（人教版）九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三 二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

專題22.8二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題

的理解！

【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】

1.（2023春?山東濟南?九年級統(tǒng)考期末）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍

點.若二次函數(shù)y=%2-2%+c（c為常數(shù)）在一1<%<4的圖象上存在兩個二倍點，則c的取值范圍是（）

A.-5<c<4B.0<c<1C.-5<c<1D.0<c<4

2.（2023春?湖北咸寧?九年級統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

界二次困數(shù)若互異二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l且圖象經(jīng)過點（-1,0）,則這個互異二次函數(shù)的二次

項系數(shù)是（）

A禺B,1C,1D.7

3.（2023春?廣西南寧?九年級統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（〃?，〃）和點?（〃?，獷）,

若滿足論。時，時，〃'=-〃，則稱點P'（m,〃'）是點尸（孫足的限變點.例如：點P/（2,

5）的限變點是P/（2,1）,點P2（-2,3）的限變點是Pi（-2,-3）.若點P（〃?，〃）在二次函數(shù)產(chǎn)-/+4%+2

的圖象上，則當(dāng)-19q時，其限變點P，的縱坐標(biāo)〃，的取值范圍是（）

A.-2<^<2B.l<n'<3C.1<nf<2D.-2<<3

4.（2023春?湖南長沙?九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標(biāo)是

橫坐標(biāo)2倍的點稱為“青竹點”.例如：點（1,2）、（-2.5,-5）……都是“青竹點”.顯然，函數(shù)y="的圖象上

有兩個“青竹點，，：（0,0）和（2,4）.

⑴下列函數(shù)中,函數(shù)圖象卜存在“青竹點''的.請在橫線上打”也不存在“青竹點”的,請打“x”.

?y=2x-l；?y=-x2+1；③y=/+2.

（2）若拋物線丫=-：/一m+1（加為常數(shù)）上存在兩個不同的“青竹點”，求〃?的取值范圍：

（3）若函數(shù)y=；/+（匕一。+2〃+。。一3的圖象上存在唯一的一個“青竹點”，且當(dāng)一1<b<2時，a的

最小值為c,求c的值.

5.（2023春?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期中）定義：兩個二次項系數(shù)之和為1,對稱軸相同，且圖像與y軸交點

也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2/+4%-5的友好同軸二次函數(shù)為y=-x2-2x-

5.

(1)函數(shù)y=；x2-2x+3的友好同軸二次函數(shù)為

(2)當(dāng)一1<%<4時，函數(shù)y=(1-a)xz-2(1-a)x+3(aH0且a01)的友好同軸二次函數(shù)有最大值為

5,求Q的值.

(3)已知點(m,p),(m,q)分別在二次函數(shù)%=axz+4ax+C(Q>；MaH1)及其友好同軸二次函數(shù)y2的圖

像上，比較p,q的大小，并說明理由.

6.(2023春?浙江金華?九年級?？计谥?定義：若拋物線)，與工軸兩交點間的距離為4,稱此拋

物線為定弦拋物線.

⑴判斷拋物線y=f+2x-3是否是定弦拋物線，請說明理由；

(2)當(dāng)--定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點間的連線所圍成的圖形是直角三角形,

求該拋物線的表達(dá)式；

⑶若定弦拋物線>=/+灰+c(%<0)與x軸交于A、B兩點(A在B左邊)，當(dāng)29W4B寸，該拋物線的最大

值與最小值之差等于OB之間的距離，求〃的值.

7.(2023春?浙江?九年級期末)定義：若拋物線%=%(無+九)2+自與拋物線丫2=。2(無+h)2+&.同時

滿足=-4%且心=-3右，則稱這兩條拋物線是一對“共規(guī)拋物線

2

⑴已知拋物線%=-,2+hx+c與y?=X-2x-3是一對共軻拋物線，求為的解析式；

⑵如圖1,將一副邊長為4企的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點為原點，直線8c為X軸建立

平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點A,E,。的拋物線為力,經(jīng)過A、B、。的拋物線為內(nèi)，請立接寫出力、丫2的解

析式并判斷它們是否為一對共視拋物線.

