高等數(shù)學上冊規(guī)范標準答案

第一章函數(shù)與極限（答案）

1.答：（1,10）（由0<lgx<l得l<x<10）

2.答：（一2,2）（由OWx2V4,解得—2VxV2）

3.（0,1]（由arcsinx〉。WO<x<1）

4.（-l,0）U（0,l）（由得兇<1,xwO）

5.[0,1]

6.（-co,0）（由N-x/0即W/x,/.x<0）

7.答：（1,+oo）（Iog2x>0得x>l）

卜__2~

8.由Y7^2-x2>0ftx^0得國4萬且xwO

入

由皿,一工）有/_元〉0得工<0或r〉l

故函數(shù)的定義域為[-J7,0）U（i，J7]

9.由ln±L,有分土>0解得一2cx<2；

2+x2+x

當工工Ofl寸，對/—有x〉」一或x<--—

（“22

故函數(shù)f。）+f（的定義域為（-2，-J-）U（1-⑵

\xJ22

10.由arccos-，有|之，J1,解得一，工天工1；

1+x|1+x|3

由J1-工-2爐,^1—x—2x~>0,解得一1W工4—；

2

故函數(shù)的定義域為

32_

11.由。W彳一加<。且。Wx+m</?

+m<x<b+m

得1,八

a-m<x<b-m{m>0）

當〃后告幺時，F(xiàn)(x)的定義域為殺

當0<m<b；時,F(x)的定義域為［a+一,b-m\

-2-x2>0

由《.I

1-國工0

故f(x)的定義域為卜J2,-1)U(-Ll)U(bJ2]

13.由1g二^20得匚出解得：6或

66

故〃尢)的定義域是(-00，-6]U[1,+8)

,[25-X2>0[W<5

14.由《得，1

XH0[xw0

故f(x)的定義域為卜5,o)u(o,5'

15.由y|。=0=x得f(\l~x_1)=x—1=(yjx—1)~+2(y/x—1)

故/(x)=x2+2x這時y=1+Q+X-1=Q+X

由)L=i=2得a=1故y=1+x

16.當x=2時,：/。-2)=-2E+5

/(r-2)=r2-4r+10令，-2=小則r=〃+2

/(〃)=(〃+2)2-4(〃+2)+10=M2+6/.f(x)=x2+6

17.因)，=0時，z=i...1+/(幻=工2

故有f(x)=x2-xf(x-y)=(x-y)2-(x-y)

z=x+y+(x-j)2-(x-y)=2y+(x-y)2

2

18.已知:2/(x)+//(_!_)=(I)

Xx+1

故得"）+1

A2

fM+2x7(—)=2/丁(2)

Xx+1

2x(I)-(2)消*/(—)W：3/(x)=2尸+4.2”—3x

Xx+i7+7

故/w=7+T

19.A20.C21.D22.A

23.（1）蚣=），=麗，有/（0）=/（。）+/（0）呵（0）=0

(2)取y=-x,帶(0)=/(x)十/(-x)

于是“X)+/(-X)=0BP/C-X)=-/(X),XG(-00,+00)

因止卜。）是奇函數(shù)o

/―二—

24.由)；=———=-^―倚

e+ee+1

小=1±2」心

i-y21-y

I1+X、

反函數(shù)0(x)=Kn----定義域(T,1)

21-x

25因xwO,/(x)工0,l/(x)1

i

f/(X)

fh丹〃切==x

1

f(x)

一、八I2n

45.—彳I+???+

n~+/?+1［廠+〃+2n2+n+n

l+2+???+〃|又乙〉1+2+…+〃_n+1

則mil丁FT

nI23*+2n2(〃+2)

2

又lim九+1二2故limx

〃一＞8w

〃T82(〃+2)22

46.0

Xn-1―—1x2-1x-1

47.原式=lim(-----------1-------------

XTlx-\x-ix-l

,.、-.n(n+1)

=〃+(〃-1)+,?，+2+1=———

12

48.—49.e6

5

50.lim---------------=lim

xfM3ex+4xe~x工一例3+4e-2x3

而lim

3e'4-4e~2x-3e"+442

IIpX_2T

因上w-二故原極限lim--J不存在

32-83/+4e-x

51.C52.C

53.當xT-2f0,J3x2-4x-4-05(1+Jr-2)?1x-2

arcsinV3x2-4A-4?V3^2-4x-4=#(x-2)(3x+2)

Vr—211

原式=lim/=lim

x-2依―2)(3x+2)z2M3X+22

XXX

54.設〃〃=cos—cos—?--cos—

2222〃

1xX1

-------COS—COS—r…COS一?sin—?sinx

.x2222〃2〃

sin——2nsin—

2”2"

x

sinxsinxsinx.

