高中數(shù)學(xué)人教A版選修21講義第三章32第二課時空間向量與空間角距離

第?部分把書讀厚

教材同步導(dǎo)學(xué)

基礎(chǔ)知識系統(tǒng)整合

重點(diǎn)難點(diǎn)釋疑解惑

方法技巧系統(tǒng)點(diǎn)撥

熱點(diǎn)命題權(quán)威解讀

知能訓(xùn)練跟蹤落實(shí)

講、練、評一體，學(xué)、思、用結(jié)合

夯實(shí)每一步，成績步步高

讓你在學(xué)通學(xué)精教材的同時

緊緊把握高考的脈動

京二早室同囪量與立俵幾何

二;1DISANZHANG/

3.2立體幾何中的向量方法

其次課時空間向量與空間角、距離

■理皿事麻麗田課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P109?110,思索并完成以下問題

1.如何利用空間向量求兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角及二面角？

2.如何利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離？

［新知初探］

1.空間角及向量求法

角的分類向量求法范圍

設(shè)兩異面直線所成的角為它們的方向向量為

異面直線所成0,a,

0,

的角b,那么cos。一|cos{a,b).

1|*z|

設(shè)直線l與平面所成的角為0,1的方向向量為a,

直線與平面所a

0,

成的角平面a的法向量為〃，那么sin，一|cos〈a,〃〉|—田|川

設(shè)二面角a-1-fl的平面角為0,平面a,“的法向量

二面角

為小，〃2,那么|cos〃|一|cos(n\,〃2〉I-|小溫[0,H]

［點(diǎn)睛］設(shè)二面角的平面角為仇那么0°＜0W180。.當(dāng)兩個半平面重合時，，=0。；當(dāng)兩

個半平面相交時，0。＜，＜180。；當(dāng)兩個半平面共面時，0=180°.

2.空間距離的向量求法

分類向量求法

兩點(diǎn)距設(shè)A,5為空間中任意兩點(diǎn)，那么d=|A8|

點(diǎn)面距設(shè)平面a的法向量為“，癡，AGa,那么8點(diǎn)到平面a的距離d」?川

1.推斷以下命題是否正確.(正確的打“,錯誤的打“x〃)

(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等()

(2)直線/與平面a的法向量的夾角的余角就是直線I與平面a所成的角()

(3)二面角*1邛的大小為0,平面a,p的法向量分別為MO"2,那么0=〈小，?2)()

答案：⑴X(2)X(3)X

2.向量"?，"分別是直線/和平面a的方向向量、法向量，假設(shè)cos(m,n)=—

那么直線/與平面a所成的角為()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

答案：A

3.兩平面的法向量分別為小=(0,1,0),〃=(0,1,1),那么兩平面所成的二面角的大小為

()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

答案：c

4.在正三棱柱A5C-A/1G中，假設(shè)45=也8亂，那么4片與G5所成角的大小為

答案：90°

字課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

LES兩異面直線所成的角

［典例］(2017?全國卷U)直三棱柱A8C-481G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi

=1,那么異面直線AW與8G所成角的余弦值為()

R運(yùn)

5

j5D坐

［解析］以坨為坐標(biāo)原點(diǎn)，81G所在的直線為x軸，垂直于81G的

直線為y軸，831所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖.由條

件知31(0,0,0),

B(0,0,D,G(l,0,0),A(-1,但1),

那么苑=(1,0,-1),4^=(1,一小，-1).

所以cos(ABi,啟〉=-TCI=2手所以異面直線aw與5G所成的

|誦卜菊|鄧義也5

角的余弦值為手.

［答案］C

用坐標(biāo)法求異面直線所成角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)；

(3)利用向量的夾角公式計(jì)算兩條直線的方向向量的夾角；

(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角.

［活學(xué)活用］

如圖，在三棱錐V-ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，

頂點(diǎn)A,B,V分別在x,j,z軸上，。是線段A5的中點(diǎn)，S.AC=BC

=2,ZVDC=j,求異面直線AC與V。所成角的余弦值.

解：由于AC=BC=2,。是4B的中點(diǎn)，所以

C(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),D(l,l,0).

