高中數(shù)學(xué)必修四教案

第一章三角函數(shù)

1.1.1任意角

教學(xué)目標(biāo)

(-)知識(shí)與技能目標(biāo)

理解任意角的概念(包括正角、負(fù)南、零角)與區(qū)間角的概念.

(二)過程與能力目標(biāo)

會(huì)建立直角坐標(biāo)系討論任意角，能判斷象限角，會(huì)書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角的集合的書寫.

(三)情感與態(tài)度目標(biāo)

1.提高學(xué)生的推理能力；2.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)

任意角概念的理解：區(qū)間角的集合的書寫.

教學(xué)難點(diǎn)

終邊相同角的集合的表示：區(qū)間角的集合的書寫.

教學(xué)過程

一、引入：

1.回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

二、新課：

1.甬的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

②角的名稱：

③角的分類：

「正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

Y零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

l負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角a”或“Na”可以簡(jiǎn)化成“a”：

⑵零角的終邊與始邊重合，如果。是零龜a二0°:

(3)角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角.

⑤練習(xí)：請(qǐng)說出角。、￡、y各是多少度？

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在第幾象限,

我們就說這個(gè)角是第幾象限角.

例1.如圖(1X2)中的角分別屬于第幾象限角？

例2.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.

(1)60°;(2)120°;(3)240°;(4)300°;(5)420°;(6)480°;

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3而

終邊相同的角的表示：

所有與角a終邊相同的角，連同a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合5={￡|j6=a+〃?360°,

〃￡與，即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整個(gè)周角的和.

注意：

(DAez

⑵a是任一角；

(3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無(wú)限個(gè)，它們相差

360°的整數(shù)倍；

(4)角a+k?720°與角。終邊相同，但不能表示與角a終邊相同的所有角.

例3.在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角.

⑴一120°;⑵640°;(3)-950°12;

答：(1)240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；(3)129°48'第二象限角;

例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示).

W：{a|a=90°+/7*180°,nEZ].

例5.寫出終邊在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360°<￡V720°的元素￡寫出來(lái).

4.課堂小結(jié)

①角的定義；

②角的分類：

「正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

v零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的

-,負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角：

④終邊相同的角的表示法.

5.課后作業(yè)：

①閱讀教材P2-P5；②教材P5練習(xí)第1-5題；③教材P.9習(xí)題1.1第1、2、3題

a

思考題：已知a角是第三象限角，則2a,—各是第幾象限角？

2

解：痢屬于第三象限，

二.k?3600+180°<a<k>360°+270°(AGZ)

因此，2公360°+360°V2aV2〃?360°+540°(AGZ)

即(24+1)360°V2aV(2〃+1)360°+180°(A￡Z)

故2。是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角.

ct

又4?180°+90°V—V〃?180°+1353(AeZ).

2

ct

當(dāng)A為偶數(shù)時(shí)，令A(yù)=2〃(〃￡Z),則〃?3600+90°<—<n-360°+135°(〃￡Z),

2

此時(shí)，4屬于第二象限角

2

a

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，令A(yù)=2d1(〃￡Z),則。?3600+270°<—<n-360°+315°(nGZ),

2

此時(shí)，區(qū)屬于第四象限角

2

a

因此一屬于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

教學(xué)目標(biāo)

（四）知識(shí)與技能目標(biāo)

理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù).

（五）過程與能力目標(biāo)

能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的孤長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式

解決一些實(shí)際問題

（六）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過新的度量角的單位制（弧度制）的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過對(duì)弧度制與角度制下弧長(zhǎng)

公式、扇形面積公式的對(duì)比，讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)及扇形面積公式在弧度制下的簡(jiǎn)潔美.

教學(xué)重點(diǎn)

弧度的概念.弧長(zhǎng)公式及扇形的面枳公式的推導(dǎo)與證明.

教學(xué)難點(diǎn)

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)角度制：

初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的？

規(guī)定把周角的二一作為1度的角，用度做單位來(lái)度量南的制度叫做角度制.