2"則有l(wèi)imlim=lvim------=1

Iim〃〃=lim'人'XfOllTOC%

〃一>8Xx，1T810X

sinr

XCOSJACOSXx(l-cosx)1

55.ec—1

當x—0,ex-excosx-excosx-x(l-cosx)

ln(l+x2)

ACOSAx(l-cosx)1

原式=lime

A->()x-x22

56.D57.A

58.原式=lim

1

(1-)〃

2〃

59.原式=lim(l+sin2x)2x

XT0

sin2x

=lim(l+sin2x)sE2x2x

A->()

12x—

F2

60.原式=lim

XT81(-2x)(-|)

(1一丁)

2x

3

3

2

原式=IiJln(1+Sin%)Incosx

61.

sosinxsinx

ln(l+sinx)「ln(l-sin2x)sinx

=lim-----------+lim-------——!

1。sinxso-sin**x2

=1+0=1

/x-2/+1

62.原式=lim

x->0ex-x2

tanxi3.ri

63.原式=lim(----------------)

“°sinxsinx

e-tanx-1itanx3x

=lim-------

XT°Xsinxsinx

_1

64.原式=lim------

7x-1

r->in\nxx—1

丁1x〃-1

m-n

65.原式=lim上工~㈡?

IZ〃T+%Tm+n

x—ix—1

66.因為g(-0)=lim(%--)=--

x~0

717t

g(+0)=lim(%+-)=-

xH)22

于是limg(x)不存在

XTO

sin(2x+〃)，當x>0

而/[g(X)]=,

sin(2x-TT),當尢K0

=-sin2x

所以li*/[g(x)]=lim(-sin2x)=0

111

67.證s“----------T-------------T+…"

5+1)25+2)2(2n)2

1111

----T7+??,■!-

(In)1(2〃廠(2/2)24〃

即有―

而lim—5—=O,lim—=0

〃一>84nH->00Y\

因此lim—+一J1

〃f“(〃+1)-(〃+2廠(2n)2

=0

“tanx(tanx+V3)(tanx-V3)

68.原式=lim----------------------------

萬sin(^-x)

3

=limtanx(tanx+V3)-limtan%—―

A->―nXT-

33sin(--X)

sin(x-—)

=6lim-----------------------------

￡71.71

Icosx-cos—?sin(----x)

=-24

)9.顯然：X〃十J?=1H--2-2-H--3-2-d-----F

即數(shù)列｛招｝單調(diào)增

<1+—+----+???+-----------

1-22-3(n-1)-/?

=1+(1-

223n-

=2--<2

n

即數(shù)列卜“｝有上界為2

根據(jù)準則：單調(diào)有界數(shù)列還有極限

因此：lim工〃存在

70.當〃=1時，玉=亞<2

設當〃=&時，s<2成立

則當〃=Z+1時，

xk+l=，2+與<72+2=2

由數(shù)學歸納法原理知：數(shù)列卜〃｝有上界為2

下面再用數(shù)學歸納法證明數(shù)列卜〃｝為單調(diào)增

當〃=1時，X,=J2+X[=＞y2=

設〃=2時,xk+l＞與成立

則當〃=Z+1時，

4+”1=4+2=，2+%＞,2+4=X-]

所以數(shù)列卜,J單調(diào)增

根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限，知limx“存在

XT8

可設limx=A則A＞V2＞0

〃一＞8ltf

由limxz/+1=limJ24-xn,得A=J2+4

〃一＞8〃一＞QCV

解得；A=2,A?=—1（舍去），因此lim%〃=2

〃一＞8

l+xsinx-cosx

71.原式=lim

A->0xtanx(Jl+sinx+Vcosx)

="(xsinx,1-cosx、I,I3

-------H-----------)=-(Z1I+—)x=-

xtanxxtanx224

sinxcoscr-sinacosx

72.原式=lim

(X-6f)COSXCOSX

「sin(x-a)I

=lim----------------------

saX-aCOSXCOSX

---；—=sec2a

cos'a

73.原式=lim—(sinx+l)

2。A3(V1+tanx+Vl+sinA)

Isinx(l-cosx)

=—lim--------------

21ox

I,,sinxI-cosx

=—hm---------z——

21°x廠

1.