在RtZkVa)中，CD=y[2,ZVDC=^,故叭0,0,瓜

所以AC=(-2,0,0),VD=(1,1,一木).

_ACVD_~2__^2

所以cos{AC,~VD)

\AC^VD\32巾4

所以異面直線AC與所成角的余弦值為小.

直線與平面所成的角

[典例]如圖，在四棱柱ABCD-AiBxCxDx中，側(cè)棱44」底面

ABCD,AB//DC,AAt=l,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1)求證：CD平面40041；

(2)假設(shè)直線441與平面A&C所成角的正弦值為去求人的值.

［解］(1)證明：取C￡＞的中點(diǎn)E,連接8E.

'：AB//DE,AB=DE=3k,

四邊形ABED為平行四邊形，

J.BE//AD且BE=AD=4k.

在△BCE中，,:BE=4k，CE=3>k,BC=5k,

J.BE^CE^BC2,；.NBEC=90°,即BE_LCZ).

又5E〃AO,：.CD±AD.

：AAiJ?平面ABCD,C0U平面ABCD,

：.AAt±CD.

又AAiCAO=A,

.?.COJ?平面ADDtAi.

(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，~DA,~DC,麗的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如

下圖的空間直角坐標(biāo)系，

那么A(4A,0,0),C(0,6那0),8i(4A,3A,l),Ai(4A,0,l),

AAC=(-4A,6A,0),誦=(0,3?,l),疝=(0,0,1).

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(x,y,z),

AC?〃=0,f—4Arx+6Aj=0,

那么

市.〃=o,[33+Z=0.

取y=2,可得平面ABC的一個法向量為〃=(3,2,—6A).

設(shè)441與平面ABC所成的角為0,

那么sin0=|cos(AAi,〃〉|=〃J_=J_y=￡,解得4*的值為1.

|A4iH川736k+13

求直線與平面的夾角的思路與步驟

思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形學(xué)問可求得

夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值).

思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求

直線與平面的夾角的根本步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)求直線的方向向量7/；

⑶求平面的法向量n；

(4)計(jì)算：設(shè)線面角為仇那么sin，=

\n\-\AB\

［活學(xué)活用］

如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為啦的正方形，鼠

PA±BD-媒》

(1)求證：PB=PD；1/F\/

BC

(2)假設(shè)E,尸分別為PC,A8的中點(diǎn)，E凡L平面尸C。，求直線PB

與平面PCD所成角的大小.

解：(1)證明：如下圖，連接AC,80交于點(diǎn)0,連接尸0,?.,底面A8C〃是正方形，

：.AC±BD,且。為30的中點(diǎn).

又R1J■皿PACiAC=A,

.?.8O_L平面PAC,

由于尸0U平面R1C,故BDA-PO.

又BO=DO,故PB=PD.

(2)如下圖，連接AC,BD,

設(shè)尸。的中點(diǎn)為Q,連接AQ,EQ,

那么EQ轉(zhuǎn)C。，四邊形AFEQ為平行四邊形，EF//AQ,

,.?后尸上平面PCD,

.?.AQJL平面PCD,

：.AQ±PD,Q為PD的中點(diǎn)，：.AP=AD=yj2.

由AQ_L平面尸CD,可得AQJ-CD.

又DALCD,QAnAD=A,

:.CDJL平面PAD,:.CD±PA.

又妖，平面ABC。.

：.AB,AP,AO兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量弁，~AD,左的方向?yàn)閤

軸、y軸、z軸的正方向建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，

那么4(0,0,0),B(也0,0),Q(0,坐，嗡,0(0,也，0),尸(0,0,6)，.?.渴=

(0,乎,羽,~PB=(y［2,0,—A/2).

易知4Q為平面PCD的一個法向量，

設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為0,

,,—>—>、|-AQ|1

=

那么sin〃=cos<PB,AQ〉=r~2

IPBHAQI

...直線PB與平面PCD所成的角為?.

o

rra潑裝求二面角

［典例］如圖，四棱柱A5CZ)-AIiCiOi的全部棱長都相等，

ACCiBD=O,4605101=01,四邊形ACG4和四邊形5ZW)i3i均為

矩形.