360

二、新課：

1.引入：

由角度制的定義我們知道，南度是用來(lái)度量角的，角度制的度量是60進(jìn)制的，運(yùn)用起來(lái)不太方便.在教

學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度一弧度制，它是如何定義呢？

2.定義

我們規(guī)定，長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制.在

弧度制下，1弧度記做1rad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

3.思考：

（1）一定大小的圓心角。所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？

（2）引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納：

弧度制的性質(zhì)：

①半圓所對(duì)的圓心角為②整圓所對(duì)的圓心角為

③正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù).④負(fù)角的孤度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|=」.

r

4.萄度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：

①將角度化為弧度：

360。=2%：180°=萬(wàn)：：.

②將弧度化為憊度：

1QA

21=36"；%=180°：1rad=（―）°?57.30°=57°18,：.

冗

5.常規(guī)寫法：

①田弧度數(shù)表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少77的形式，不必寫成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.特殊南的弧度

角

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

度

弧冗nn2乃3萬(wàn)543元

0兀24

度772TT~6~2

7.弧長(zhǎng)公式

弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積.

例1.把67°30'化成弧度.

例2.把化成度.

例3.計(jì)算：

；⑵tan1.5.

例4.將下列各角化成。到2n的角加上（AW2）的形式：

；（2）-315°.

例5.將下列各角化成2〃“+a（4WZ0WaV2"）的形式，并確定其所在的象限.

解：（1）

而名是第三象限的角，是第三象限角.

6

3\TI/5乃3\TI,**.z.?

（2）=-64+—---------是第二象限

666

角.例6.利用弧度制證明扇形面積公式5」/R,其中/是扇形弧長(zhǎng)R是圓的半徑

2

證法一：??,圓的面積為成2,.?.圓心角為［「ad的扇形面積為，又扇形弧長(zhǎng)為，，半徑為R,

?,?扇形的圓心角大小為工■rad,；?扇形面積.

R

證法二：設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為，又此時(shí)孤長(zhǎng)，工.

可看出弧度制與角度制下的扇形面枳公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡(jiǎn)潔得多.

扇形面積公式:S=g/R=g|a|R2

7.課堂小結(jié)①什么叫1弧度角？②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系與區(qū)別.

8.課后作業(yè)：

①閱讀教材P6-P8；

②教材P9練習(xí)第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題.

1.2.1倍感扁的三扁徐敢（1）

教學(xué)目的：

知識(shí)目標(biāo)：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

2.已知角a終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角a的各三角函數(shù)值；

3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。

能力目標(biāo)：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

（2）樹立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；

（3）通過對(duì)定義域，三角函數(shù)值的符號(hào)，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決

問題的能力。

德育目標(biāo)：（1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）

的一種聯(lián)系方式；

（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，君養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)），

以及這三種函數(shù)的第一組誘導(dǎo)公式。公式一是本小節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)。

教學(xué)難點(diǎn)，利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角。的正弦.余弦.正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表

示出來(lái).

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？

在RtAABC中，設(shè)A對(duì)邊為a,B對(duì)邊為b,C對(duì)邊為c,銳角A的正弦、余弦、正切依次為

..a.b.a

sinA=—,cosA=—janA=—.

ccb

角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對(duì)三角函數(shù)重新定義。

二、講解新課：

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)尸(除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為a,y),它與原點(diǎn)的距

離為/?(/*==J$+y2>0)，那么

(1)比值上叫做a的正弦，記作sina,即；

r

(2)比值/叫做a的余弦,記作cosa,即；

r

(3)比值上叫做a的正切，記作tana,即；

x

(4)比值土叫做a的余切，記作COla,即；

y

說明：①a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，a的終邊沒有表明a一定是正角或負(fù)角，以及a的大小，只表明

與a的終邊相同的角所在的位置；

②根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a,四個(gè)比值不以點(diǎn)P(x,y)在a的終邊上的位置的改變而

改變大?。?/p>

③當(dāng)時(shí)，a的終邊在)，軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x都等于0,

所以無(wú)意義；同理當(dāng)a=%/EZ)時(shí)，無(wú)意義；

④除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值，】，比值)、三、上、土分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，

rrxy

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量,比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

2.三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-U]

y=cosaR[-1,1]

y=tanaR

注意：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.