-4

74.小)=32a

3+l)(x-tz)

lim^—!-=a)

(1)當〃=1時，limf(x)

XT1IX-1

2x—111

(2)lim/(x)=lim

XTIA->!x—ci1—ci2

得a=-1

(3)lim(^+l)(2x-1)=0

X->.

2

故欲使lim/(x)>0,必須lim(x-a)=--。=0

X->—A->—2

22

即4=1

2

(-x+l)(2x-1)

,in?4-----------F=2

Xf一

2F(-X+DU--)

2/x-3吐2-3e口1

75.lim=lim

XT+84個+產(chǎn)4+e-5.rry

2*—3e22e5x

而lim=lim=-3

-2x

XT-84e5x+1

因此lim不存在.

X->X?

c1

2+——cosx

x______2

76.原式=lim

XT8"I~3

3—sinx

x

2.3

77.原式=lim-1-0"

，】T83

H---

10n+,10

78.原式=lim3+(、■)"+1=3

〃->8v33

w3..13「24、,n-1n+1

原式=lim(z----)(----)???(-----------

2233nn

「1〃十1

=hm------

g2n

~2

80.當時vl時,

所以lim--=0

因為lim〃〃=0〃->82+a

當時〉1時，

lim1

所以」一=lim

因為limp)”=0-2+a〃一>82(」-)"+1

”->8aa

n(n-1)rT

81.原式=lim---

〃T8n+222_

”->82(/?42)~~2

82.B83.B84.C85.C86.A87.D88.D89.D90.B91.B

92.A93.C94.C95.B96.C97.C98.D99CI00.C101.D

102.B103.D104.A105.C106.D107.C108.B109.D

110.解法一：

若x=0是/.(x)的可去間斷點，財im存在

從而lim/(x)-sin2x=lim(Vl+sinx4-sin2x-a-bsinx)=0

x->0XTO

故Q=lim(Vl+sinx+sin2x-Z?sinx)=1

x->0

再由lim/(x)-sinx=0得

x->0

71+sinx+sin2x-1

lim(-b)=O

x->0sinx

1+sinx

即b=lim

71+sinx+sin2x+12

故當。=1,。=,時，工=0尉&)的可去間斷點

解法二：

若x=O是的可去斷點，則必極限lim/(x)存在

ffijlimsin2x=O所以必須

lim(Vl+sinx+sin2x-(a+bsinx))=0

XTO

求得：a=],此時

「”、「A/1+sinx+sin2x-(1+/?sinx)

hm/(x)=hm----------------------------

DDsin-x

」(1-2h)+(1-Z?2)sinx

=lim----------------------------------

s°sinxJl+sinx+sin2x+(1+Z?sinx)

**

僅當1-2。=0,即匕=工時，上面極限存在

2

綜上述，4=1,0=g時，X=0是/(X)的可去斷點

111.f(x)="+""—,x=0與尢=1是/(x)的間斷點

x(x—l)

因為：limUD_00

?s。X{X-1)

所以X=O是“X)的無窮間斷點

而lim(%+l)(xT)=2

“IX(X-1)

所以X=1是/?(￡)的可去間斷點

112.x=0,±1,±2,…/(x)沒定義

由于lim/(x)=lim—=lim^—?-

XTOXTOtannx工->°tanmTI

1

——

71

所以x=O是/(x)的可去間斷點

x=±l,±2,…均為/(x)的無窮間斷點

x=±-f±3,…土竺二」??也是/。)的間斷點

且lim---=0

1土1tan7ix

2

故x=±‘，±-,…土竺匚是“外的可去間斷點

jr

113.x>OH'J'/(x)=arcsinl=—,

jr

x<Oflb(x)=arcsin(-l)=——

所以/(九)的連續(xù)區(qū)間為(-8,())及(()，+00)%=()時/(九)沒定義

JT

W(0+0)=lim/(x)=—

A->O+O2

71

/(O-O)