圖1圖2

8.(2023春?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期末)定義：如果拋物線y=ax2+bx+c(a*0)與x軸交于點力(孫0),

F(X2,0),那么我們把線段48叫做雅禮弦，力8兩點之間的距離/稱為拋物線的雅禮弦長.

(1)求拋物線y=x2-2x-3的雅禮弦長；

(2)求拋物線y=x2+(n+l)x-1(1<n<3)的雅禮弦長的取值范圍：

(3)設(shè)m,九為正整數(shù)，月.m￥l,拋物線y=/+(4-mt)x-4?n￡的雅禮弦長為。，拋物線y=--+

。-九注+9的雅禮弦長為①s二片一修試求出$與￡之間的函數(shù)關(guān)系式，若不論t為何值，sNO恒成立，

求？H,71的值.

9.(2023春?河南濮陽?九年級統(tǒng)考期中)小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)

y^ai^+b/x+C](田#))與產(chǎn)念/也工+^(念,。)滿足4/+〃2=0，〃尸〃2，c/+c、2=0,則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)

函數(shù)求函數(shù)尸?-3片2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)

小明是這樣思考的：由函數(shù)y=/-3x-2可知，〃尸1,bi=-3,。尸-2,根據(jù)。/+〃2=0，6尸岳，C/+Q=0,求出。2,

力2,①就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)

請參考小明的方怙解決下面問題：

⑴直接寫出函數(shù)產(chǎn)/-342的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”_；

(2)若函數(shù)y=-x2+^mx-2與y=r-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求(,〃+〃嚴(yán)。的值；

(3)已知函數(shù)y=4%-1)。+4)的圖象與l軸交于點4、B兩點(A在8的左邊)，與)，軸交于點。，點4、

8、C關(guān)于原點的對稱點分別是4,Bi,G，試證明經(jīng)過點4,Bh。的二次函數(shù)與函數(shù)y=ga—1)(%+4)

互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

10.(2023春?山西大同?九年級統(tǒng)考期中)請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c(a0,bH0)稱為一對“親密函

數(shù)“，如y=5x2-3x4-2的“親密函數(shù)''是y=5x2+3x4-2.

任務(wù)：

(1)寫出二次函數(shù)y=/+3%-4的“親密函數(shù)”：；

(2)二次函數(shù)y=/+3%-4的圖像與義軸交點的橫坐標(biāo)為I和-4,它的“親密函數(shù)”的圖像與T軸交點的橫

坐標(biāo)為,猜想二次函數(shù)y=ax2+ftx+c(h2-4ac>0)的圖像與％軸交點的橫坐標(biāo)與其“親密函數(shù)”

的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是；

(3)二次函數(shù)y=/+bx-2021的圖像與％軸交點的橫坐標(biāo)為1和-2021,請利用⑵中的結(jié)論直接寫出

二次函數(shù)y=4x2-2bx-2021的圖像與％軸交點的橫坐標(biāo).

【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】

o

(1)若一個函數(shù)的“特征數(shù)”是［1,-4,1］,將此函數(shù)圖像先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得

到一個圖像對應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是：

⑵將“特征數(shù)”是【0,-鼻-1】的圖像向上平移2個單位，得到一個新函數(shù)，這個函數(shù)的解析式是：

(3)在(2)中，平移前后的兩個函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點,與直線％=-百分別交于D、C兩點，

在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、8、C、。匹點為頂點的四邊形的面積；

(4)若(3)中的四邊形與“特征數(shù)”是［1,-26,〃+“的函數(shù)蟄像有交點，求滿足條件的實數(shù)b的取值范

圍.

6.(2023春?福建龍巖?九年級?？计谀?定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)xvO時,

它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)它()時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等.我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例

如：一次函數(shù)y=x—l,它的相關(guān)函數(shù)為、=｛了：；?；0；)

(1)已知點A(-2,1)在一次函數(shù)y=ax-3的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求。的值.

(2)已知二次函數(shù)y=-/+4x-：.當(dāng)點8(〃?，在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時，求〃?的值.

7.(2023春?江蘇南通?九年級統(tǒng)考期末)定義：若圖形M與圖形N有且只有兩個公共點，則稱圖形M與圖形

N互為“雙聯(lián)圖形"，即圖形M是圖形N的“雙聯(lián)圖形”，圖形N是圖形M的“雙聯(lián)圖形”.