(2)a是任意角，射線仍是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與。x轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方

向旋轉(zhuǎn)到0P的位置無(wú)關(guān).

(3)sina是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“a”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.

(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形的性質(zhì)，“r”

同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐

標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三

角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象

限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.

3.例題分析

例1.求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值：(通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)

37r

(1)0；(2)乃；(3)—.

2

解：（1）因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，x=r,y=0,所以

sinO=O,cosO=T,tan0=0?cotO不存在。

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x=-r,y=0,所以

sin?=O,cos^=-l?tan乃=0,cot4不存在,

（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，x-0,y--r,所以

,,不存在，，

例2.己知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2,-3）,求a的四個(gè)函數(shù)值。

解：因?yàn)椋?2,丁=一3,所以〃=巧石產(chǎn)=JB,于是

sinT早二一跡x22V13

cosa=—==------

rV1313rV1313

例3.已知角a的終邊過點(diǎn)（〃,20（4。0）,求a的四個(gè)三角函數(shù)值。

解：因?yàn)檫^點(diǎn)（〃,2。）（。00）,所以x=a9y=2a

2a2a2石xa亞a

當(dāng)a>洞,sina=2=-----cosa=—=—j^=------tana=2;cot<z=—;

r45\a\~45a5ryJ5a52

2a2a2A/5

當(dāng)av耐，sina=2==-------；

ry/5\a\~~45a5

xac1

cos<z=-=-l=-------；tana=2;cota

r-\J5a52

4.三角函數(shù)的符號(hào)

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知:

①正弦值上對(duì)于第一、二象限為正（y>0/>0）,對(duì)于第三、四象限為負(fù)（y<0,〃>0）；

r

Y

②余弦值士對(duì)于第一、四象限為正（工>0.>0）,對(duì)于第二、三象限為負(fù)（x<0,r>0）；

r

③正切值上對(duì)于第一、三象限為正（x,y同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)異號(hào)）.

x

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

練W：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：

（1）cos250'；（2）；（3）tan（-672°）；（4）.

例4.求證：若sina<0且tana>0,則角。是第三象限角，反之也成立，

5.誘導(dǎo)公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

sin（a+2k兀）=sina,

cos（a+2k/r）=cosa,其中AEZ.

tan（a+2k兀）=tana,

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為。?2八間角的三角函數(shù)值問題.

例5.求下列三角函數(shù)的值：（1）,（2）,

例6.求函數(shù)的值域

解：定義域：cosxM，x的終邊不在x軸上又「tarixHO...x的終邊不在y軸上

當(dāng)x是第I象限角時(shí)，x>0,y>0cosx=|cosxItanx=|tanx|/.y=2

II.............,x<0,y>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanx/.y=-2

，的二一

?IHIV.........,x<>y<Lz|cosx|cosx|tanx|=tanxy=0

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.任意角的三角函數(shù)的定義；2.三角函數(shù)的定義域、值域；3.三角函數(shù)的符號(hào)及誘導(dǎo)公式。

五、鞏固與練習(xí)

1、教材P15面練習(xí)；

2、作業(yè)P20面習(xí)題1.2A組第1、2、3(1)(2)(3)題及P21面第9題的(1)、(3)題。

1.2.18恚仔的三隔備敢(2)

教學(xué)目的：

知識(shí)目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、定義域與值域、符號(hào)、及誘導(dǎo)公式；

2.利用三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切的三角函數(shù)值；

3.利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍。

能力目標(biāo)：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理

解。

德育目標(biāo)：學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切線的利用。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導(dǎo)公式

sin(2A:^+a)=sina(keZ)

cos(2^+a)=cosa(ZGZ)

tan(2^+a)=tana(keZ)

練習(xí)l.tan600"的值是___________.D

A.--B.—C.-V3D.石

33

練習(xí)2.若5詒夕以九夕>0.同1夕在_________.B

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限

練習(xí)3.若cos6>0,且sin26e0則〃的終邊在___C

A.第一象限B.第三象限C.第四象限D(zhuǎn).第二象限

二、講解新課：

當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足產(chǎn)萬(wàn)=1時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示一