2

所以工=0是〃工）的跳躍間斷點

114.x=0,±1是/(x)的間斷點

因為limf(x)=limarctan----=0

x->001

x—

X

所以x=0是可去間斷點

而/(1+0)=limarctan-----=—

XTi+o12

x—

x

f(l-0)=limarctan-----=——

x->i-o12

x------

X

所以X=1是跳躍間斷點

/(-I+0)=limarctan—^―-71

A->-1+0~2

x---

X

TC

/(-I-0)=limarctan----

XT-i-o12

x---

x

所以x=7也是跳躍間斷點

115.B

116.a=1

117.x=nn(n=0,±1,±2,-??)是的間斷點。

由于=l,所以x=0是可去間斷點

.iotanx

lim---=oo(n=±1,±2???)

tanx

所以x=〃兀(n=±1,±2,.??)是無窮間斷點

人=2丁兀(K=0,±1,±2,…)也是的間斷點

lim---=0

A->AKtanx

f(x}

所以X=%K是的可去間斷點

118.當xwO時，/(1)是連續(xù)的初等函數(shù)。

當x=0時

1八、sinxsinx.

/c(/Oc+0)=lrim,.=lim-----=1

XT0+0國x->0+0X

/(O-O)=-1

所以x=0是/(x)的跳躍間斷點。

119.解：/(O-O)=lim/(x)=lim粵芝二lim，山二一2

x->0-0x->o-oLqA->O-O—x

/(0+0)=lim/(x)=lim(2x2-2)=-2

x->0+0XT0+0

即lim/(%)=—2,但/(0)=0,所以x=0是

x-?0

/(X)的一個可去間斷點

/(I-0)=lim/(x)=lim(2x2-2)=0

XT1-0JV—>1-0

/(I4-0)=limf(x)=limx=1

X->l+0A->l+0

所以X=1是/(X)的一個跳躍間斷點

120.?：lim=limX2~X)=-,x=0是

XTOmA—>071X71

tan—tan—

22

4

可去間斷點，補充定必廣。=一，可使y在工=。處連續(xù)

71

c2—(2-X)?尤。

..2x-x「224A

lim-------=-lim-------------------

12兀X1T2471兀

tan—tan—(2-x)

色可使y在

x=2是可去間斷點，補充定義y“=2=

71

x=2處連續(xù)

9Y—入2

論x=X”,(2m-1),(mG2),由于lim-----------=0

xf%71

tan-x

2

所以乙是可去間斷點，補充定義y|1,3°可使)在

x=2m—l(/nGZ)處連續(xù)

iiEx=xk=2k(ken,kwO,kw1),由于

lim一廠

22=00,所以4為無窮間斷點

TUC

tan——

2

121.x=0,x=—Lx=—2都是/(工)的I可斷點

由于/(+0)=熏。---=1

ln(l+x)

"X=-1

…。)=加ln(l+x)

所以x=0是跳躍間斷點

X

limf(x)=lim~~：0,x=T是可去間斷點

e一]]n|l+x|

lim/(x)=lim—-=co,x=一2是無窮間斷點

x-2-v^-2In|14-x|

122.A

123.解：

Jl+x-Jl+x=』/(￡；□)=1

lim/(x)=lim

x—O-OxfO-Ox

ln(l+x)1

limf(x)=lim------------=1

x->0+0x->0+0x

所以lim/(x)=l,但/*(0)=0,古好(x)在x=0處不連續(xù)

x->0

124./(1-0)=1=/(1+0)=/(1)

所以/工工)在點x=l處連續(xù)

/(2-0)=4=/(2),/(2+0)=5

所以在點x=2處不連續(xù)

x=2是〃為的一個跳躍間斷點

125,要f(x)在x=l處連續(xù)，必須

/(1-0)=/(1+0)=/(1)

而/(1+0)=3+仇/(1+0)=1-/?