圖1圖2

備用圖

(I)若直線y=-x+b與拋物線y=7+1互為“雙聯(lián)圖形”，且直線y=-x+b不是雙曲線y=:的“雙聯(lián)圖

形”，求實數(shù)力的取值范圍；

(2)如圖2,已知做一2,0),B(4,0),C(l,3)三點.若二次函數(shù)y=晨工++3的圖象與△力BC互為“雙聯(lián)圖

形”，直接寫出a的取值范圍.

8.(2023春?北京?九年級北京市第三中學(xué)?？计谥?定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P(x,)，)

的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)X的差yr稱為尸點的、、坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的''坐標(biāo)差”中的戢大值稱為圖

形G的“特征值”.

(1)①點4(I,3)的“坐標(biāo)差”為；

②拋物線產(chǎn)-f+3.計3的“特征值”為；

(2)某二次函數(shù)y=-f+Zu，+c(H0)的“特征值”為1,點8(〃?，0)與點。分別是此二次函數(shù)的圖象與工

軸和)，軸的交點，且點8與點C的“坐標(biāo)差”相等.

①直接寫出加=；(用含c的式子表示)

②求人的值.

9.(2023春?北京?九年級人大附中?？计谥?對某一個函數(shù)給巴如下定義：若存在實數(shù)M>3對于任意

的函數(shù)值y,都滿足-MWyWM,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個

函數(shù)的邊界值.例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是L

備用圖備用圖

(1)直接寫出有界函數(shù)y=2x+1(-4<%<2)的邊界值；

(2)已知函數(shù)y=2/+b%+c(mWxW九,7九V九)是有界函數(shù)，且邊界值為3,直接寫出九一m的最大值；

⑶將函數(shù)y=2/(_1<x<k,k>0)的圖象向下平移k個單位，得到的函數(shù)的邊界值是3直接寫出k的取值

范圍，使得

10.(2023春?湖南長沙?九年級?？计谥?若定義：若一個函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點，則把

該函數(shù)稱為“明德函數(shù)”，該點稱為“明德點”，例如：“明德函數(shù)"y=x+l,其“明德點”為(1,2).

(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3“明德函數(shù)”(填“是”或。不是”)；

②函數(shù)y=/的圖像上的明德點是；

(2)若拋物線y=(爪一1)/+小》+；加上有兩個“明德點”，求機的取值范圍；

(3)若函數(shù)y=x2+(m-k+2)x+^—g的圖像上存在唯一的一個“明德點”，旦當(dāng)一1工m43時，幾的最小

值為k,求k的值.

【類型3二次函數(shù)與幾何圖形綜合問題中的新定義問題】

1.(2023春?四川綿陽?九年級統(tǒng)考期末)定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互

異一次函數(shù)”.如圖，在正方形。48C中，點4(0,2),點C(2,0),則互異一次同數(shù)y=(x-m)2-m與正方形

04BC有交點時m的最大值和最小值分別是()

2.（2023春?山東濟南?九年級統(tǒng)考期末）定義：關(guān)于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋

物線”.例如：yi=（x-I）2-2的“同軸對稱拋物線”為刃=-（x-1）2+2.

（1）請寫出拋物線#=（X-1）2-2的頂點坐標(biāo)」及其“同軸對稱拋物線勺2=-（X-1）2+2的頂點坐標(biāo)」

（2）求拋物線丁=-2A2+4X+3的“同軸對稱拋物線”的解析式.

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點B是拋物線L：4公+1上一點，點8的橫坐標(biāo)為I,過點B作

x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線''于點C,分別作點8、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點8'、C’,

連接BC、CC'、BC、BBL

①當(dāng)四邊形88（1為正方形時，求a的值.

②當(dāng)拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有II個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點

時，直接寫出〃的取值范圍.

3.（2023春?北京門頭溝?九年級大峪中學(xué)?？计谥校┒x：對于平面直角坐標(biāo)系X。、上的點P[a,b）和拋物

線y=X2+以+匕，我們稱P（a,b）是拋物線y=x2+ax+b的相伴點,拋物線y=x2+ax+b是點P（Q,匕）的

相伴拋物線.如圖，己知點71（—2,—2）,3（4,-2）,C（l,4）.