一三角函數(shù)線。

1.有向線段：

坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0,始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P(x,y),

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段=于是有

sina=-=-=y=MP,cosa=-=-=x=OM,tana=—==AT

r1r1xOM0A

我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為0的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切

線在過單位圓與R軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi),

一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向二的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂

足；正切線由切點(diǎn)指向與0的終邊的交點(diǎn)。

(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與工軸或丁軸同向的為正值，與x軸或丁軸反向的

為負(fù)值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

4.例題分析：

例1.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

1T、冗2斤

(1)-；(2)一；(3)一一-；(4).

363

解：圖略。

例2.若0<a<—,證明sina+cosa>1.

2

例3.比較大?。?/p>

2424

(1)sin一再sin—萬(wàn)(2)cos—乃與cos一乃

(3)tan—tan—TI

例4.在[0,2m上滿足sinxJ的x的取值范圍息)

2

A.0,-1B.[-,—'1C.5萬(wàn)

D.——，乃

_6」|_66」|_66

例5.利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍.

答案：(1)—+2^<x<—+2^,A:GZ(2)--+2k^<x<-+2k7r,keZ；

666;6

三、鞏固與練習(xí)：P17面練習(xí)

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.三角函數(shù)線的定義；

2.會(huì)畫任意角的三角函數(shù)線；

3.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。

五、課后作業(yè)：作業(yè)4

參考資料

例1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

1。與2。與

解：如圖可知：

2萬(wàn)4兀

>tan—<tan—

35

例2.利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

30o<a<90°或210o<a<270°

補(bǔ)充：I.利用余弦線比較cos64,cos285的大小;

2.若，則比較sing、cos。、tan。的大小；

3.分別根據(jù)下列條件，寫出角。的取值范圍:

(1)；(2)；(3)

1.2.2同的三命留政的壅本關(guān)備

教學(xué)目的：

知識(shí)目標(biāo)：1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及它們之間的聯(lián)系；

2.熟練掌握已知一個(gè)角的三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值的方法。

能力目標(biāo)：牢固掌握同角三角函數(shù)的兩個(gè)關(guān)系式，并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析、解決三角的

思維能力；

教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

教學(xué)難點(diǎn)：三角函數(shù)值的符號(hào)的確定，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)憑a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離為

+|川2=//+),2>o)那么：，，，

2.當(dāng)角a分別在不同的象限時(shí)，sina>cosa、tga的符號(hào)分別是怎樣的？

3.背景：如果，A為第一象限的角，如何求角A的其它三角函數(shù)值；

4.問題：由于Q的三角函數(shù)都是由x、y、1■表示的，則角a的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？

二、講解新課：

(-)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

(板書課題：同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系)

1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：(1)商數(shù)關(guān)系：(2)平方關(guān)系：sin2a+Wa=l

說明：

①注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如si/zia+cos24a=1等；

k冗

②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如tana-cola=l(awL/wZ)；

2

③對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用(正用、反用、變形用)，如：

cosa=±Jlsin2a?sin2a=1-cos2a,等。

2.例題分析：

一、求值問題

例1.(1)已知，并且a是第二象限角，求cosa,tana,cola.

(2)已知，求sina,tana.

2o195

解：(1)Vsin-a+cos-a=l,Acos2a=l-sin2a=\-(—)2=(—)2

1313

又是第二象限角，Acosa<0,即有，從而

(2)Vsin2a+cos2a=l,sin2a=l-cos2a=l-(——)2=(-)2,

55

又???，???a在第二或三象限角。

當(dāng)a在第二象限時(shí)，即有sina>0,從而，；

當(dāng)a在第四象限時(shí)，即有sinavO,從而，.

總結(jié)：

1.已知?個(gè)角的某?個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終

邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。

2.解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①?zèng)]有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開平方時(shí),

漏掉了負(fù)的平方根。

例2.已知tana為非零實(shí)數(shù)，用tana表示sina,cosa.