(1)證明：OiO_L底面A5CD

⑵假設(shè)NCR4=60。，求二面角CrOBx-D的余弦值.

［解］(1)證明：由于四邊形ACG4和四邊形均為矩形，所以CCJ4C,DDi

LBD,

又CG〃OOi〃OOi,所以O(shè)Oi-LAC,OOil.BD,

由于ACD8O=O,所以。iO_L底面4BCD

(2)由于四棱柱的全部枝長都相等，所以四邊形A3CD為菱形，AC

工BD.又OiO工底面ABCD,所以05,OC,。01兩兩垂直.如圖，以

。為原點(diǎn)，OB,OC,。。|所在直線分別為x,y,z軸，速立空間直角

坐標(biāo)系.

設(shè)棱長為2,由于NCR4=60。，所以05=5，OC=1,

所以0(0,0,0),81(小，0,2),G(0,l,2),

平面BDDiBi的一個法向量為"=(0,1,0),

設(shè)平面OGBi的法向量為，〃=(x,y,z),

布x+2z=0,

那么由,"_L祐，m±OCi,所以.

j+2z=0.

取z=一小，那么x=2,y=2小,

所以》1=(2,2小，一小)，

m-n2s2病

所以cos{in,〃〉=,

k?llH|-Vi9-19-

由圖形可知二面角G-O81-O的大小為銳角，

所以二面角G-081-。的余弦值為喑Z

［一題多變］

1.［變設(shè)問］本例條件不變，求二面角B-4Go的余弦值.

解：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,那么4(0,-1,2),

B班,0,0),C(0,l,0),D(-小,0,0).

所以簫=(一小，1,0),求=(0,2,-2),五二(一小,-1,0).

設(shè)平面AIC的法向量為〃i=(xi,ji,zi),

ni-A]c=0,f2ji—2zi=0,

那么':

1―V3xi+ji=0,

?萬？=0,

取處=巾，那么yi=zi=3,

故小=(小,3,3).

設(shè)平面A1CD的法向量為〃2=(X2,J2,Z2),

“2?求=0,2J—2Z=0,

那么'一即，22

1〃2?布=0,、一小工2-丁2=0,

取M=小，那么y2=Z2=—3,

故〃2=(3,—3,—3).

\〃「麒2

==-15=-5

所以cos〈"1,"2〉|,ll||n2|21T

由圖形可知二面角R4C-。的大小為鈍角，

所以二面角3-4C-O的余弦值為一提

2.［變條件'變設(shè)問］本例四棱柱中，NCBA=60。改為NC5A=90。，設(shè)E,尸分別是棱

BC,C。的中點(diǎn)，求平面A5iE與平面4。/所成銳二面角的余弦值.

解：以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，設(shè)此棱柱的棱長

為1,那么A(0,0,0),Bid,0,D,

￡(1,I，0),01(0,1,1),

心1,0),AE=(l,0),而=(1,0,1),1,0),而=(0,1,1).

設(shè)平面ABE的法向量為ji,zi),

xi+zi=0,

/h*ABi=0,即《?1

一

)nrAE=0,xi+?i=0,

令yi=2,那么占=-1,Zi=l,

所以篦i=(-1,2,1).

設(shè)平面的法向量為〃2=(X2,J2,Z2).

］〃2?而=0,p2+Z2=0,

那么1即〃,、

k#=0,［產(chǎn)+『0.

令*2=2,那么以=-1,Z2=l.

所以“2=(2,-1,1).

所以平面ABxE與平面ADxF所成銳二面角的余弦值為腎能=加;而=,

向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步驟

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求出兩個半平面的法向量"1,"2；

(3)設(shè)二面角的平面角為，，那么|cos，|=|cos(nt,“2〉I;

(4)依據(jù)圖形推斷0為鈍角還是銳角，從而求出。(或其三角函數(shù)值).

rm用空間向量求距離

［典例］四棱錐尸-ABC。中，四邊形A5C￡＞為正方形,P0J_平面A3CD,

PD=DA=2,F,E分別為A。，PC的中點(diǎn).

(1)求證：OE〃平面PFB；

(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離.

