nt,hbHe

則三棱錐中的類似結論為.

【答案】工+工+工+7=1

jiff/lbflcfid

考向三［199］演繹推理

/,+2

數列｛品｝的前n項和記為Sn,已知句=1,-二~F(〃eN*)，證明：

n

(1)數列:5］是等比數列；

(2)S+i=4a”.

【嘗試解答】(1)?.,a+1=$十1—S”&+】=嚀55,

???(〃+2)S=〃(S+LS),即〃5*=2(〃+l)S.

故｛￡｝是以2為公比，1為首項的等比數列.(結論)

(大前提是等比數列的定義，這里省略了).

(2)由(1)可知弋7=1-X(〃22),

n-rln—i

/.5H-I=4(/74-1)?=4?--?S-1=4&(〃22).(小前提)

n—1n~1

又二?全=3S=3,$=句+生=1+3=4=4國，(小前提)

???對于任意正整數力都有5+產4&.(結論)

規(guī)律方法3演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應用三段論解決

問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略.

技能挖掘1大技法

易錯易誤之十九歸納推理不當

-----------------------[1個示范例]-------------------

(2013?湖北高考)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數

1,3,6,10,…，第n個三角形數為~~今"一=1//+)〃.記第〃個左邊形數為N5,4)(423),

乙乙乙

以下列出了部分左邊形數中第〃個數的表達式：

三角形數3)=)/+)?,

正方形數M〃,4)="2,

3°1

五邊形數》(〃,5)=-77"—~/7,

w乙

六邊形數”(〃,6)=2/f一〃，

可以推測A)的表達式，由此計算M10,24)=.

【解析】由*(〃,4)=/九6)=24—〃，…，可以推測：當a為偶數時，.、'(/?,k)

于是"（〃，24）故Mi。,24）=11。102—10乂10=1000.

求解本題常犯以下兩種錯誤：

一是不理解A)的含義；二是歸納不出當A為偶數時，A)的內在規(guī)律.

-----------------------[1個防錯練]

【防范措施】(1)借助熟知的三角形數，先明確并(〃,3)的含義，再領會"(〃，4)的實

質.

(2)求解/￥(10,24)的關鍵在于從*(〃,4)及川(/7,6)中，探尋出力為偶數時，N(〃，外的表

達式，進而將〃=10,4=24代入求解便可.

傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數.他們研究過

如圖11—2—1所示的三角形數：

將三角形數1,3,6,1C,…記為數列｛&｝,將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組

成一個新數列｛力3可以推測：

(1)也(M2是數列｛a｝中的第項；

(2)b>k-\—________.!用在表不)

【解析】(1)由圖可知為+】=&+(〃+1).

所以生一品=2,國-々=3,…，

累加得&-&i=2+3H--F〃，

即4=1+2+3+???+〃=^^―

乙

當〃=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,…時，品能被5整除，

即星=&>,bi=amh；=a、5,&=續(xù)。，…，

所以6以=祗((衣￡”).

所以b>Ol2=c?5xi006=W030.

i\k54—I

⑵由(1)可知物-尸氏-=gx5A(5A—1)=^~=——.

0kSA—1

【答案】(1)5030(2)-———

課時限時檢測(六十七)合情推理與演繹推理

(時間：60分鐘滿分：80分)一、選擇題(每小題5分，共30分)

1.如圖11—2—2是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，照

此規(guī)律閃爍，下一個呈現出來的圖形是()

圖11-2-2

ABCD

【答案】A

2.觀察(V”=2x,(V)'=4e(cosx)1=—s:nx,由歸納推理可得：若定義在R

上的函數f(x)滿足/'(-X)=f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(-*)=()

A.f(x)B.~f(x)

C.g(x)D.—g(x)

【答案】D

3.正弦函數是奇函數，f(x)=sin(，+l)是正弦函數，因此f(x)=sin(y+l)是奇函

數，以上推理()

A.結論正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D.全不正確

【答案】C

4.(2014?安陽模擬)我們知道，在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為

定值噂a，類比上述結論，在邊長為a的正四面體內任一點到其四個面的距離之和為定值

)