解：：sin?a+cos2a=1,,

/.(cosa-Luna)2-t-uus2a=uus2a(l+lan2a)=1,艮［J有,

又,..tana為非零實(shí)數(shù)，???a為象限角。

當(dāng)a在第一、四象限時(shí)，即有cosa>0,從而cosa='1，=Jl+taiy。

Vl+tan~a1+laira

.tanajl+tan2a

sina=tana?cosa=-------------------

1+tana

當(dāng)a在第二、三象限時(shí)，印有cosa<0,從而cosa=-1——=一業(yè)粵應(yīng)

V1+tanal+tana

tanavl+tan2a

sina=tana-cosa=-

l+tan2?

例3、已知sina=2cosa,求

/2sir)2a+2sinacosa-cos2a.

解：vsina=2cosatana=2

sina-4cosatana-4-21

.=--;------------=----------=----=---

5sina+2cosa5tana+2126

強(qiáng)調(diào)(指出)技巧：1。分子、分母是正余弦的一次(或二次)齊次式

注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、分母同除以cosa，將分子、分母轉(zhuǎn)化為tana

的代數(shù)式;2?！盎?法”

可利用平方關(guān)系sir？a+cos2a=1,將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數(shù)關(guān)系化歸為tana的

分式求值；

小結(jié)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是：

(1)盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；

(2)盡量使分母不含三角函數(shù)式；

(3)根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來(lái)；

(4)能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來(lái)，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常將式子中的“1”作巧妙的變形,

二、化簡(jiǎn)___________

練習(xí)1.化簡(jiǎn)，1—sin’440.

解：原式=-sin2(360+8。)=J1-sir?8。'=曬而=.

練"化簡(jiǎn)乒"+乒絲

\l+cos6v1-cos^2

三、證明恒等式

例4.求證：.

證法一：由題義知cosxwO,所以l+sinxwO,1-sinxwO.

,.cosx(l+sinx)cosx(l4-sinx),

左邊t=-----------------=------------右邊?

(I-sinx)(l+sinx)cos-x

???原式成立.

證法二：由題義知cosxwO,所以l+sinxwO』-sinxwO.

又：(1-sinx)(l+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,

證法三：由題義知cosxwO,所以1+sinx于0,1—sin工于0.

_cosx-cosx-（l+sinx）（l-sinx）

=,

（l-sinx）cosx

???

總結(jié)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常用的方法有：（1）

從一邊開始，證明它等于另一邊；

（2）證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子；

（3）證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立，

四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及成立的條件；

2.根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值；

五、課后作業(yè)：

參考秘_______________

化簡(jiǎn)5/1-2sin40cos40.

解：原式=Jsii?40+COS?40-2sin40,cos40

=^/(sin40-cos40)2=|cos40。-sin40|=cos40-sin40.

1.3誘導(dǎo)公式（二）

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能目標(biāo)

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

（二）過程與能力目標(biāo)

（1）能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

（2）掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過公式四、五的探究，培系學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的探

索精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)

掌握誘導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭公式.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式（一）

sin(36Qo&+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(180o+a)=-sinacos(180°+a)=-cosortan(180°+a)=tana

誘導(dǎo)公式(三)

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tan?

誘導(dǎo)公式(四)

sin(180°-a)=sinacos(180°-a)=-coscrtan(180°-a)=-tana

對(duì)于五組誘導(dǎo)公式的理解：

①公式中的a可以是任意角；

②這四組誘導(dǎo)公式可以概括為：

2k7i+a(keZ),-a,乃+a,?-a,的三角函數(shù)值，等于它的同名

三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。

總結(jié)為一句話：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

練習(xí)1：P27面作業(yè)1、2、3、4O

2：P25面的例2:化簡(jiǎn)

二、新課講授：

rrjr

1N誘導(dǎo)公式(五)sin(-----a)=cosacos(--a)=sin?

22

2、誘導(dǎo)公式(六)sin(—+a)=cosacos(^+a)=-sina

22

總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號(hào)看象限

例1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳南三角函數(shù)：

(1)tan—,(2)sin^^,(3)cos519°,(4)sin(-—^).