［解］(1)證明：以。為原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，

那么尸(0,0,2),f(1,0,0),3(2,2,0),￡(0,1,1).FP=(-1,0,2),~FB=

(1,2,0),=(0,1,1),

B

，OE〃平面PFB.

又：。EQ平面PFB,

:.DE//平&PFB.

(2),.?￡)￡：〃平面PFB,

.?.點(diǎn)E到平面PFB的距離等于點(diǎn)D到平面PFB的距離.

設(shè)平面PFB的一個法向量〃=(x,y9z),

r

n-FB=0,fx+2j=0,

那么<=>'

〃司=0J”=0,

令x=2,得y=-1,z=l.

：.n=[2,-1,1),又?.,7H=(-l,0,0),

.?.點(diǎn)。到平面尸F(xiàn)3的距離

,\FD-n\2__逅

d=1?1=赤=3-

.?.點(diǎn)E到平面PFB的距離為坐.

求點(diǎn)到平面的距離的四步驟

［活學(xué)活用］

在長方體。4BC-O1A181G中，0A=2,AB=3,44=2,求。i到直線AC的距離.

解：法一：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么4(2,0,0),01(0,0,2),

C(0,3,0),過。作O0JLAC于點(diǎn)O,設(shè)0(x,y,0),那么萬方=(x,y,-2),

~AD=(x—2,y,0).

VAC=(-2,3,0),AC,'AD//~AC,

?而尸\/牌+舟+(-2)2=嚕^

即Oi到直線AC的距離為

法二：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系.那么A(2,0,0),01(0,0,2),

。0,3,0),.\石=(一2,0,2),就=(-2,3,0),；.啟?就=(-2,0,2>(一

2,3,0)=4,

.?.而在就方向上的投影為春,

\AC\[13

...Oi到直線AC的距離

層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.平面a的一個法向量為”=(-2,-2,1),點(diǎn)A(—1,3,0)在平面a內(nèi)，那么點(diǎn)P(—2,1,4)

到平面a的距離為()

A.10B.3

解析：選D點(diǎn)尸到平面a的距離

?川2—4-4|10

-1?1-「4+4+1.3?

2.正四棱柱A8CD-AI8ICQ中，A4=24B,那么CD與平面8DG所成角的正弦值

等于(

A.j

3

D3

解析：選A建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AAi=2A3=2,那

么5(1,1,0),C(0,l,0),0(0,0,0),Ci(0,l,2),故加=(1,1,0),招=(0,1,2),萬才=(0,1,0),設(shè)

n*DB=0,x+j=0,

C+2=o,令z=i，那么了

平面80G的法向量為n=(x,y,z),那么,即，Z

“￡>G=0,

=-2,x=2,所以平面笈。G的一個法向量為〃=(2,-2,1).設(shè)直線CZ)與平面5DG所

成的角為，，那么sin〃=|cos〈”，DC>|="㈤應(yīng)選A.

3.在長方體ABC。-AiBiCiOi中，AB=2,BC=2,DDi=3,那么AC與5"所成角

的余弦值為()

3^70

A.0B,70

_3^70D.曙

。70

解析：選A建立如圖坐標(biāo)系，那么0i(0,0,3),5(2,2,0),4(2,0,0),

A

C(0,2,0),：.BD1=(-2,-2,3),

BDA

=(-2,2,0).：.cos(BDx,~AC>=^-=Q..\(BDX,~AC)

\BDA\AC\>B

=90°,其余弦值為0.

4.正方體ABCDAiBiCiDi中，E,F分別是AG,AB的中點(diǎn)，那么AiBi與截面

AiEC尸所成的角的正切值為()

A.^2B.小

C.y[5D.#

解析：選A設(shè)棱長為2,建立以小為原點(diǎn)，AiBi,Ai。，AiA

為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，那么平面AiECF的一個法

向量為"=(一2,1,1),AiBi的方向向量為(2,0,0),設(shè)AiBi與截面

普，

AiECF的夾面為0,那么sin〃=|cos〈"，而〉|=

cos0=3,tan〃=也.