亞B半

A.3a4

D.平a

c.當

【答案】A

5.觀察下列各式：7:=49,73=343,71=2401,則72°”的末兩位數字為（）

A.01B.43

C.07I）.49

【答案】B

6.已知函數y=/tY）的定義域為〃，若對于任意的M,〃（乂工照），都有/f）＜

,M?"，則稱了=/G）為〃上的凹函數.由此可得下列函數中的凹函數為（）

A.y=log2XB.y=y[x

C.y=xD.y=x

【答案】C

二、填空題（每小題￡分，共15分）

7.由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：

①由“〃〃?=〃〃/"類比得到"a?b=b?a'；

②由“（加+〃）t=/nt+nt”類比得到“（a+8）,c=a,c+b?c”；

③由“fKO,mt=xt0m=x"類比得到"pWO,a,p=x?p=＞a=x'＞；

④由a\m*n\=m\?|n\"類比得到“a*b\=\a\,\b\n.

以上結論正確的是.

【答案】①②

8.已知經過計算和驗證有下列正確的不等式:鎘+、&＜2寸15,"1+舊1V2小,

?8+小+112-小＜2?,根據以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對正實數如〃都成立的

條件不等式.

【答案】若正數如〃滿足m+〃=20時，有近+近〈2如

9.（2013?安徽高考）如圖11—2—3,互不相同的點4,4,…，兒，…和兒用，…，

房，…分別在角。的兩條邊上，所有4房相互平行，目.所有梯形/L8H+I/U】的面積均相等，

設OA?=an.若d=1,續(xù)=2,則數列｛&｝的通項公式是.

0

【答案】a,-^n~2

三、解答題(本大題共3小題，共35分)

10.(10分)觀察下表：

1,

2,3

4,5,6,7,

8,9,10,11,12,13,14：15,

???

問：(1)此表第〃行的最后一個數是多少？

⑵此表第刀行的各個數之和是多少？

(3)2013是第幾行的第幾個數?

【解】(1)???第〃+1行的第1個數是2",

???第〃行的最后一個數是2"—1.

2L02"—1?2廣1

(2)2/,-,+(2"f+D+(21+2)+???+(2"—1)=-------------------=3-22^3-2°-2.

乙

101,

(3)V2=l024,2=2048,1024<2013<2048；

：.2013在第11行，該行第1個數是2m=1024,

由2013—1024+1=990,知2013是第11行的第990個數.

11.(12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數：

?sin213o+COS217°-sin13°cos17°；

@sin'150+cosJ15°—sin150cos15°；

@sin2180+COS2120-sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+COS2480-sin(-18°)cos48°；

@sin2(—25°)+COS255°-sin(-25°)cos55°.

⑴試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；

(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論.

【解】(1)選擇②式，計算如下：

13

sin'150+cosJ150—sin150cos15°=1—~sin30°=~

(2)歸納三角恒等式sin2a+cos2(300-a)-sincos(30°一。)=；.

證明如下：

sin2a4-COS2(30°—a)—sinacos(30°—a)

1—cos2a,l+cos60°—2a/…,,….、

=---------+-----------------—sino(cos30coso+sin30sin°)

乙乙

=＜一4cos2a+!+J(cos60。cos2c?+sin60°sin2a)一省sinacosa—^sin2a

=)-Jcos2a+^+1cos2a+乎sin2a-乎isn2a-；(1-cos2o)

12.（13分）在Rt△45C中，ABA.AC,ADIBC于。,求證：表=表+》，那么在四面體

ABCD中,類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.

【證明】如圖所示，由射影定理

A4=BD*DC,AE=BD?B3

Ad=B5DC,

.1_1

,'A方-BD?DC

BC_Bd

BD?BODO8。=仍-/C

乂初=力夕+力

.J__而+-__1_J_

??萬二A百,力/=茄+茄?

猜想，四面體力比力中，孫AC.力〃兩兩垂直，4T1平面龐〃則士=白+與+右.