/⑴=。

求得。=2,b=—1

即4=2,上=一1時，f(x)在X=1處連續(xù)

126.當lim/(x)=2時，/(X)在x=l處連續(xù)

XT1

因為lim(x—l)(工+2)=0

Xf1

所以要lim+”存在,必須

(X-1)(%+2)

lim(x4+辦+/7)=1+。+/7=0

XTI

即a=-b-\

于是lin/4"(/?+1)X+/?=2

—(x-1)(x4-2)

即lin/'+'T)一力=/=2

Ix+23

求得：h=-3,a=2

127.解：/(x)在(—oo,0)、(0,+8)內(nèi)是連續(xù)的

因為/(°一°)=limex-0,/(0+0)=limxsinx=0

x->0-0x-0-0

又"0)=0,所以在x=0點也連續(xù)，故/(x)在

(-8,+8)是連續(xù)的

128.解：

cos—公,Ix</1

21

f(x)=<\-x9x<-1

x-Lx>1

當xw±l時，/(x)連續(xù)

故X=-1是/(x)的一個跳躍間斷點

在x=l處，/(1+0)=0,/(I—0)=0

乂〃1)=0,所以/(%)在二=1處連續(xù)

129.解：

2;-1

/(0+0)=lim——=1

XT0+01

2"4-1

2

-1

/(0-0)=lim——=-1

JXT0-01

2、+1

所以X=0是/(X)的一個跳躍間斷點

130.解：/(0-0)=1,/(0+0)=〃，/(0)=a

當。=匕=1時/⑴處處連續(xù)

131.解：

/(0)=4

/(0-0)=lim(5"—cosx)=4

XT0-0

/?小小1-sin2%..2x2

y(0+0)=lim----=lim——=—

—o+otanax―0+。axa

2

當/(0—())[=/(()+())=/(()),即一二4

a

〃=,時，/(幻在％=0處連續(xù)

132.證：設/。)=/一71一4,/(工)在［1,2］上連續(xù)

X/(l)=-10<0,/(2)=32-14-4=14>0

故在(1,2)由方程爐―7x—4=0,即方程/一7x=4

至少一個實根.

133.證：令/(%)=x—asinx—/?,/(X)在［0,a+b\

上連續(xù)，M/(0)=-b<0,f(a+b)=a\l-sin(a+b)］

若sin(〃+O)=1,則x=a+Z?是原方程的實根

若sin(Q+Z?)<1,則〃4+/?)〉0,由零點定理

知在(0,。+份內(nèi)至少有一個實根

綜上述，原方程至少有一個正根，且它不超過。+人

134.解：設/(工)=/+4/一31一1,/(1)在

(-00,+8)內(nèi)連續(xù)

由于/(。)=一1，/CD=1

所以，存在點。￡(0,1),使/?)=0

即3為原方程一實根

X/(-l)=5>0,故存在點殳￡(—1,0)

使〃鼻)=0

又lim/(x)=-co,必存在點與<-1,使

/(X0)<0,于是存在點牖￡(%,—1),使

/?3)=0，故原方程有三個實根

又因為/(x)=0為三次方程，它最多有三個實根，

故方程=0有且僅有三個實根

135.證：反證法，若/(x)在(a,A)內(nèi)不處處為正

即在(a,Z?)內(nèi)至少存在一點九°,使/(4)<0

于是由零點定理，在與與點C之間必存在一點歲

使/?=0

即(a,Z?)內(nèi)還有方程/(x)=0的一個根0

與x=a,x=b為相鄰兩根矛盾

所以/(X)在(〃，/?)內(nèi)處處為正

136.解：即(無)=x-sinx-2,則原方程即

/(x)=0

因為/'(0)=一2<0,/(3)=l-sin3>0

所以必存在點JE(O,3)使〃勇=0

故原方程至少有一個不超過3的正根

137.證：引入輔助函數(shù)

叭x)=fM-x

9(x)在［〃，可上連續(xù)，(p(a)=f(a)-a<()

(p(b)=f(b)-b>0

所以至少有一點/?),滿足以J=0,即=J

138.證：即(x)=/一3X+L則/*(x)

在［-1,1］上連續(xù)

W-D=5>0,/(1)=-1<0

由零點定理，必存在點1)使/(。)=0,即

&4-3彳+1=0

所以方程——3x+l=0在［―1,1］內(nèi)有實根.

139.因x=0是無窮間斷點

故1而上=(一")(—D=0

由此得。=0且bwO,b1

又因x=1是可去間斷點，即lim/(x)存在(=A)

.v->l

于是lim(x-l)/(x)=lim""—=(2-與(1一份二0

>->1XTlX

由上知故得b=2

綜上述〃=0,力=2為所求

140.D141.B

142.x=0,x=2,x=-2是/(尤)的間斷點