5.正方形A5C。所在平面外有一點(diǎn)P,R1_L平面A5CD假設(shè)那么平面

與平面PCD所成的二面角的大小為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：選B建系如圖，設(shè)A3=l,

那么A(0,0,0),8(030),

尸(0,0,1),0(1,0,0),C(l,l,0).

平面的法向量為“1=(1,0,0).

設(shè)平面PC。的法向量〃2=(x,y,z),

InrPD=0,[x—z=0,

那么彳得

?而=o,

令x=i,那么z=i.???〃2=a,o,i),

cos</h,〃2〉=古=坐

平面PAB與平面尸CD所成的二面角的余弦值為為、歷

...此角的大小為45°.

6.在正方體ABCO-AiBiCiOi中，M,N分別是棱44|和B81的中點(diǎn)，那么sin(CM,

D^N)=.

解析：建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2.

那么C(0,2,0),41(2,0,1),

d(0,0,2),N(2,2,l).

：.'CM=[2,-2,1),

布=(2,2,-1).

.—?—>、4-4-1

cos<CM,D\N>==—

Asin(CM,=呼.

4餡

答案：9

7.如圖，正三棱柱ABC-AiBG的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CG的中

點(diǎn)，那么異面直線A51和8M所成角的大小是.

解析：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，。為8c中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的棱長

為2%那么點(diǎn)4(V5a,0,0),B(0,iz,0),Bi(0,a,2a),Af(O,—a,a),AB\=

(一事a,a,2a),BM=(0,~2a,a),所以溫?瑞=0,因此異面直線4為

與5M所成的角為90°.

答案：90°

8.如圖，正方體ABCO-AiSG"的棱長為1,O是平面AiBiGd

的中心，那么30與平面4BG5所成角的正弦值為.

解析：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，那么5(1,1,0),00,1),

而=(1,0,1)是平面ABCiDi的一個法向量.

又蘇=&2-t），

80與平面ABC\Dx所成角的正弦值為

1

2^3

——>——>=6*

\OB\\OB\*也

答案：￥

A

9.如下圖，在四周體ABC。中，O為BD的中點(diǎn)，CA=CB=CD=ZK

BD=2,AB=AD=yj2.B小三屋》

(1)求證：40_L平面BCD：

(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.

解：(1)證明：由于80=00,AB=AD,

所以A0J_3D

由于BC=CD,

所以C01.BD.

在△A0C中，由可得A0=LCO=yl3,而AC=2,

所以4O2+CO2=4。，

所以NAOC=90。，即AO_LOC.

由于5〃nOC=。，所以A0JL平面BCD

(2)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么3(1,0,0),

。(-1,0,0),C(0,小，0),40,0,1),京=(-1,0,1),CD=(-1,一切,

0),所以cos(BA,~CD>=竺"邛所以異面直線A8與c。

\BA\\CD\

所成角的余弦值為學(xué).

10.如圖，四棱錐P-A5CZ）中，ABCD,AB//CD,AD

=CD=1,ZBAD=120°,ZACB=90°.

⑴求證：5C_L平面B4C；

（2）假設(shè)二面角D-PC-A的余弦值為李，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

解：（1）證明：,.,如_1底面48。），8CU平面A8C。，

：.PA±BC,

'：ZACB=90°,：.BC±AC,又/MCAC=A,

:.BC1?平面PAC.

(2)設(shè)4尸=力，取C￡)的中點(diǎn)E,那么AE_LCQ,：.AE±AB.)LPA產(chǎn)

JL底面ABCD,：.PA±AE,PA1.AB,故建立如下圖的空間直角坐標(biāo)笊、

系，那么4(0,0,0),P(0,0,h),C停，0),O停，0),8(0,2,0),/於「坊下

D^EC

出=停2'-")，虎=(。，1‘。),

設(shè)平面PDC的法向量"i=(xi,ji,zi),

f/ii,PC=0,^xi+lyi—ftzi=0,

那么'即J22)

?萬？=0,ji=0,

解得h=小,

同理可求得平面P3C的一個法向量“2=（3,小，2）,

所以，點(diǎn)A到平面PBC的距離為

,\AP-m\2y[3^3

d=

\n2\=4=2?