AnA/fACAD

證明：如圖，連接虛并延長交S于尸，連接":

^ABVAC,ABLAD,

???/18_L平面ACD.

：.AB±AF.

在Rt/Vl即中，AEVBF,

?-L=-L+-L

AE~AB^Af^'

在口△/1切中，AFLCD,

??他144十〃'十力"

故猜想正確.

第三節(jié)直接證明與間接證明

［考情展望］1.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數與方程.數列知識為載體，考查

分析法、綜合法和反證法的原理.2.結合具體問題考查學生運用上述三種方法解決問題的能

力.

本抓住2個基礎知識點

一、直接證明

內容綜合法分析法

利用已知條件和某些數學定義、公從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成

定義理、定理等，經過一系列的推理論證,立的充分條件,直至最后，把要證明的

最后推導出所要證明的結論成立結論歸結為判定一個明顯成立的條件

實質由因導果執(zhí)果索因

框圖

四日卜|。-@一,,」周一1一…

表示

^43一得到一個明顯成立的條件

二、間接證明

反證法：假設原命題不成土(即在原命題的條件下,結論不成立)，經過正確的推理，最

后得出矛盾.因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.

反證法中的“矛盾”所包含的層面:

⑴與已知條件矛盾；

⑵與假設矛盾；

(3)與定義、公理、定理矛盾：

(4)與事實矛盾.

I【基礎自測】I

1.用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設()

A.三個內角都不大于60。

B.三個內角都大于6于

C.三個內角至多有一個大于60°

D.三個內角至多有兩個大于60°

【答案】B

2.命題''對于任意用cos"。一sir?〃=cos2的證明：“cos'。-sin。=

（cos26—sir/0）（cos2伊+sin’，）=cos20—sin20=cos2夕”過程應用了（）

A.分析法

B.綜合法

C.綜合法、分析法綜合使用

D.間接證明法

【答案】B

3.要證：/+9一1一才爐W0,只要證明（）

A.2瓶一1一步爐WOB.

?0

卜2

C.3—1—D.（才一1）（斤一1）20

乙

【答案】D

4.用反證法證明命題“如果那么時，假設的內容是

【答案】需忘赤

突破掌握3個核心考向

考向一[200]綜合法

已知a,b,。為正實數，a+/)+c=l,求證：/+4+12；

O

【嘗試解答】法一??%+〃+0=1

?，?(a+6+o)2=3+〃+/4-2aZ?+2ac+2Z?c^a24-Z?24-<?24-c?24-Z>~+3+/+//+/=3(才

+Z?2+c2)

:.4+毋+/2；

法二設<?=-+a，/?=-+B,c=-+y.

JJJ

貝ij由a+b+。=1可知。+尸+/=0

???,+"d=G+"）+《+￡）+《+y

i2

=-+T（a+￡+y）+a4夕'+r2

JJ

=J+/+￡'+y22；.

JJ

規(guī)律方法11.綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知（從題設到

結論）的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷（命題）出發(fā)，經過?系列

的中間推理，最后導出所要求證結論的真實性.

2.綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理.

對點訓練（2013?安徽高考改編）設數列｛,｝滿足a=2,功+%=8,且對任意〃￡N\

函數f{x）=（4一品+1+&42）x+d+icosx-a+2sinx滿足產傳）=0.

求證：數列｛&｝是等差數列.

【證明】由題設可得6（x）=&-a+1+&+2-&+isinx-&+2cosx.

對任意〃￡N\f（萬）=即一&+i+/+2—品+1=0,

即4+1一%一當卜2—4]，故｛a｝為等差數列.

考向二[201]分析法

【嘗試解答】由已知及力0可知0<從1,

ba

要證，1++J-,

V]一〃

只需證也+a,y]\-b>1,

只需證1+a一6一位1,

Q—°]]

只需證a—b—仍>0即——>1,即7—>1.

anba

這是已知條件，所以原不等式得證.

規(guī)律方法21.對于無理不等式，常用分