5363

練習(xí)3：求下列函數(shù)值：

(l)cos—,(2)sin(--),(3)sin6700,(4)tan580°).

64

例2.證明：(1)

(2)

.,、,71、,1\7t、

sin(2^-cr)cos(?r+a)cos(—+a)cos(-------a)

例3.化簡(jiǎn)：------------------------2-----------春——.

cos(7r-a)sin(3;r-a)sin(-a—))sirK5+。)

例4.已知tan(乃+a)=3,

求.2COS（T-a）-3sin（乃+a）的值

4cos（-a）+sin（2乃-a）

解：tan（萬(wàn)+a）=3,「.tana=3.

-2cosa+3sina-2+3tana-2+3x3_

原式二--------------------=---------------=------------=7.

4cosa-sina4-tana4-3

小結(jié)：

①三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過程圖:

②三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過程口訣：

負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.

練習(xí)4：教材P28頁(yè)7.

三.課堂小結(jié)

①熟記誘導(dǎo)公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負(fù)看象限；

③運(yùn)用誘導(dǎo)公式可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

四.課后作業(yè)：

①閱讀教材；

1.3誘導(dǎo)公式(三)

教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)與技能目標(biāo)

⑴理解正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

⑵培養(yǎng)學(xué)生化歸、轉(zhuǎn)化的能力.

(二)過程與能力目標(biāo)

(1)能運(yùn)用公式一、二、三的推導(dǎo)公式四、五.

(2)掌握誘導(dǎo)公式并運(yùn)用之進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

(二)情感與態(tài)度目標(biāo)

通過公式四、五的探究，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性與科學(xué)性等思維品質(zhì)以及孜孜以求的探

索精神等良好的個(gè)性品質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)

掌握誘導(dǎo)公式四、五的推導(dǎo)，能觀察分析公式的特點(diǎn)，明確公式用途，熟練駕馭公式.

教學(xué)難點(diǎn)

運(yùn)用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)：

誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360%+a)=cosatan(360Qk+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(180°+a)=-sinacos(180°+a)=-cosatan。80°+a)=tana

誘導(dǎo)公式(三)

sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tana

誘導(dǎo)公式(四)

sin(n-a)=sinacos(兀一a)二一cosatan(7i-a)--tana

誘導(dǎo)公式(五)

sin(---a)=cosa-a)=sina

2

誘導(dǎo)公式(六)

..71、

sin(—+a)=cosacos(y+a)=-sina

二、新課講授：

練習(xí)1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳南三角函數(shù)：

(l)tan—,(2)sin^-^,(3)cos519°,(4)sin(--.TT).

5363

練習(xí)2：求下列函數(shù)值：

(l)cos—,(2)sin(--),(3)sin6700,(4)tan580°).

64

例1.證明：(1)

(2)

..、.7t.1ITT

sin(2^-a)cosvr+a)cos(—+a)cosf----a)

例2.化簡(jiǎn)：------------------------Z----------5------.

94

cos(7T—a)sin(37r—a)sin(—a-7r)sin(5+a)

例3.已知tan(萬(wàn)+a)=3,求：生亞生*二@的值。

4cos(-a)+sin(2〃-a)

解:?「tan(%+a)=3,tana=3.

-2cosa+3sina-2+3tana-2+3x3_

原式=----------------=------------=----------=7.

4cosa-sina4-tana4-3

42sin(a-")+3tan(3%-a)

例4,已知sin(a+;r)=—，且sinacosav0,求的值

54cos(a-3/r)

小結(jié)：

①三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過程圖:

②三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過程口訣：

負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.

練習(xí)3:教材P28頁(yè)7.

?sin(a-2萬(wàn))?cos(2v-a);

tan(3600+a)

(2)cos2(-a)-

sin(-a)

例5.

三.課堂小結(jié)

①熟記誘導(dǎo)公式五、六；

②公式一至四記憶口訣：函數(shù)名不變，正負(fù)看象限；

③運(yùn)用誘導(dǎo)公式可以將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù).