（1）點力的相伴拋物線的解析式為；過A,B兩點的拋物線、=X2+。%+/?的相伴點坐標(biāo)為:

（2）設(shè)點P（a,b）在直線4。上運動：

①點P（a,b）的相伴拋物線的頂點都在同一條拋物線。上，求拋物線。的解析式.

②當(dāng)點P(a,b)的相伴拋物線的頂點落在△4BC內(nèi)部時，請直接寫出a的取值范圍.

4.(2023春?浙江紹興?九年級校琰考期中)定義：如圖1,拋物線y=。/+故+?。。0)與乂軸交于人，

B兩點，點P在該拋物線上(P點與A.B兩點不重合)，如果4ABP中PA與PB兩條邊的三邊滿足其中一

邊是另一邊2企倍，則稱點P為拋物線y=ax2+bx+C(Q=0)的“好”點.

(I)命題：P(0,3)是拋物線、=-/+2%+3的“好”點.該命題是(真或假)命題.

(2)如圖2,已知拋物線C:y=Qx2+加(a<0)與x軸交于A,B兩點，點P(l,2)是拋物線C的“好”點，

求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件SAABQ=SAABP的Q點(異于點P)的坐標(biāo).

5.(2023?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c(a、

b、c為常數(shù)，a￥0)的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三

角形”.已知拋物線y二-平/一竽％+2百與其“夢想直線”交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與x

*JO

軸負(fù)半軸交于點C.

(1)填空；該拋物線的“夢想直線”的解析式為，點A的坐標(biāo)為，點B的電標(biāo)為

（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將4ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N,若

△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點M的坐標(biāo).

6.（2023春?湖南長沙?九年級統(tǒng)考期中）定義：在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分,

則稱P、Q為線段MN的三等分點.

己知一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N,且A、C為線段MN的三等分點（點A在點

C的左邊）.

（1）直接寫出點A、C的坐標(biāo)；

（2）①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點0、A、C,試求此二次函數(shù)的解析式；

②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點，在此拋物線0、C之間取一點P（點P不與0、（2重

合）作PF_Lx軸于點EPF交0C于點E,是否存在點P使得AP=BE?若存在，求出點P的坐標(biāo)？若不

存在，試說明理由；

（3）在（2）的條件下，將AOAB沿AC方向移動到△OAE（點A，在線段AC上，且不與C重合），△0AB

7.（2023春?安徽合肥?九年級統(tǒng)考期中）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P（x,y）的縱坐標(biāo)y

與其橫坐標(biāo)x的差y-x稱為點P的“坐標(biāo)差”，而圖形G上所有點的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特

征值”.

（1）求點A（2,1）的“坐標(biāo)差''和拋物線y=-X2+3X+4的“特征值”.

（2）某二次函數(shù)=-x?+bx+c（c^O）的“特征值”為-1,點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸

的交點，且點B與點C的“坐標(biāo)差”相等，求此二次函數(shù)的解析式.

（3）如圖所示，二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象頂點在“坐標(biāo)差''為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是

矩形，點E的坐標(biāo)為（7,3）,點O為坐標(biāo)原點，點D在x軸上，當(dāng)二次函數(shù)y=-x?+px+q的圖象與矩

形的邊有四個交點時，求p的取值范圍.

8.（2023?浙江杭州?九年級統(tǒng)考期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形.

（I）初步嘗試

如圖I,已知等腰直角△ABC,ZACB=900,請將它分成兩個三角形，使它們成為偏等積三角形.

（2）理解運用

如圖2,已知△ACD為直角三角形，ZADC=90°,以AC,AD為邊向外作正方向ACFB和正方形ADGE,

連接BE,求證：△ACD與△ABE為偏等積三角形.

（3）綜合探究

如圖3,二次函數(shù)y=*2祗x-5的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,在二次函數(shù)的圖象上是否存

在一點D,使△ABC與4ABD是偏等積三角形？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.（2023春?江西贛州?九年級統(tǒng)考期末）我們給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果一條拋物線

平移后得到的拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點，那么這條拋物線叫做原拋物線的過頂拋物線.

如下圖，拋物線F