層級二應(yīng)試力量達(dá)標(biāo)

1.在長方體ABCO-AiBiGOi中，BC和GO與底面所成角分別為60。和45。，那么異

面直線BiC和GO所成角的余弦值為（）

解析：選A建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，可知NCBiG=60。，Z

0Goi=45。，設(shè)51G=1,CCi=y[i=DDi.

.,.CiDi=V3,那么有Bi（V3,0,0）,C點(diǎn),1,b），Ci（小，1,0）,

0（0,1,同

.,.求=（0,1,?。?，血=（一小，0,?。?

〈懿G。一〉8CGO__3__亞

..COS—>—>2、帚4.

151cliCxD\RO

2.如下圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且B4_L平面

ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)產(chǎn)為PC的中點(diǎn)，那么二面角<>8尺。的正切

值為（）

2小

?3

解析：選D如下圖，設(shè)AC與BO交于O,連接OF.以。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，OB,OC,O尸所在直線分別為*,j,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)么=AO=AC=1,那么80=小，

所以0（0,0,0）,5曾，0,0）,尸（0,0,￡）,c（o,o）,~oc=

（）,0）,易知虎為平面BDF的一個法向量由就=（-乎,1,o）,W=

一杯，可得平面BCF的一個法向量為“=（1,巾，巾）.所以cos〈"，~OC

sin〈〃，OC所以tan〈〃，OC=斗士

3.在三棱錐P-A8C中，ABLBC,AB=BC=^PA,點(diǎn)。，O分別是4C,PC的中點(diǎn),

OPJ■底面A8C,那么直線0。與平面P3C所成角的正弦值為（）

A岑B.平

OJ

國畫

°?601,30

解析:選D不妨設(shè)AB=3C=；24=2,：QPJL底面ABC,；.尸0=標(biāo).

依據(jù)題意，以8為原點(diǎn)，BA,8c所在直線分別為x,y軸建立空間直角坐

標(biāo)系〃■孫Z,如下圖.

x

那么4(2,0,0),5(0,0,0),C(0,2,0),屈).

:點(diǎn)O,O分別是AC,PC的中點(diǎn)，

：.~OD=^AP=[-\,空),

又萬？=(0,2,0),V14).

設(shè)平面尸5c的法向量為"=(x,y,z),

n-^BC=0,，=o,

那么',即，

["?W=o,.x+y+dI5z=0,

取〃=(一VH,0,1),

cos〈〃，OD)="，sin。="系為。。與平面尸5c所成的角),

\n\\OD\3

應(yīng)選D.

4.如下圖，在正四棱柱ABCDAIiGOi中，AAi=2,AB=BC=1,動點(diǎn)

P,Q分別在線段G。，AC上，那么線段PQ長度的最小值是()

C.1

解析：選C建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么4(1,0,0),3(1,1,0),

C(0,l,0),G(0,l,2).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,C22),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1

—ft,，，0),蚱[0,1],

IQ=yJ(1—“尸+Q,T)2+4P

=：2〃2+5#一一24+1

=#6%)蹊管+%

當(dāng)且僅當(dāng)"=/時，

2

線段網(wǎng)的長度取得最小值，為？

5.正方體ABCD-AIiGOi中，BBt與平面ACDt所成角的余弦值為

解析：不妨設(shè)正方體的棱長為1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，那么

。(0,0,0),5(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量為居=(1,1,1),又前

=(0,0,1),cos〈DBi,BB\>=:：="、*,尸弋.；,BBi與平面

\DBt\\BBi\73X1

ACD\所成角的余弦值為

答案.亞

口-3

ABC與正三角形BCD所在的平面相互垂直，那么直線CD與平面

ABD所成角的正弦值為.

解析：取8c的中點(diǎn)0,連接A。，DO,建立如下圖的空間直角坐標(biāo)

系0-xyz.設(shè)8c=1,那么4(o,0,多

n-BA=0,

設(shè)平面A3。的法向量為〃=(x,y,z),那么j取

=0,

x=l,那么y=一小，z=l,所以zz=(l,一小,1),所以cos〈凡CD

因此直線CO與平面A3。所成角的正弦值為華.

答案：平

7.(2017?江蘇高考)如圖，在平行六面體A5C￡>-43iG0