四.課后作業(yè)：

①閱讀教材的雙基訓(xùn)練.

1.4.12花、會(huì)修留敬的④臬

教學(xué)目的：

知識(shí)目標(biāo)：（1）利用單位圓中的三角函數(shù)線作出），=sinx,x￡R的圖象，明確圖象的形狀；（2）根據(jù)

關(guān)系，作出y=cosx,xeR的圖象：（3）用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，

并利用圖象解決一些有關(guān)問題；

能力目標(biāo)：（1）理解并掌握用單位圓作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法；（2）理解并掌握用“五點(diǎn)法”

作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法；

德育目標(biāo)：通過作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)，一絲不茍的學(xué)習(xí)和工作精神；

教學(xué)重點(diǎn)：用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象；

教學(xué)難點(diǎn)：作余弦函數(shù)的圖象。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入:

1.弧度定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。

2.正、余弦函數(shù)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）

p與原點(diǎn)的距離=JW+序=，/+/>o）-Ax,y）

則比值上叫做a的正弦記作：

比值已Y叫做a的余弦記作：

r

3.正弦線、余弦線：設(shè)任意角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x,y）,過P作x軸的垂線，垂足為M,則

有

9

向線段MP叫做角a的正弦線，有向線段0M叫做角a的余弦線.

二、講解新課：

1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函

數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù).在一般情況下，兩個(gè)坐標(biāo)軸上所取的單位長(zhǎng)度

應(yīng)該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初學(xué)者對(duì)曲線形狀的正確認(rèn)識(shí).

（1）函數(shù)y=sinx的圖象

第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)以。|為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓

分成n（這里n=12）等份.把x軸上從0到2n這一段分成n（這里n:12）等份.（預(yù)備：取自變量x值一弧度制

下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)）.

7T7TTT

第二步：在單位圓中畫出對(duì)應(yīng)于角0,一，一，…，2JT的正弦線正弦線（等價(jià)于“列表”）.把角

632

X的正弦線向右平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與X軸上相應(yīng)的點(diǎn)X重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象

上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.

第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到正弦函數(shù)y=sinx,xe[o,2兀]的圖

象.

根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距

離為2無(wú)，就得到y(tǒng)=sinx,x￡R的圖象.

把角x（xeR）的正弦線平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)的軌

探究1：你能根據(jù)誘導(dǎo)公式，以正弦函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，通過適當(dāng)?shù)膱D形變換得到余弦函數(shù)的圖象？

根據(jù)誘導(dǎo)公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移工單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.（課件第

2

三頁(yè)“平移曲線”）

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

思考：在作正弦函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

2.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）：

正弦函數(shù)丫=5]然，xG[O,2兀]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：@0)(￡,1)(兀,0)(多，-1)(2n,0)

余弦函數(shù)丫=。。$乂xe[0,2捫的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1)(g,0)(九,T)(當(dāng)，0)(2K,1)

22

只要這五個(gè)點(diǎn)描出后，圖象的形狀就基本確定了.因此在精確度不太高時(shí)，常采用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和

余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖，要求熟練掌握.

優(yōu)點(diǎn)是方便，缺點(diǎn)是精確度不高，熟練后尚可以

3、講解范例：

例1作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖

⑴y=l+s力7必xG[0,2n],(2)y=~COSx

?探究2.如何利用尸sinx,xG(0,2n)的圖象，通過圖形變換(平移、翻轉(zhuǎn)等)來(lái)得到

(1)y=l+sinx,xe(0,2n)的圖象；

(2)y=sin(x-兀/3)的圖象？

小結(jié)：函數(shù)值加減，圖像上下移動(dòng)；自變量加減，圖像左右移動(dòng)。

?探究3.

如何利用y=cosx,xe(0,2北)的圖象，通過圖形變換(平移、翔轉(zhuǎn)等)來(lái)得到y(tǒng)=-cosx,

xe(0,2Ji)的圖象？

小結(jié)：這兩個(gè)圖像關(guān)于X軸對(duì)稱。

?探究4.

如何利用丫=慎$乂，xG(0,2n)的圖象，通過圖形變換(平移、翻